Неравенства от по-висока степен и рационални неравенства

Неравенството от по-висока степен сравнява многочлен с нула или може да се преобразува така, че да го прави, например ${x^3-x\gt 0}$ или ${3x^4+10x}\le{11x^3+4.}$ В рационалното неравенство неизвестното участва в знаменател, например ${\frac{x-3}{x+4}}\ge{\frac{x+2}{x-5}.}$ И двата вида се решават по една и съща идея: намираме числата, при които изразът е нула или не е дефиниран, разделяме с тях числовата ос на интервали и определяме знака на израза във всеки интервал. Това е методът на интервалите.

На тази страница: Неравенства от по-висока степен · Редуване на знаците · Кратни корени · Рационални неравенства · Чести грешки · Упражнения

Неравенства от по-висока степен

След като прехвърлим всички членове от едната страна, неравенството от по-висока степен има един от видовете ${P(x)\gt 0,}$ ${P(x)\ge 0,}$ ${P(x)\lt 0}$ или ${P(x)\le 0,}$ където ${P(x)}$ е многочлен. Квадратното неравенство, например ${3x^2-2x-5}\gt{0,}$ е случаят на втора степен. Други примери: ${x^3-x\gt 0,}$   ${-2x^4+x^2-3}\lt{7,}$   ${4x^3-2x^2}\gt{{5x+7}.}$

Методът на интервалите

1. Прехвърляме всички членове от едната страна, така че от другата да остане ${0.}$
2. Решаваме съответното уравнение ${P(x)=0}$: разлагаме многочлена на множители и намираме корените му.
3. Нанасяме корените върху числовата ос. Те я разделят на интервали.
4. Определяме знака на ${P(x)}$ във всеки интервал: заместваме една пробна стойност от интервала или използваме правилото за редуване на знаците по-долу.
5. Избираме интервалите с търсения знак. При ${\ge}$ и ${\le}$ корените са решения (квадратни скоби), а при ${\gt}$ и ${\lt}$ не са (кръгли скоби).

Пример 1

Решете неравенството ${x^3-x\gt 0.}$

Дясната страна вече е ${0.}$ Разлагаме лявата страна на множители:

${x^3-x}={x(x^2-1)}={x(x+1)(x-1)}$

Корените са ${-1,}$ ${0}$ и ${1.}$ Те разделят числовата ос на четири интервала. Вземаме по една пробна стойност от всеки:

Интервал	${x}$	${x^3-x}$
${(-\infty;\,-1)}$	${-2}$	${-6}$
${(-1;\,0)}$	${-0{,}5}$	${0{,}375}$
${(0;\,1)}$	${0{,}5}$	${-0{,}375}$
${(1;\,+\infty)}$	${2}$	${6}$

Знаците на ${x^3-x}$ в интервалите. Празните кръгчета показват, че корените не са решения.

Търсим ${x^3-x\gt 0,}$ затова вземаме двата интервала със знак „+“. В корените изразът е равен на ${0,}$ а ${0\gt 0}$ не е вярно, затова корените не влизат в отговора.

Отговор: $x\in(-1;\,0)\cup(1;\,+\infty),$ т.е. ${-1\lt x\lt 0}$ или ${x\gt 1.}$

Графиката на ${y=x^3-x}$ показва същото: кривата е над оста ${Ox}$ точно над тези два интервала.

Графиката на ${y=x^3-x.}$ Отговорът е отбелязан с оранжево върху оста ${Ox.}$

Правило за редуване на знаците

Пробните стойности винаги вършат работа, но когато многочленът е разложен на множители, има по-бърз начин. Записваме го във вида

${P(x)}={a(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n),}$   където $x_1\lt x_2\lt\dots\lt x_n.$

Вдясно от най-големия корен всички скоби са положителни, затова там ${P(x)}$ има знака на старшия коефициент ${a.}$ Всеки път, когато преминем наляво през корен, точно една скоба сменя знака си, затова се сменя и знакът на произведението.

