Биквадратни уравнения

Биквадратно уравнение е полиномиално уравнение от четвърта степен, което съдържа само четни степени на променливата.

Определение

Общият вид е:

$ax^4 + bx^2 + c = 0$

където:
$(a \neq 0)$ $a, b, c$ са реални числа

Няма членове с $x^3$ или $x$. Понеже се появяват само четни степени, уравнението може да се сведе до квадратно уравнение.

Основна идея: замяна

Нека:

$u = x^2$

Тогава уравнението става:

$au^2 + bu + c = 0$

Това е стандартно квадратно уравнение.

След като го решим, се връщаме към:
$x^2 = u$

Тъй като работим с реални числа, трябва да помним:
$x^2 \ge 0$
Отрицателните стойности на $u$ не дават реални решения.

Обща процедура за решаване

Стъпка 1: Замяна $u = x^2$

Стъпка 2: Решаване на квадратно уравнение по отношение на $u$

Стъпка 3: Запазваме само решенията, при които $u \ge 0$

Стъпка 4: Решаваме
$x = \pm \sqrt{u}$

Пример 1 — четири реални решения

Решете:
$x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

Замяна: $u^2 - 5u + 4 = 0$

Разлагане на множители:
$(u - 4)(u - 1) = 0$
$u = 4 \quad \text{или} \quad u = 1$

И двете са неотрицателни.

Обратно заместваме:
$x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$

$x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$

Решения:
$x = -2, -1, 1, 2$

Пример 2 — две реални решения (една положителна, една отрицателна стойност на $u$)

Решете:
$x^4 - x^2 - 6 = 0$

Замяна: $u^2 - u - 6 = 0$

Разлагане на множители: $ (u - 3)(u + 2) = 0$

$u = 3 \quad \text{или} \quad u = -2$

Тъй като $x^2 \ge 0$, отхвърляме $u = -2$.

Решаваме валидния случай: $x^2 = 3$
$x = \pm \sqrt{3}$

Решения: $x = -\sqrt{3}, \quad \sqrt{3}$

Пример 3 — три реални решения (един двоен корен)

Решете: $x^4 - 4x^2 = 0$

Разлагане на множители: $x^2(x^2 - 4) = 0$
$x^2 = 0 \quad \text{или} \quad x^2 = 4$

Решаваме:
$x = 0$
$x = \pm 2$

Решения:
$x = -2, 0, 2$

Тук, $x = 0$ е двоен корен, т.е. всички корени са: $x = -2, 0, 0, 2$

Пример 4 — няма реални решения

Решете: $x^4 + 4x^2 + 5 = 0$

Замяна: $u^2 + 4u + 5 = 0$

Дискриминанта: $\Delta = 16 - 20 = -4$

Тъй като квадратното уравнение няма реални решения, първоначалното уравнение няма реални решения.

Използване на формулата за квадратно уравнение

Когато квадратното уравнение по отношение на $u$ не се разлага на множители с цели числа, използваме формулата за корените:

$u = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Пример 5 — ирационални решения

Решете:
$x^4 - 6x^2 + 4 = 0$

Замяна: $u^2 - 6u + 4 = 0$

Това не се разлага на множители с цели числа, затова прилагаме формулата:
$u = \dfrac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2} = \dfrac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = 3 \pm \sqrt{5}$

И двете стойности са положителни, тъй като $\sqrt{5} \approx 2.24$ дава $u \approx 5.24$ и $u \approx 0.76$.

Обратно заместваме:
$x = \pm\sqrt{3 + \sqrt{5}} \quad \text{и} \quad x = \pm\sqrt{3 - \sqrt{5}}$

Решения: четири реални решения (всички ирационални).

Обобщение на всички възможни случаи

Нека квадратното уравнение по отношение на $u$ има решения $u_1$ и $u_2$.

Графика на биквадратна функция

Функцията $f(x) = ax^4 + bx^2 + c$

е симетрична спрямо оста y, защото:
$f(x) = f(-x)$

Реалните решения съответстват на точките, в които графиката пресича оста x.

Задачи за упражнение

Решете всяко биквадратно уравнение. Опитайте сами, след което проверете отговорите по-долу.

1.   $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$
2.   $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$
3.   $x^4 - 2x^2 - 8 = 0$
4.   $x^4 - 9x^2 = 0$
5.   $x^4 + 3x^2 + 2 = 0$

Отговори

1.   $x = -3, -1, 1, 3$
2.   $x = -3, -2, 2, 3$
3.   $x = -2, 2$
4.   $x = -3, 0, 3$
5.   няма реални решения