Рационални изрази: едночлени, многочлени и рационални дроби

Изрази като $2ab,$ ${4a^2+34x+z^5}$ и $\frac{x+1}{2y+x}$ са съставени от числа и букви (променливи), свързани със знаците за събиране, изваждане, умножение и деление. Те се наричат рационални изрази. В този урок ще научите какви видове рационални изрази има (едночлени, многочлени и рационални дроби), как се намира стойността им и как се опростяват. Всяко правило е придружено с решени примери, а в края има задачи за упражнение с отговори.

На тази страница: Рационални изрази · Числена стойност · Допустими стойности · Едночлени · Подобни едночлени · Многочлени · Действия с многочлени · Тъждества · Рационални дроби · Съкращаване на дроби · Умножение и деление на дроби · Събиране и изваждане на дроби · Задачи

Какво е рационален израз?

Рационален израз е израз, съставен от числа и променливи, свързани с действията събиране, изваждане, умножение, деление и степенуване с естествен показател.

Примери: $2ab,$ ${4a^2+34x+z^5},$ $\frac{3a+c}{5},$ $\frac{4}{5xy+12},$ $\frac{x+1}{2y+x}.$ Едно число, например $7,$ и една променлива, например $x,$ също са рационални изрази. Изразите $\sqrt{x}$ (корен от променлива) и $2^x$ (променлива в степенния показател) не са рационални.

Цели и дробни рационални изрази

В първите три примера няма деление на израз, който съдържа променлива. Такива изрази се наричат цели рационални изрази. В последните два примера се дели на израз с променлива; те се наричат дробни рационални изрази.

• Цели: $2ab,$ ${4a^2+34x+z^5},$ $\frac{3a+c}{5}.$
• Дробни: $\frac{4}{5xy+12},$ $\frac{x+1}{2y+x}.$

В цял израз може да има деление на число: $\frac{3a+c}{5}$ е същото като ${\frac{1}{5}(3a+c)}.$ Можем да разглеждаме израза и само относно една от променливите: $\frac{3x+2}{a-1}$ е цял относно $x$ (в знаменателя няма $x$), но е дробен относно $a.$

Числена стойност на израз

Ако заместим променливите с числа и извършим действията, получаваме число. То се нарича числена стойност на израза при тези стойности на променливите.

Пример 1. Намерете стойността на ${x^2y+2y^2}$ при ${x=2}$ и ${y=3}.$

Решение. ${x^2y+2y^2}={2^2\cdot3+2\cdot3^2}={12+18}={{30}.}$

Пример 2. Намерете стойността на ${3a^2-a}$ при ${a=-2}.$

Решение. Отрицателното число се записва в скоби: ${3a^2-a}={3\cdot(-2)^2-(-2)}={12+2}={{14}.}$

Допустими стойности

На нула не се дели, затова дробен израз няма стойност, когато някой знаменател е равен на $0.$ Стойностите на променливите, при които изразът има стойност, се наричат негови допустими стойности (те образуват дефиниционното множество на израза). Цял израз има стойност при всички стойности на променливите.

Пример 3. При кои стойности на $x$ изразът $\frac{x+1}{x-3}$ има стойност?

Решение. Знаменателят е $0,$ когато ${x-3=0},$ т.е. при ${x=3}.$ Следователно изразът има стойност при всяко $x$ освен $3.$ Записваме ${x\ne3}.$

Пример 4. Намерете допустимите стойности на $\frac{5}{x^2-4x}.$

Решение. ${x^2-4x}={x(x-4)}.$ Това произведение е $0$ при ${x=0}$ и при ${x=4}.$ Допустимите стойности са всички числа освен $0$ и $4\text{:}$ ${x\ne0},$ ${x\ne4}.$

Едночлени

Едночлен е произведение от числа, променливи и степени на променливи с естествени показатели. Едно число и една променлива също са едночлени.

Едночлени: $2ab,$ $a^3,$ ${7x^2y^4},$ $-5,$ $x,$ ${\frac{2}{3}m^2n}.$

Не са едночлени: ${x+3}$ (сбор), ${a^2-b}$ (разлика) и $\frac{2x}{y}$ (в него се дели на променлива, затова е дробен израз).

Нормален вид, коефициент и степен

Едночленът е в нормален вид, ако има само един числов множител (коефициент), записан на първо място, и всяка променлива участва в него само веднъж, като степен. Коефициент $1$ не се записва, а променливите обикновено се подреждат по азбучен ред. За да запишем едночлен в нормален вид, умножаваме числата помежду им, а степените на всяка променлива – по правилото ${a^m\cdot a^n=a^{m+n}}$ (вижте Степен, степенуване).