В пример 1 ${x^3-x}={x(x+1)(x-1)}$ и ${a=1\gt 0,}$ затова отдясно наляво знаците са ${+,}$ ${-,}$ ${+,}$ ${-,}$ както показаха и пробните стойности.

Пример 2

Решете неравенството ${3x^4+10x}\le{11x^3+4.}$

Изваждаме ${11x^3+4}$ от двете страни:

${3x^4-11x^3+10x-4}\le 0$

Алгебрично решение

Решаваме съответното уравнение ${3x^4-11x^3+10x-4}=0.$ Първо пробваме малки числа: ${P(-1)}={3+11-10-4}={{0},}$ следователно ${x=-1}$ е корен и многочленът се дели на ${x+1.}$ Делението (например по схемата на Хорнер) дава

${3x^4-11x^3+10x-4}={(x+1)(3x^3-14x^2+14x-4)}$

Ако многочлен с цели коефициенти има рационален корен ${\frac pq,}$ то ${p}$ дели свободния член, а ${q}$ дели старшия коефициент. За кубичния многочлен кандидатите са ${\pm1,}$ ${\pm2,}$ ${\pm4,}$ ${\pm\frac13,}$ ${\pm\frac23,}$ ${\pm\frac43,}$ и ${x=\frac23}$ е корен:

${3\cdot\frac{8}{27}-14\cdot\frac49+14\cdot\frac23-4}={\frac{8-56+84-36}{9}}={0}$

Като разделим кубичния многочлен на ${3x-2,}$ остава ${x^2-4x+2}$ с корени ${x}={\frac{4\pm\sqrt{16-8}}{2}}={{2\pm\sqrt2}.}$ Следователно

${3x^4-11x^3+10x-4}={(x+1)(3x-2)(x^2-4x+2)}$

и четирите корена, подредени по големина, са

${-1}\lt{2-\sqrt2}\lt{\frac23}\lt{2+\sqrt2,}$   или приблизително   ${-1;}$ ${0{,}586;}$ ${0{,}667;}$ ${3{,}414.}$

Старшият коефициент е ${3\gt 0}$ и четирите корена са различни, затова отдясно наляво знаците са ${+,}$ ${-,}$ ${+,}$ ${-,}$ ${+}$:

Пробните стойности потвърждават това (стойността ${0{,}6}$ е между ${0{,}586}$ и ${0{,}667}$):

Интервал	${x}$	${P(x)}$
${(-\infty;\,-1)}$	${-2}$	${112}$
${(-1;\,2-\sqrt2)}$	${0}$	${-4}$
${(2-\sqrt2;\,\frac23)}$	${0{,}6}$	${0{,}0128}$
${(\frac23;\,2+\sqrt2)}$	${1}$	${-2}$
${(2+\sqrt2;\,+\infty)}$	${4}$	${100}$

Търсим ${P(x)\le 0}$: двата интервала със знак „−“ заедно с краищата им, защото неравенството не е строго.

Отговор: $x\in\left[-1;\,2-\sqrt2\,\right]\cup\left[\frac23;\,2+\sqrt2\,\right].$

Графично решение

Графиката на $y={3x^4-11x^3+10x-4}$ пресича оста ${Ox}$ при ${x=-1}$ и близо до ${x=3{,}414.}$ Между ${x=0}$ и ${x=1}$ кривата като че ли само докосва оста.

Ако увеличим оградения участък, се вижда, че там кривата всъщност пресича оста два пъти: при ${2-\sqrt2}\approx{0{,}586}$ и при ${\frac23}\approx{0{,}667.}$ Между тези корени има малка гърбица над оста; най-високата ѝ точка е едва около ${0{,}022.}$

Графиката е върху или под оста ${Ox}$ над ${[-1;\ 0{,}586]}$ и ${[0{,}667;\ 3{,}414],}$ което съвпада с алгебричния отговор. Графиката е добра проверка, но дава само приблизителни стойности и може да скрие корени, които са близо един до друг. Алгебрата дава точните критични стойности, а графиката показва с един поглед кои интервали удовлетворяват неравенството.

