Неравенства от по-висока степен и рационални неравенства

Ще използваме комбинация от алгебрични и графични методи за решаването на неравенства от по-висока степен и рационални неравенства.

Неравенства от по-висока степен

Както квадратното уравнение може да бъде записано във вида ax² + bx + c = 0, така и квадратното неравенство може да бъде записано във вида ax² + bx + c ? 0, където ? е <, >, ≤ или ≥.

Ето няколко примера за квадратни неравенства:
3x² - 2x - 5 >0, (-1/2)x² + 4x -7 ≤ 0.

Квадратните неравенства са един вид неравенства от по-висока степен. Други примери за неравенства от по-висока степен са
-2x⁴ + x² - 3 < 7, (2/3)x + 4 ≥ 0, and 4x³ - 2x² > 5x + 7.

Когато символът за неравенство в неравенството от по-висока степен се замени със знак за равенство, се получава еквивалентно уравнение. Неравенствата от по-висока степен могат да бъдат решени лесно, като първо се реши уравнението.

ПРИМЕР 1 Решете: x³ - x > 0.
Решение Трябва да намерим всички стойности на х, за които x³ - x > 0. За да определим тези стойности, начертаваме графиката на f(x) = x³ - x. Вижда се, че при смяна на знака на функцията, графиката ѝ пресича абсцисата х.

Следователно за да решим x³ - x > 0, първо решаваме съответното уравнение x³ - x = 0, за да намерим стойностите на х, за които f(x) е 0:

x³ - x = 0
x(x² - 1) = 0
x(x + 1)(x - 1) = 0.

Корените са -1, 0, и 1. Те разделят оста х на четири интервала, както е показано на фигурата:

За всички стойности на х в дадения интервал, знакът на x³ - x трябва да е или положителен, или отрицателен. За да определим знака, избираме произволна стойност на х от всеки интервал и намираме f(x). Можем да използваме следната таблица

за да определим знаците на f(x) за всеки интервал.
Можем също да определим знака на f(x) за всеки интервал и от самата графика на функцията.

Тъй като решаваме x³ - x > 0, множеството от решенията се състои само от два от четирите интервала, тези, за които f(x) е положителна. Виждаме че множеството от решения е (-1; 0) (1; ∞), или {x| - 1 < x < 0 или x > 1}.

Алгоритъм за решаване на неравенство от по-висока степен:
1. Преобразува се в еквивалентно неравенство, като всички неизвестни се прехвърлят от едната страна, а от другата остава 0.
2. Решава се съответното уравнение от по-висока степен.
3. Получените стойности се нанасят на оста х, разделяйки я на интервали. След това се избира произволна стойност за всеки един интервал и се определя знака на уравнението в интервала.
4. Определяме интервалите, за които неравенството е удовлетворено. Краищата на интервала се включват, ако знакът за неравенство е ≤ или ≥.

Пример 2 Решете: 3x⁴ + 10x ≤ 11x³ + 4.
Решение Чрез изваждане на 11x³ + 4, получаваме неравенството 3x⁴ - 11x³ + 10x - 4 ≤ 0.

Алгебрично решение

Графично решение

Начертаваме графиката на функцията
y = 3x⁴ - 11x³ + 10x - 4

Виждаме, че два от корените са -1 и приблизително 3,414(2 + √2 ≈ 3,414). Обаче, графиката не ни дава информация, за корените на функцията в интервала [0, 1]. Следващата графика показва кои са корените в интервала [0; 1]. Приблизително това са числата 0,586 и 0,667(2 - √2 ≈ 0,586; 2/3 ≈ 0,667).

Интервалите, които трябва да бъдат разгледани са (-∞; -1), (-1; 0,586), (0,586; 0,667), (0,667; 3,414) и (3,414; ∞). Определяме по чертежа къде функцията е отрицателна. Т.к. знака за неравенство е ≤, включваме и краищата на интервалите към множеството от решения.Следователно множеството от решения е:
[-1; 0,586] [0,667; 3,414] или {x|-1 ≤ x ≤ 0,586 или 0,667 ≤ x ≤ 3,414}.

