Биквадратни уравнения

Калкулатор за биквадратни уравнения

Въведете коефициентите $a,$ $b$ и $c.$ Те може да са цели числа, десетични дроби (например 0,5) или обикновени дроби (например 1/3). Празно поле за $b$ или $c$ означава 0. Калкулаторът полага $u=x^2,$ решава квадратното уравнение относно $u,$ проверява знака на всеки корен и намира точните реални корени $x.$

Какво е биквадратно уравнение?

Това е уравнение от четвърта степен, но в него има само четни степени на $x\text{:}$ членовете $x^4$ и $x^2$ и свободният член. Няма член с $x^3$ и няма член с $x.$ Тъй като $x^4=(x^2)^2,$ уравнението е квадратно относно $x^2.$ Представката „би-“ означава „два пъти“: $x^4$ е квадратът на квадрата $x^2.$ (В някои по-стари учебници биквадратно се нарича всяко уравнение от четвърта степен. На тази страница думата означава само $ax^4+bx^2+c=0.$)

Примери. Преди да определим коефициентите, преместваме всички членове вляво от знака за равенство. Знакът пред всеки член е част от коефициента.

• $2x^4-7x^2+3=0\text{:}$   $a=2,$ $b=-7,$ $c=3$
• $x^4-16=0\text{:}$   $a=1,$ $b=0,$ $c=-16$
• $x^4=5x^2$ се записва като $x^4-5x^2=0\text{:}$   $a=1,$ $b=-5,$ $c=0$
• $x^4+x^3-2=0$ не е биквадратно, защото съдържа член с $x^3.$

На тази страница: Калкулатор · Полагане · Стъпки · Примери · Брой на корените · Графика · Разлагане на множители · Други уравнения · Текстови задачи · С параметър · Упражнения

Основна идея: полагане

Полагаме $u=x^2.$ Тогава $x^4=(x^2)^2=u^2,$ а уравнението приема вида

$$au^2+bu+c=0.$$

Това е обикновено квадратно уравнение относно новото неизвестно $u$ (в много учебници то се означава с $t$). Решаваме го и след това се връщаме към $x\text{:}$ за всеки корен $u$ решаваме уравнението $x^2=u.$

При връщането трябва да внимаваме. Квадратът на реално число никога не е отрицателен: $x^2\ge 0$ за всяко реално $x.$ Затова всеки корен $u$ на квадратното уравнение дава

Това се вижда и на чертежа. Корените на $x^2=u$ са абсцисите на общите точки на параболата $y=x^2$ и хоризонталната права $y=u.$ Права над оста $Ox$ пресича параболата в две точки, оста $Ox$ я допира само в началото на координатната система, а права под оста $Ox$ няма общи точки с нея.

Как се решава биквадратно уравнение

1. Полагаме $u=x^2$ и записваме квадратното уравнение $au^2+bu+c=0.$
2. Решаваме го относно $u\text{:}$ чрез разлагане на множители, с формулите на Виет или с формулата за корените $u_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a},$ където $D=b^2-4ac.$
3. Ако $D\lt 0,$ няма корени $u,$ затова и даденото уравнение няма реални корени. В противен случай отхвърляме всеки отрицателен корен $u\text{:}$ той не дава реално $x.$
4. За всеки корен $u\ge 0$ решаваме $x^2=u\text{:}$ $x=\pm\sqrt{u}$ (при $u=0$ само $x=0$).
5. Записваме всички стойности на $x.$ За проверка заместваме в даденото уравнение по една стойност от всяка двойка $\pm x$ (другата стойност $-x$ дава същите числа).

Решени примери

Пример 1. Четири корена

Решете уравнението $x^4-5x^2+4=0.$

Полагаме $u=x^2\text{:}$

$u^2-5u+4=0$

Търсим две числа с произведение 4 и сбор 5: $u_1=1$ и $u_2=4.$ (Формулата дава същото: $D=25-16=9$ и $u_{1,2}=\frac{5\pm 3}{2}.$) И двата корена са положителни, затова всеки от тях дава две стойности на $x\text{:}$

$x^2=1,$   $x=\pm 1;$    $x^2=4,$   $x=\pm 2$

Отговор: $x=\pm 1,$ $x=\pm 2.$ Уравнението има четири корена: $-2,$ $-1,$ $1$ и $2.$

Проверка за $x=2\text{:}$ ${2^4-5\cdot 2^2+4}={16-20+4}={0.}$ Тъй като в уравнението има само четни степени на $x,$ стойността $x=-2$ дава точно същите числа.

