Квадратни неравенства

Квадратните неравенства имат следния вид:

$ax^2+bx+c > 0$ или $ax^2+bx+c \geq 0$ или $ax^2+bx+c < 0$ или $ax^2+bx+c \leq 0$ $(1)$

Като $a \neq 0$ и $b, c \in \mathbb{R}$

За да имаме решение за всяко от неравенствата по-горе трябва да намерим всички реални числа, които като ги заместим с $x$ е изпълнено неравенството.

Ако например $x = 1$ е решение на $x^2 - \frac{1}{2} > 0$. Заместваме 1 вместо всички $x$ и можем да заключим, че $1^2 - \frac{1}{2} > 0 \rightarrow \frac{1}{2} > 0$
което е вярно. Така $x = 1$ e едно от решенията на неравенството.

Сега ще покажем как се решават квадратни неравенства $(1)$.

Пъвро нека да разгледаме лявата част на неравенствата $y = ax^2+bx+c$, и да намерим корените на квадратното уравнение $ax^2+bx+c=0$:

$ax^2+bx+c = 0 \rightarrow a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}) = 0 \rightarrow^{a \neq 0} x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} = 0 \rightarrow$
$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2} = 0 \rightarrow (x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} = 0 \rightarrow$
$(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \rightarrow x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} \rightarrow x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \rightarrow $
$x = \frac{-b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \rightarrow x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Т.е. графиката пресича абцисата(Ох) в 2 точки: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ и $x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Корените разделят оста Ох на 3 интервала(приемаме, че $x_1 < x_2$):

$(-\infty, x_1)$ , $[x_1,x_2]$ , $(x_2,+\infty)$

Дискриминантата е $D = b^2 - 4ac$. Тя може да е:

$D > 0$
$D = 0$
$D < 0$

Случай 1:: Ако $D > 0$ тогава $ax^2+bx+c=0$ има 2 корена $(x_1 \neq x_2)$.
И ако $a>0$ тогава графиката е като на "фигура a"
Ако $a<0$ тогава графиката е като "фигура b".
Така, че ако $a>0$ и $ax^2+bx+c \geq 0 (ax^2+bx+c > 0)$ решенията на неравенството са:
$(-\infty, x_1] \cup [x_2, +\infty)$ $((-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty))$

И ако $ax^2+bx+c \leq 0 (ax^2+bx+c < 0)$ тогава решенията на неравенството са:
$[x_1,x_2]$ $((x_1,x_2))$
От друга стана, ако $a < 0$ и $ax^2+bx+c \geq 0 (ax^2+bx+c > 0)$ тогава решенията на неравенството са:
$[x_1,x_2]$ $((x_1,x_2))$
Ако $ax^2+bx+c \leq 0 (ax^2+bx+c < 0)$ тогава решенията са:
$(-\infty, x_1] \cup [x_2, +\infty)$ $((-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty))$
Случай 2:: Ако дискриминантата $D = 0$ тогава $ax^2+bx+c = 0$ има един корен $(x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a})$.
Ако $a>0$ графиката е като на фиг. c, а ако $a<0$ графиката е като фиг. d.
Ако $ax^2+bx+c \geq 0 (ax^2+bx+c > 0)$ решения са всички реални числа $x \in \mathbb{R}$.

Забележете, че на фиг. c $a>0$, а на фиг. d $a<0$
Ако $ax^2+bx+c \geq 0 (ax^2+bx+c > 0)$ решенията са всички реални числа($\mathbb{R}$),
ако a > 0 и $ax^2 + bx + c > 0$ (или a < 0 и $ax^2 + bx + c < 0$) решения са всички числа с изключение на $\frac{-b}{2a}$

Ако a < 0 и $ax^2 + bx + c \geq 0$(или a > 0 и $ax^2 + bx + c \le 0$ няма решения) уравнението има само едно решение: $\frac{-b}{2a}$.
Ако a < 0 и $ax^2 + bx + c > 0$(или a > 0 и $ax^2 + bx + c < 0$) уравнението няма реални решения.
Случай 3:: Ако дискриминантата $D < 0$ тогава $ax^2+bx+c=0$ няма решения. И ако $a>0$ тогава графиката е като на фиг. e, ако $a<0$ графиката е като фиг. f.