Пример 5. Запишете в нормален вид: а) ${3x\cdot5a\cdot y\cdot x};$ б) ${-2a^2b\cdot4ab^3};$ в) ${14(xy)xy^2}.$

Решение. а) ${3x\cdot5a\cdot y\cdot x}={(3\cdot5)\cdot a\cdot(x\cdot x)\cdot y}={{15ax^2y}.}$

б) ${-2a^2b\cdot4ab^3}={(-2\cdot4)}\cdot {(a^2\cdot a)\cdot(b\cdot b^3)}={{-8a^3b^4}.}$

в) Тук $x$ и $y$ се срещат по два пъти: ${14(xy)xy^2}={14x^2y^3}.$

Числовият множител на едночлен в нормален вид е неговият коефициент, а сборът от показателите на всички променливи в него е неговата степен.

Едночлен	Коефициент	Степен
${-8a^3b^4}$	$-8$	${3+4=7}$
${14x^2y^3}$	$14$	${2+3=5}$
${x^2y}$	$1$	${2+1=3}$
${-ab}$	$-1$	${1+1=2}$
$7$	$7$	$0$

Коефициентът $-1$ се записва само като знак минус. Всяко число, различно от $0,$ е едночлен от степен $0.$

Пример 6. Степенувайте: а) ${(2x^3)^3};$ б) ${(-3a^2b)^2}.$

Решение. Степенуваме всеки множител и използваме правилото ${(a^m)^n=a^{m\cdot n}}\text{:}$ а) ${(2x^3)^3}={2^3\cdot(x^3)^3}={{8x^9};}$ б) ${(-3a^2b)^2}={(-3)^2\cdot(a^2)^2\cdot b^2}={{9a^4b^2}.}$

Подобни едночлени

Едночлени, които имат едни и същи променливи със съответно равни показатели, се наричат подобни едночлени. Те могат да се различават само по коефициентите си. За да сравним едночлени, първо ги записваме в нормален вид:

• $2a^2$ и $10a^2$ са подобни;
• $5xy$ и $xy$ са подобни;
• $a^3b^2c$ и $20a^2b^2ac$ са подобни, защото ${20a^2b^2ac=20a^3b^2c};$
• $2a^2$ и $2a^3$ не са подобни (показателите са различни), както и $x^2y$ и $xy^2.$

За да приведем подобните едночлени, събираме коефициентите им, а буквената част остава същата.

Пример 7. а) ${3x^2-5x^2+8x^2}={(3-5+8)x^2}={{6x^2};}$ б) ${7ab+2ab-ab}={8ab};$ в) ${4x^2+3x-x^2+2x}={{3x^2+5x}.}$

Едночлени, които не са подобни, не могат да се обединят в един: изразите ${2x+3y}$ и ${3x^2+5x}$ остават непроменени.

Многочлени

Многочлен е сбор от едночлени. Тези едночлени се наричат негови членове.

Примери: ${2x+3},$ ${2ab+a^3},$ ${c^2-2xa+93y^2b^5}.$ Разликата също е сбор: членовете на ${c^2-2xa+93y^2b^5}$ са $c^2,$ ${-2ax}$ и ${93b^5y^2}.$ Многочлен с два члена се нарича двучлен, а с три члена – тричлен. Едночленът е многочлен с един член.

Нормален вид и степен на многочлен

Многочленът е в нормален вид, ако всеки негов член е едночлен в нормален вид и в него няма подобни едночлени. Например ${5x^2+7x}$ и ${60xy^2+34x-10}$ са в нормален вид. Степен на многочлен в нормален вид е най-високата от степените на членовете му: членовете на ${60xy^2+34x-10}$ са от степени $3,$ $1$ и $0,$ затова степента на многочлена е $3.$

Пример 8. Запишете ${3x^2+2x-5x^2+4-x}$ в нормален вид и определете степента му.

Решение. Привеждаме подобните едночлени: ${3x^2-5x^2=-2x^2}$ и ${2x-x=x}.$ Следователно ${3x^2+2x-5x^2+4-x}={-2x^2+x+4}$ – многочлен от степен $2.$ Обикновено членовете се подреждат по намаляващи степени.

Действия с многочлени

Събиране и изваждане

След това привеждаме подобните едночлени.