Рационални неравенства

Някои неравенства включват рационални изрази или функции. Те се наричат рационални неравенства. За да решим рационални неравенства, е необходимо да внесем някои уточнения в предходния метод.

Пример 3 Решете: $\frac{x-3}{x+4} \ge\frac{x+2}{x-5}$
Решение Прехвърляме $\frac{x + 2}{x - 5}$ за да приведем в еквивалентно неравенство с 0 от едната страна:
$\frac{x-3}{x+4}-\frac{x+2}{x-5} \ge 0$

Алгебрично решение

Търсим всички стойности на x, за които съответната функция
$f(x) =\frac{x - 3}{x + 4} - \frac{x + 2}{x - 5}$
не е дефинирана или е 0. Те се наричат критични стойности.
Функцията не е дефинирана за x = -4 и x = 5. След това решаваме f(x) = 0:
$\frac{x - 3}{x + 4}-\frac{x + 2}{x - 5}=0$
$(x+4)(x-5)[\frac{x-3}{x+4}-\frac{x+2}{x-5}] = (x+4)(x-5).0$
(x - 5)(x - 3) - (x + 4)(x + 2) = 0
(x² - 8x + 15) - (x² + 6x + 8) = 0
-14x + 7 = 0
x = 1/2.
Критичните стойности са -4, 1/2 и 5. Тези стойности разделят оста х на четири интервала:
(-∞; -4),   (-4; 1/2),   (1/2; 5),   и (5; ∞).

След това задаваме стойности на х, за да определим знака на f(x) във всеки един от интервалите.


Функцията е положителна в интервалите (-∞; -4) и (1/2; 5). Тъй като f(1/2) = 0 и знакът за неравенство е ≥, трябва да включим 1/2 в множеството от решения. Ще отбележим, че тъй като f не е дефинирана нито за -4 , нито за 5, те не се включват в множеството от решения. Следователно множеството от решения е: (-∞ -4) [1/2; 5).

Графично решение

Чертаем графиката на
$y=\frac{x-3}{x+4}-\frac{x+2}{x-5}$
След това проверяваме за кои стойности на х, функцията не е дефинирана. Чрез изследване на знаменателите x + 4 and x - 5, виждаме че не е дефинирана x = -4 и x = 5
Критичните стойности( стойностите, за които функцията не е дефинирана или е нула) са: -4, 0,5 и 5.
Тъй като знакът на неравенството е ≥, х=0.5 трябва да се включи към решенията. Следователно множеството от решения е:

Виждаме, че 0,5 е корен.
След това проверяваме за кои стойности на х, функцията не е дефинирана. Чрез изследване на знаменателите x + 4 и x - 5, виждаме че не е дефинирана x = -4 и x = 5

Критичните стойности(стойностите, за които функцията не е дефинирана или е нула) са y -4, 0,5 и 5.
От графиката определяме къде функцията е положителна или отрицателна. Тъй като за х=-4 и х= 5 функцията не е дефинирана, те не принадлежат на множеството от решения.Понеже знакът за неравенство е ≥ и х=0,5 трябва да се включи към решенията. Следователно множеството от решения е
(-∞; -4) [0,5; 5).

Метод за решаване на рационални неравенства

За да решим рационално неравенство:

1. Преобразува се в еквивалентно неравенство, като всички неизвестни се прехвърлят от едната страна, а от другата остава 0.
2. Решава се съответното уравнение.
3. Намираме стойностите на х, за които съответната рационална функция не е дефинирана.
4. Стойностите намерени в стъпки (2) и (3) се наричат критични стойности.Така получените стойности се нанасят на оста х, разделяйки я на интервали. След това се избира произволна стойност за всеки един интервал и се определя знакът на уравнението в интервала.
5. Определяме интервалите, за които неравенството е удовлетворено. Ако знакът за неравенство е ≤ или ≥, то корените получени в стъпка (2) трябва да се включат в множеството от решения. Стойностите на х, намерени в стъпка (3), никога не се включват в множеството от решения.

Използването едновременно на алгебрични и графични методи за решаване на неравенства от по-висок ред и рационални неравенства, ни позволява да определим точния брой на критичните стойности и да видим на графиката кои интервали удовлетворяват неравенството.