Пример 1: намерете множеството от решения на $x^2 + 3x - 10 > 0$.

Решение:

$D = b^2 - 4ac \rightarrow D = 3^2 - 4(1)(-10) = 9 + 40 = 49 \rightarrow D > 0 \rightarrow x^2 + 3x - 10 = 0$ има 2 реални корена:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \times 1} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \times 1} = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

От друга страна $a > 0$ и попадаме в случай 1 и фиг. a и решенията са:

$(-\infty, -5) \cup (2, +\infty)$
x^2 + 3x - 10 > 0

Пример 2: намерете множеството от решения на $x^2 + 5x - 6 \geq 0$.

Решение:

$D = b^2 - 4ac \rightarrow D = 5^2 - 4(1)(-6) = 25 + 24 = 49 \rightarrow D > 0$
$x^2 + 5x - 6 = 0$ има две решения, които са:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \times 1} = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \times 1} = \frac{-5 - 7}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

От друга страна $a > 0$, спред случай 1 и фиг. a е :

$(-\infty, -6] \cup [1, +\infty)$
$x^2 + 5x - 6 \geq 0$

Пример 3: намерете решенията на неравенството $x^2 - 2x + 1 \geq 0$.

Решение:

$D = b^2 - 4ac \rightarrow D = (-2)^2 - 4(1)(1) = 4 - 4 = 0 \rightarrow D = 0$
$x^2 - 2x + 1 = 0$ има 1 решение:

$x_1 = x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{0}}{2 \times 1} = \frac{2 \pm 0}{2} = \frac{2}{2} = 1$

От друга страна $a > 0$ така въз основа на ситуация 1 и фиг. c множеството от решения е: $\mathbb{R}$
$x^2 - 2x + 1 \geq 0$

Пример 4: намерете решенията на неравенството $x^2 - 2x + 1 < 0$.

Решение:

$D = b^2 - 4ac \rightarrow D = (-2)^2 - 4(1)(1) = 4 - 4 = 0 \rightarrow D = 0$
$x^2 - 2x + 1$ has has only one root which is:

$x_1 = x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{0}}{2 \times 1} = \frac{2 \pm 0}{2} = \frac{2}{2} = 1$

От друга страна $a > 0$ така, че $x^2 - 2x + 1 \geq 0$ следователно $x^2 - 2x + 1 < 0$ няма реални решения.

Пример 5: намерете решенията на неравенството $-x^2 - 7x + 8 < 0$.

Решение:

$D = b^2 - 4ac \rightarrow D = (-7)^2 - 4(-1)(8) = 49 + 32 = 81 \rightarrow D > 0$
$-x^2 - 7x + 8 = 0$ има 2 корена, които са:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-7) + \sqrt{81}}{2 \times (-1)} = \frac{7 + 9}{-2} = \frac{16}{-2} = -8$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-7) - \sqrt{81}}{2 \times (-1)} = \frac{7 - 9}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1$

$a > 0$ и попадама в случай 1 и фиг. a. Решенията са:

$(-\infty, -8) \cup (1, +\infty)$
-x^2 - 7x + 8 < 0

Пример 6: намерете решенията на неравенството $x^2 + 1 > 0$.

Решение:

$D = b^2 - 4ac \rightarrow D = 0^2 - 4(1)(1) = 0 - 4 = -4 \rightarrow D < 0$
$x^2 + 1 = 0$ няма реални решения. От друга страна $a > 0$, така, че неравенството $x^2 + 1 > 0$ няма реални решения.