Пример 9. Намерете сбора и разликата на ${3x^2-2x+1}$ и ${x^2+5x-4}.$

Решение. Сборът:

${(3x^2-2x+1)}+{(x^2+5x-4)}$

$={3x^2-2x+1}+{x^2+5x-4}={4x^2+3x-3.}$

Разликата: знаците на членовете на ${x^2+5x-4}$ се сменят.

${(3x^2-2x+1)}-{(x^2+5x-4)}$

$={3x^2-2x+1}-{x^2-5x+4}={2x^2-7x+5.}$

Умножение

За да умножим едночлен по многочлен, умножаваме едночлена по всеки член на многочлена. За да умножим два многочлена, умножаваме всеки член на първия по всеки член на втория и след това привеждаме подобните едночлени.

Пример 10. ${2x(3x^2-x+4)}={{6x^3-2x^2+8x}.}$

Пример 11. ${(x+3)(2x-5)}={2x^2-5x+6x-15}={{2x^2+x-15}.}$

Пример 12. ${(a-2)(a^2+2a+4)}={a^3+2a^2+4a}-{2a^2-4a-8}={{a^3-8}.}$

Някои произведения се срещат толкова често, че си струва да се запомнят, например ${(a+b)^2=a^2+2ab+b^2},$ ${(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$ и ${(a-b)(a+b)=a^2-b^2}.$ Те са събрани в урока Формули за съкратено умножение.

Деление на многочлен на едночлен

За да разделим многочлен на едночлен (различен от $0$), делим всеки член на многочлена на едночлена. При степените изваждаме показателите: ${\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}}$ $(a\ne0).$

Пример 13. а) ${\frac{12x^5y^2}{4x^2y}}={3x^3y}$ (при ${x\ne0},$ ${y\ne0}$); б) ${\frac{6x^3-4x^2+2x}{2x}}={\frac{6x^3}{2x}-\frac{4x^2}{2x}+\frac{2x}{2x}}={3x^2-2x+1}$ (при ${x\ne0}$).

Многочлен се дели на многочлен по схема, подобна на деленето на многоцифрени числа; вижте Деление на полиноми.

Тъждествено равни изрази и тъждества

Два израза са тъждествено равни, ако имат равни стойности при всички допустими стойности на променливите. Равенство на два тъждествено равни израза се нарича тъждество.

Например ${(x-y)^2=x^2-2xy+y^2}$ е тъждество. Да го проверим при ${x=5}$ и ${y=2}\text{:}$ лявата страна е ${(5-2)^2=9},$ а дясната е ${25-20+4=9}.$

Проверката с няколко числа не е доказателство, защото тъждеството трябва да е вярно при всички допустими стойности. За да докажем тъждество, преобразуваме едната му страна, докато получим другата.

Пример 14. Докажете, че ${(a+b)^2-(a-b)^2=4ab}.$

Решение. Преобразуваме лявата страна:

${(a+b)^2-(a-b)^2}={a^2+2ab+b^2}-{(a^2-2ab+b^2)}$

$={a^2+2ab+b^2}-{a^2+2ab-b^2}={4ab.}$

Получихме дясната страна, следователно тъждеството е доказано.

За да покажем, че едно равенство не е тъждество, е достатъчен един пример. Равенството ${(x-y)^2=x^2-y^2}$ не е тъждество: при ${x=3}$ и ${y=1}$ лявата страна е ${(3-1)^2=4},$ а дясната е ${3^2-1^2=8}.$

Изразите с дроби се сравняват само при допустимите им стойности. Например ${\frac{x^2-1}{x-1}=x+1}$ при всяко ${x\ne1};$ при ${x=1}$ лявата страна няма стойност.

Рационални дроби

Рационална дроб (алгебрична дроб) е дроб, на която числителят и знаменателят са многочлени, например $\frac{x+1}{x-3}$ или $\frac{5}{x^2-4x}.$ Всеки дробен рационален израз може да се запише като една рационална дроб. За рационалните дроби важат същите правила, както за обикновените дроби.

Основно свойство на дробите. Числителят и знаменателят могат да се умножат или да се разделят с един и същ израз, различен от $0\text{:}$ ${\frac{A}{B}=\frac{A\cdot C}{B\cdot C}},$ където ${B\ne0}$ и ${C\ne0}.$

Съкращаване на рационални дроби

1. Разлагаме числителя и знаменателя на множители: изнасяме общ множител пред скоби или използваме формулите за съкратено умножение.
2. Намираме стойностите, при които знаменателят е $0\text{:}$ те се изключват.
3. Съкращаваме общите множители.