Пример 3

Решете неравенството ${x^4-5x^2+4}\lt 0.$

Лявата страна е биквадратен израз, т.е. квадратен спрямо ${x^2.}$ Разлагаме я на множители на две стъпки:

${x^4-5x^2+4}={(x^2-1)(x^2-4)}={(x+2)(x+1)(x-1)(x-2)}$

Корените ${-2,}$ ${-1,}$ ${1,}$ ${2}$ са различни и старшият коефициент е ${1,}$ затова отдясно наляво знаците са ${+,}$ ${-,}$ ${+,}$ ${-,}$ ${+.}$

Отговор: $x\in(-2;\,-1)\cup(1;\,2).$

Кратни корени

Ако една скоба участва два пъти, както в ${(x-2)^2,}$ то ${2}$ е двоен корен. Квадратът никога не е отрицателен, затова там знакът не се сменя.

Пример 4. Решете неравенството ${x^3-4x^2+4x}\le 0.$

${x^3-4x^2+4x}={x(x^2-4x+4)}={x(x-2)^2}$

Коренът ${0}$ е прост, а коренът ${2}$ е двоен. Вдясно от ${2}$ знакът е ${+.}$ При преминаване през ${2}$ той остава ${+,}$ а при преминаване през ${0}$ става ${-.}$

Изразът е отрицателен при ${x\lt 0}$ и е равен на ${0}$ при ${x=0}$ и при ${x=2.}$ Всички тези числа удовлетворяват ${\le 0.}$

Отговор: $x\in(-\infty;\,0]\cup\{2\}.$

Не забравяйте отделната точка ${x=2.}$ При строгото неравенство ${x(x-2)^2\lt 0}$ отговорът би бил само ${x\lt 0.}$ При ${x(x-2)^2\gt 0}$ той би бил $x\in(0;\,2)\cup(2;\,+\infty);$ там ${2}$ трябва да се изключи.

Графиката на ${y=x(x-2)^2}$ пресича оста ${Ox}$ в простия корен ${0}$ и само я допира в двойния корен ${2.}$

Множители, които никога не са нула

Квадратен множител с отрицателна дискриминанта, например ${x^2+x+1}$ (${D=1-4=-3\lt 0}$), няма реални корени. Той запазва знака на старшия си коефициент за всяко ${x}$ и затова не влияе на знаците в интервалите. Положителен множител можем просто да премахнем, защото делението на положително число не променя неравенството.

Пример 5. Решете неравенството ${(x^2+x+1)(x^2-9)}\ge 0.$

Тъй като ${x^2+x+1\gt 0}$ за всяко ${x,}$ неравенството е равносилно на ${x^2-9\ge 0,}$ т.е. на ${(x+3)(x-3)}\ge 0.$

Отговор: $x\in(-\infty;\,-3]\cup[3;\,+\infty).$

Рационални неравенства

В рационалното неравенство неизвестното участва в знаменател. След като прехвърлим всички членове от едната страна и ги запишем като една дроб, то има вида ${\frac{P(x)}{Q(x)}}\gt 0$ (или ${\ge,}$ ${\lt,}$ ${\le}$), където ${P}$ и ${Q}$ са многочлени.

Метод за решаване на рационални неравенства

1. Прехвърляме всички членове от едната страна и ги привеждаме под общ знаменател.
2. Разлагаме на множители числителя и знаменателя.
3. Намираме критичните стойности: нулите на числителя и нулите на знаменателя.
4. Нанасяме ги върху числовата ос. Нулите на знаменателя винаги са празни кръгчета. Нулите на числителя са запълнени кръгчета при ${\ge}$ и ${\le}$ и празни кръгчета при ${\gt}$ и ${\lt.}$
5. Определяме знака във всеки интервал с пробни стойности или с правилото за редуване на знаците. Скобите в знаменателя се броят точно както тези в числителя, защото ${\frac PQ}$ и ${P\cdot Q}$ винаги имат еднакъв знак.
6. Записваме отговора. Нулите на знаменателя никога не влизат в него.

