Уравнения от вида (a₁x + b₁)(a₂x + b₂) = 0

Произведение на два множителя е равно на нула точно тогава, когато поне единият от множителите е нула:

${(a_1x+b_1)(a_2x+b_2)=0}$ точно тогава, когато ${a_1x+b_1=0}$ или ${a_2x+b_2=0}$

Затова, ако лявата страна на едно уравнение е разложена на множители, а дясната е нула, решаването му се свежда до няколко уравнения от първа степен. Разлагаме на множители чрез изнасяне на общ множител пред скоби, чрез формулите за съкратено умножение или чрез групиране.

Задача 1

Решете уравнението:

А) ${(2x+4)(3x-6)=0}$   Б) ${x(7x-21)=0}$
В) ${(9x-6)(2x-1)=0}$   Г) ${(3x+12)x=0}$

Решение:

А) ${2x+4=0}$ или ${3x-6=0}$, откъдето ${x=-2}$ или ${x=2}$.

Б) ${x=0}$ или ${7x-21=0}$, откъдето ${x=0}$ или ${x=3}$.

В) ${9x-6=0}$ или ${2x-1=0}$, откъдето ${x=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}}$ или ${x=\frac{1}{2}}$.

Г) ${3x+12=0}$ или ${x=0}$, откъдето ${x=-4}$ или ${x=0}$.

Задача 2

Решете уравнението:

А) ${9y^2-1=0}$   Б) ${y-y^2=0}$   В) ${36y^2-49=0}$   Г) ${y-y^3=0}$

Решение: Достатъчно е да разложим лявата страна на всяко уравнение на множители.

А) ${9y^2-1}={(3y)^2-1^2}={(3y-1)(3y+1)}$, затова

${{(3y-1)(3y+1)}={0}}$, откъдето ${3y-1=0}$ или ${3y+1=0}$

Корените са ${y=\frac{1}{3}}$ и ${y=-\frac{1}{3}}$.

Б) ${y-y^2=y(1-y)}$, затова ${y=0}$ или ${1-y=0}$. Корените са ${y=0}$ и ${y=1}$.

В) ${36y^2-49}={(6y)^2-7^2}={(6y-7)(6y+7)}$, затова ${6y-7=0}$ или ${6y+7=0}$, откъдето ${y=\frac{7}{6}}$ или ${y=-\frac{7}{6}}$.

Г) ${y-y^3}={y(1-y^2)}={y(1-y)(1+y)}$, затова корените са ${y=0}$, ${y=1}$ и ${y=-1}$.

Задача 3

Решете уравнението:

А) ${4x^2+4x+1=0}$   Б) ${x^2+2x+1=0}$

Решение:

А) Тъй като ${4x^2+4x+1=(2x+1)^2}$, уравнението е ${(2x+1)(2x+1)=0}$. И двата множителя дават ${2x+1=0}$, т.е. един и същ корен ${x=-\frac{1}{2}}$. Казваме, че уравнението има двоен (двукратен) корен ${x=-\frac{1}{2}}$.

Б) ${x^2+2x+1=(x+1)^2}$, затова ${x=-1}$ е двоен корен на уравнението.

Задача 4

Решете уравнението:

А) ${2x^2+x-3=0}$   Б) ${x^2+x-12=0}$   В) ${3x^2+14x-5=0}$
Г) ${4x^3+11x^2+6x=0}$   Д) ${x^2+x-2=0}$

Решение: Разделяме средния член на две събираеми така, че да можем да групираме.

А)

${2x^2-2x+3x-3}={0}$

${2x(x-1)+3(x-1)}={0}$

${{(x-1)(2x+3)}={0}}$, откъдето ${x=1}$ или ${x=-\frac{3}{2}}$

Б)

${x^2+4x-3x-12}={0}$

${x(x+4)-3(x+4)}={0}$

${{(x+4)(x-3)}={0}}$, откъдето ${x=-4}$ или ${x=3}$

В)

${3x^2+15x-x-5}={0}$

${3x(x+5)-(x+5)}={0}$

${{(x+5)(3x-1)}={0}}$, откъдето ${x=-5}$ или ${x=\frac{1}{3}}$

Г) Изнасяме $x$ пред скоби:

${x(4x^2+11x+6)}={0}$

${x(4x^2+8x+3x+6)}={0}$

${x\left[4x(x+2)+3(x+2)\right]}={0}$

${{x(x+2)(4x+3)}={0}}$, откъдето ${x=0}$, ${x=-2}$ или ${x=-\frac{3}{4}}$

Д)