Пример 15. ${\frac{6x^2y}{9xy^3}}={\frac{3xy\cdot2x}{3xy\cdot3y^2}}={\frac{2x}{3y^2}}$ при ${x\ne0},$ ${y\ne0}.$

Пример 16. ${\frac{x^2-9}{x^2+3x}}={\frac{(x-3)(x+3)}{x(x+3)}}={\frac{x-3}{x}}$ при ${x\ne0},$ ${x\ne-3}.$

Пример 17. ${\frac{a^2-4a+4}{2a-4}}={\frac{(a-2)^2}{2(a-2)}}={\frac{a-2}{2}}$ при ${a\ne2}.$

Съкращават се само общи множители, никога събираеми. В $\frac{x+3}{x}$ буквата $x$ в числителя е събираемо, а не множител, затова тази дроб не може да се съкрати.

Понякога два множителя се различават само по знака си: ${3-x=-(x-3)},$ затова ${\frac{3-x}{x-3}=-1}$ при ${x\ne3}.$

Умножение и деление

${\frac{A}{B}\cdot\frac{C}{D}=\frac{A\cdot C}{B\cdot D}}$ и ${\frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}}$

Първо разлагаме на множители и съкращаваме, а след това умножаваме: така изразите остават кратки.

Пример 18. ${\frac{x^2-1}{3x}\cdot\frac{6x^2}{x+1}}={\frac{(x-1)(x+1)\cdot6x^2}{3x\cdot(x+1)}}={2x(x-1)}$ при ${x\ne0},$ ${x\ne-1}.$

Пример 19. ${\frac{a^2-4}{a}:\frac{a+2}{a^2}}={\frac{(a-2)(a+2)}{a}\cdot\frac{a^2}{a+2}}={a(a-2)}$ при ${a\ne0},$ ${a\ne-2}.$

Събиране и изваждане

Дроби с еднакви знаменатели: събираме или изваждаме числителите, а знаменателят остава същият.

Пример 20. ${\frac{3x}{x+2}+\frac{6}{x+2}}={\frac{3x+6}{x+2}}={\frac{3(x+2)}{x+2}}={3}$ при ${x\ne-2}.$

Дробите с различни знаменатели първо се привеждат под общ знаменател. Най-простият общ знаменател е най-малкият общ знаменател: разлагаме знаменателите на множители и вземаме всеки множител с най-високата степен, с която той участва в някой от знаменателите.

Пример 21. ${\frac{1}{x}+\frac{2}{x+1}}={\frac{x+1}{x(x+1)}+\frac{2x}{x(x+1)}}={{\frac{3x+1}{x(x+1)}}.}$

Пример 22. Опростете ${\frac{x}{x-2}-\frac{8}{x^2-4}}.$

Решение. ${x^2-4=(x-2)(x+2)},$ затова общият знаменател е ${(x-2)(x+2)}.$ Умножаваме числителя и знаменателя на първата дроб по ${x+2}\text{:}$

${\frac{x}{x-2}-\frac{8}{x^2-4}}={\frac{x(x+2)-8}{(x-2)(x+2)}}$

$=\frac{x^2+2x-8}{(x-2)(x+2)}$

$={\frac{(x-2)(x+4)}{(x-2)(x+2)}}={\frac{x+4}{x+2}.}$

Числителят е разложен на множители чрез групиране: ${x^2+2x-8}={(x^2-4)+(2x-4)}={(x-2)(x+2)}+{2(x-2)}={{(x-2)(x+4)}.}$ Резултатът е верен при ${x\ne2}$ и ${x\ne-2}.$

Задачи за упражнение

1. Кои от изразите са цели и кои са дробни? а) $\frac{a+b}{2};$ б) $\frac{2}{a+b};$ в) ${x^2-\frac{x}{3}};$ г) ${\frac{1}{x}+x}.$

Отговор

а) и в) са цели: в тях се дели само на числа. б) и г) са дробни: в тях се дели на израз с променлива.

2. Намерете стойността на ${2a^2-3ab}$ при ${a=-1}$ и ${b=2}.$

Отговор

${2a^2-3ab}={2\cdot(-1)^2}-{3\cdot(-1)\cdot2}={2+6}={{8}.}$

3. При кои стойности на $x$ изразът $\frac{2x+1}{x^2-9}$ няма стойност?