Пример 6

Решете неравенството ${\frac{x-3}{x+4}}\ge{\frac{x+2}{x-5}.}$

Алгебрично решение

Изваждаме ${\frac{x+2}{x-5}}$ и привеждаме двете дроби под общ знаменател ${(x+4)(x-5)}$:

${\frac{x-3}{x+4}-\frac{x+2}{x-5}}\ge 0$

${\frac{(x-3)(x-5)-(x+2)(x+4)}{(x+4)(x-5)}}\ge 0$

Числителят е ${(x^2-8x+15)}-{(x^2+6x+8)}={{-14x+7},}$ следователно

${\frac{-14x+7}{(x+4)(x-5)}}\ge 0$

Делим двете страни на ${-7.}$ При деление на отрицателно число знакът на неравенството се обръща:

${\frac{2x-1}{(x+4)(x-5)}}\le 0$

Критичните стойности са ${x=\frac12}$ (нула на числителя; запълнено кръгче, защото неравенството не е строго) и ${x=-4,}$ ${x=5}$ (нули на знаменателя; празни кръгчета). С точност до положителен множител всички скоби са от вида ${(x-c),}$ затова отдясно наляво знаците са ${+,}$ ${-,}$ ${+,}$ ${-.}$

Търсим интервалите със знак „−“, като добавяме ${\frac12,}$ но не и ${-4}$ и ${5.}$

Отговор: $x\in(-\infty;\,-4)\cup\left[\frac12;\,5\right).$

За проверка ето пробни стойности на ${f(x)}={\frac{x-3}{x+4}-\frac{x+2}{x-5},}$ разликата между двете страни на даденото неравенство:

Интервал	${x}$	${f(x)}$
${(-\infty;\,-4)}$	${-5}$	${7{,}7}$
${(-4;\,\frac12)}$	${-2}$	${-2{,}5}$
${(\frac12;\,5)}$	${3}$	${2{,}5}$
${(5;\,+\infty)}$	${6}$	${-7{,}7}$

Графично решение

Графиката на $y={\frac{x-3}{x+4}-\frac{x+2}{x-5}}$ се прекъсва при ${x=-4}$ и ${x=5,}$ където функцията не е дефинирана; пунктирните прави са вертикални асимптоти. Кривата пресича оста ${Ox}$ само веднъж, при ${x=\frac12.}$

Кривата е върху или над оста ${Ox}$ над ${(-\infty;\,-4)}$ и ${\left[\frac12;\,5\right),}$ което е същият отговор. Забележете, че функцията сменя знака си и при прекъсванията, без да пресича оста там. Затова нулите на знаменателя също са критични стойности.

Пример 7

Решете неравенството ${\frac{x^2-x-6}{x^2-1}}\ge 0.$

Разлагаме на множители числителя и знаменателя:

${\frac{(x-3)(x+2)}{(x-1)(x+1)}}\ge 0$

Числителят е нула при ${-2}$ и ${3}$ (запълнени кръгчета), а знаменателят е нула при ${-1}$ и ${1}$ (празни кръгчета). Четирите критични стойности са различни, затова отдясно наляво знаците са ${+,}$ ${-,}$ ${+,}$ ${-,}$ ${+.}$