${x^2+2x-x-2}={0}$

${x(x+2)-(x+2)}={0}$

${{(x+2)(x-1)}={0}}$, откъдето ${x=-2}$ или ${x=1}$

Задача 5

Решете уравнението:

А) ${1-x+2(x-1)^2=0}$
Б) ${(x-2)^2-(x+2)(x-2)}={(x+2)^2+4}$
В) ${(x+3)(x+2)-2(x+2)=0}$
Г) ${x^2(x+1)-x-1=0}$

Решение:

А) Тъй като ${(x-1)^2=(1-x)^2}$, уравнението е

${1-x+2(1-x)^2}={0}$

${(1-x)\left[1+2(1-x)\right]}={0}$

${{(1-x)(3-2x)}={0}}$, откъдето ${x=1}$ или ${x=\frac{3}{2}}$

Б)

${x^2-4x+4-(x^2-4)}={x^2+4x+4+4}$

${{8-4x}={x^2+4x+8}}$

${{x^2+8x}={0}}$, т.е. ${x(x+8)=0}$, откъдето ${x=0}$ или ${x=-8}$

В) Изнасяме ${x+2}$ пред скоби:

${{(x+2)(x+3-2)}={0}}$, т.е. ${(x+2)(x+1)=0}$, откъдето ${x=-2}$ или ${x=-1}$

Г)

${x^2(x+1)-(x+1)}={0}$

${{(x+1)(x^2-1)}={0}}$

${{(x+1)^2(x-1)}={0}}$, откъдето ${x=-1}$ (двоен корен) или ${x=1}$

Задача 6

Даден е многочленът ${f(x)=2x^3-4x^2+2x}$. Разложете $f(x)$ на множители и намерете стойностите на $x$, за които ${f(x)=0}$.

Решение:

${f(x)}={2x(x^2-2x+1)}={2x(x-1)^2}$

Следователно ${f(x)=0}$ точно когато ${x=0}$ или ${(x-1)^2=0}$, т.е. ${x=0}$ или ${x=1}$ (двоен корен).

Задача 7

Дадени са многочлените ${M=a^4-1}$, ${N=a^3+1+a+a^2}$ и ${P=a^3-1-a^2+a}$.

А) Разложете $M$, $N$ и $P$ на множители;
Б) Разложете на множители многочлена ${Q=4M+5N+P}$;
В) Намерете стойностите на $a$, за които ${Q=0}$.

Решение:

А)

${M}={(a^2)^2-1^2}={(a^2-1)(a^2+1)}={(a-1)(a+1)(a^2+1)}$

${N}={a^3+1^3+a(a+1)}={(a+1)(a^2-a+1)+a(a+1)}={(a+1)(a^2-a+1+a)}={(a+1)(a^2+1)}$

${P}={a^3-1^3-a(a-1)}={(a-1)(a^2+a+1)-a(a-1)}={(a-1)(a^2+a+1-a)}={(a-1)(a^2+1)}$

Б)

${Q}={4(a^4-1)}+{5(a^3+1+a+a^2)}+{a^3-1-a^2+a}$

${Q}={4a^4-4}+{5a^3+5+5a+5a^2}+{a^3-1-a^2+a}={4a^4+6a^3+4a^2+6a}$

${Q}={2a(2a^3+3a^2+2a+3)}={2a\left[2a(a^2+1)+3(a^2+1)\right]}={2a(a^2+1)(2a+3)}$

В) ${Q=0}$ точно когато ${a=0}$, ${a^2+1=0}$ или ${2a+3=0}$. Уравнението ${a^2+1=0}$ няма решение, защото ${a^2+1}$ е положително за всяко $a$. Следователно ${a=0}$ или ${a=-\frac{3}{2}}$.

Задача 8

Дадени са многочлените ${A=a^4-4a^2+4a-1}$ и ${B=a^3+1-a-a^2}$.

А) Разложете на множители многочлена ${C=A+B}$;
Б) Намерете стойностите на $a$, за които ${C=0}$.

Решение:

А)

${C}={a^4-4a^2+4a-1}+{a^3+1-a-a^2}={a^4+a^3-5a^2+3a}$

Изнасяме $a$ пред скоби и разделяме събираемите в скобите:

${C}={a(a^3+3a^2-2a^2-6a+a+3)}={a\left[a^2(a+3)-2a(a+3)+(a+3)\right]}$

${C}={a(a+3)(a^2-2a+1)}={a(a+3)(a-1)^2}$

Б) ${C=0}$ точно когато ${a=0}$, ${a+3=0}$ или ${a-1=0}$, т.е. ${a=0}$, ${a=-3}$ или ${a=1}$.

Още за уравненията: Уравнения от първа степен · Линейни уравнения с параметър · Уравнения с модул