Отговор

Когато ${x^2-9=0}.$ Тъй като ${x^2-9=(x-3)(x+3)},$ това става при ${x=3}$ и при ${x=-3}.$

4. Запишете в нормален вид и посочете коефициента и степента: а) ${-2x\cdot3xy\cdot y^2};$ б) ${(-2a^2b)^3}.$

Отговор

а) ${-2x\cdot3xy\cdot y^2}={-6x^2y^3\text{:}}$ коефициентът е $-6,$ степента е $5.$

б) ${(-2a^2b)^3=-8a^6b^3}\text{:}$ коефициентът е $-8,$ степента е $9.$

5. Опростете ${(4x^2-3x+2)}-{(x^2-3x-5).}$

Отговор

${(4x^2-3x+2)}-{(x^2-3x-5)}={4x^2-3x+2}-{x^2+3x+5}={{3x^2+7}.}$

6. Умножете: а) ${-3a(a^2-2a+5)};$ б) ${(2a-3)(a+4)}.$

Отговор

а) ${-3a(a^2-2a+5)}={{-3a^3+6a^2-15a}.}$

б) ${(2a-3)(a+4)}={2a^2+8a-3a-12}={{2a^2+5a-12}.}$

7. Разделете: ${\frac{9a^3b-6a^2b^2}{3a^2b}}.$

Отговор

${\frac{9a^3b-6a^2b^2}{3a^2b}}={\frac{9a^3b}{3a^2b}-\frac{6a^2b^2}{3a^2b}}={3a-2b}$ при ${a\ne0},$ ${b\ne0}.$

8. Докажете тъждеството ${x(x+2)-(x+1)^2=-1}.$

Отговор

${x(x+2)-(x+1)^2}={x^2+2x-(x^2+2x+1)}={x^2+2x-x^2-2x-1}={{-1}.}$

9. Съкратете дробите: а) $\frac{15a^3b}{10ab^2};$ б) $\frac{5x+10}{x^2-4};$ в) $\frac{x^2-6x+9}{x^2-9}.$

Отговор

а) ${\frac{15a^3b}{10ab^2}}={\frac{5ab\cdot3a^2}{5ab\cdot2b}}={\frac{3a^2}{2b}}$ при ${a\ne0},$ ${b\ne0}.$

б) ${\frac{5x+10}{x^2-4}}={\frac{5(x+2)}{(x-2)(x+2)}}={\frac{5}{x-2}}$ при ${x\ne2},$ ${x\ne-2}.$

в) ${\frac{x^2-6x+9}{x^2-9}}={\frac{(x-3)^2}{(x-3)(x+3)}}={\frac{x-3}{x+3}}$ при ${x\ne3},$ ${x\ne-3}.$

10. Опростете: а) ${\frac{a^2-ab}{b^2}\cdot\frac{b}{a^2-b^2}};$ б) ${\frac{x^2-4}{x}:\frac{x-2}{3x}}.$

Отговор

а) ${\frac{a(a-b)}{b^2}}\cdot {\frac{b}{(a-b)(a+b)}}={\frac{a}{b(a+b)}}$ при ${b\ne0},$ ${a\ne b},$ ${a\ne-b}.$

б) ${\frac{(x-2)(x+2)}{x}\cdot\frac{3x}{x-2}}={3(x+2)}$ при ${x\ne0},$ ${x\ne2}.$

11. Опростете: а) ${\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x+1}};$ б) ${\frac{a}{a-b}+\frac{b}{b-a}}.$

Отговор

а) ${\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x+1}}={\frac{2(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}}={{\frac{x+3}{(x-1)(x+1)}}.}$

б) Тъй като ${b-a=-(a-b)},$ получаваме ${\frac{a}{a-b}+\frac{b}{b-a}}={\frac{a}{a-b}-\frac{b}{a-b}}={\frac{a-b}{a-b}}={1}$ при ${a\ne b}.$

12. Опростете ${\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right):\frac{b-a}{ab}}.$

Отговор

Първо ${\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}={\frac{b-a}{ab}}.$ Тогава ${\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right):\frac{b-a}{ab}}={\frac{b-a}{ab}\cdot\frac{ab}{b-a}}={1}$ при ${a\ne0},$ ${b\ne0},$ ${a\ne b}.$

Още задачи

• Рационални изрази: задачи с решения (1 част): цели и дробни изрази, едночлени, многочлени, умножение и деление.
• 2 част: пълни квадрати, разлагане на множители и доказване на тъждества.
• Калкулатор за разлагане на множители (с решение стъпка по стъпка).