Отговор: $x\in(-\infty;\,-2]\cup(-1;\,1)\cup[3;\,+\infty).$

Чести грешки

Грешка	Грешно	Вярно
Умножаване по знаменател, който съдържа ${x}$	${\frac1x\lt 1}\Rightarrow{x\gt 1}$	${\frac{x-1}{x}\gt 0}\Rightarrow{x\in(-\infty;\,0)\cup(1;\,+\infty)}$
Нула на знаменателя е включена в отговора	${\frac{x+1}{x-2}\ge 0}\Rightarrow{x\in(-\infty;\,-1]\cup[2;\,+\infty)}$	${x\in(-\infty;\,-1]\cup(2;\,+\infty)}$
Редуване на знаците при двоен корен	${(x-1)^2(x+2)\gt 0}\Rightarrow{x\in(-\infty;\,-2)\cup(1;\,+\infty)}$	${x\in(-2;\,1)\cup(1;\,+\infty)}$
Забравена отделна точка	${x(x-2)^2\le 0}\Rightarrow{x\in(-\infty;\,0]}$	${x\in(-\infty;\,0]\cup\{2\}}$
Съкращаване на общ множител, без да се отчете къде той е нула	${\frac{x^2-1}{x-1}\gt 0}\Rightarrow{x+1\gt 0}\Rightarrow{x\gt -1}$	${x\in(-1;\,1)\cup(1;\,+\infty)}$
Скобата ${(2-x)}$ е третирана като ${(x-2)}$	${(2-x)(x+3)\gt 0}\Rightarrow{x\in(-\infty;\,-3)\cup(2;\,+\infty)}$	${x\in(-3;\,2)}$

Упражнения

Решете неравенствата. Опитайте сами, след това отворете отговора.

1. ${(x+3)(x-1)(x-4)}\lt 0$

Корени ${-3,}$ ${1,}$ ${4;}$ знаци отдясно наляво ${+,}$ ${-,}$ ${+,}$ ${-.}$ Отговор: $x\in(-\infty;\,-3)\cup(1;\,4)$

2. ${x^3\ge 9x}$

${x^3-9x}={x(x-3)(x+3)}\ge 0.$ Отговор: $x\in[-3;\,0]\cup[3;\,+\infty)$

3. ${x^4-10x^2+9}\le 0$

${x^4-10x^2+9}={(x^2-1)(x^2-9)}={(x+3)(x+1)(x-1)(x-3)}\le 0.$ Отговор: $x\in[-3;\,-1]\cup[1;\,3]$

4. ${(x-2)^2(x+5)}\lt 0$

Двойният корен ${2}$ не сменя знака, а при ${x=2}$ изразът е ${0,}$ което не е отрицателно число. Отговор: $x\in(-\infty;\,-5)$

5. ${x^3+x^2-4x-4}\gt 0$

Групираме членовете: ${x^2(x+1)-4(x+1)}={(x+1)(x-2)(x+2)}\gt 0.$ Отговор: $x\in(-2;\,-1)\cup(2;\,+\infty)$

6. ${\frac{x-1}{x+2}}\le 0$

Критични стойности ${-2}$ (празно кръгче) и ${1}$ (запълнено кръгче). Отговор: ${x\in(-2;\,1]}$

7. ${\frac{x+3}{x-1}}\gt 2$

${\frac{x+3}{x-1}-2}={\frac{5-x}{x-1}}\gt{0,}$ т.е. ${\frac{x-5}{x-1}}\lt 0.$ Отговор: ${x\in(1;\,5)}$

8. ${\frac{x^2-4}{x^2+x}}\ge 0$

${\frac{(x-2)(x+2)}{x(x+1)}}\ge 0.$ Критични стойности ${-2,}$ ${-1,}$ ${0,}$ ${2;}$ знаци отдясно наляво ${+,}$ ${-,}$ ${+,}$ ${-,}$ ${+.}$ Отговор: $x\in(-\infty;\,-2]\cup(-1;\,0)\cup[2;\,+\infty)$

9. ${\frac{1}{x-1}}\ge{\frac{1}{x+1}}$

${\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}}={\frac{2}{(x-1)(x+1)}}\ge 0.$ Числителят никога не е нула, затова дробта трябва да е положителна. Отговор: $x\in(-\infty;\,-1)\cup(1;\,+\infty)$

10. ${\frac{(x-3)^2}{x^2-4}}\le 0$

Числителят никога не е отрицателен и е ${0}$ само при ${x=3.}$ Дробта е отрицателна там, където ${x^2-4\lt 0.}$ Отговор: $x\in(-2;\,2)\cup\{3\}$

Можете да проверите отговорите си с програмата за решаване на задачи: тя решава неравенства по метода на интервалите стъпка по стъпка.