Пример 2. Два корена

Решете уравнението $x^4-x^2-6=0.$

С полагането $u=x^2$ получаваме $u^2-u-6=0,$ т.е. $(u-3)(u+2)=0,$ откъдето $u_1=3$ и $u_2=-2.$

• $x^2=3$ дава $x=\pm\sqrt{3}.$
• $x^2=-2$ няма реални корени, защото $x^2\ge 0.$ Затова отхвърляме $u_2=-2.$

Отговор: $x=\pm\sqrt{3}.$

Пример 3. Няма реални корени

Решете уравнението $x^4-2x^2+2=0.$

С полагането $u=x^2$ получаваме $u^2-2u+2=0$ и $D=4-8=-4\lt 0.$ Уравнението относно $u$ няма реални корени, следователно и даденото уравнение няма реални корени.

Уравнението $x^4+5x^2+6=0$ няма реални корени по друга причина. Тук уравнението $u^2+5u+6=0$ има корени $u_1=-2$ и $u_2=-3,$ но и двата са отрицателни.

Бърз начин: ако $a\gt 0,$ $b\ge 0$ и $c\gt 0,$ то $ax^4+bx^2+c\ge c\gt 0$ за всяко $x,$ защото $x^4\ge 0$ и $x^2\ge 0.$ Такова уравнение (например $x^4+16=0$) няма реални корени и няма какво да решаваме. Ако $a\lt 0,$ $b\le 0$ и $c\lt 0,$ първо умножаваме уравнението по $-1.$

Пример 4. Три корена (c = 0)

Решете уравнението $x^4-4x^2=0.$

Когато $c=0,$ не е нужно полагане. Изнасяме $x^2$ пред скоби:

$x^2(x^2-4)=0$

Произведението е нула точно тогава, когато поне един от множителите е нула: $x^2=0$ дава $x=0,$ а $x^2=4$ дава $x=\pm 2.$

Отговор: $x=0,$ $x=\pm 2.$ Уравнението има три корена. При това $x=0$ е двоен корен: в ${x^4-4x^2}={x\cdot x\cdot(x-2)(x+2)}$ множителят $x$ се среща два пъти. С полагане бихме получили същото: $u^2-4u=0,$ откъдето $u=0$ или $u=4.$

Ако вторият множител няма корени, остава само $x=0\text{:}$ уравнението $x^4+3x^2=x^2(x^2+3)=0$ има единствен корен $x=0,$ защото $x^2+3\gt 0.$

Пример 5. Без член с x² (b = 0)

Решете уравнението $x^4-81=0.$

Тук $x^4=81,$ т.е. $u^2=81$ и $u=\pm 9.$ Коренът $u=-9$ отпада, а $x^2=9$ дава $x=\pm 3.$

Друг начин: прилагаме два пъти формулата за разлика на квадрати:

${x^4-81}={(x^2-9)(x^2+9)}={(x-3)(x+3)(x^2+9)}$

Множителят $x^2+9$ е винаги положителен. Отговор: $x=\pm 3.$

Пример 6. Уравнението относно u има един корен (D = 0)

Решете уравнението $x^4-8x^2+16=0.$

С полагането $u=x^2$ получаваме $u^2-8u+16=0,$ където $D=64-64=0.$ Единственият корен е $u=\frac{8}{2}=4,$ а $x^2=4$ дава $x=\pm 2.$

Отговор: $x=\pm 2.$ И двата корена са двойни, защото лявата страна е точен квадрат:

${x^4-8x^2+16}={(x^2-4)^2}={(x-2)^2(x+2)^2}$

Пример 7. Старши коефициент, различен от 1

Решете уравнението $4x^4-37x^2+9=0.$

С полагането $u=x^2$ получаваме $4u^2-37u+9=0.$ Използваме формулата за корените:

${D}={37^2-4\cdot 4\cdot 9}={1369-144}={1225}={35^2,}$   $u_{1,2}=\frac{37\pm 35}{8}$

Следователно $u_1=\frac{2}{8}=\frac14$ и $u_2=\frac{72}{8}=9.$ И двата корена са положителни:

$x^2=\frac14,$   $x=\pm\frac12;$    $x^2=9,$   $x=\pm 3$

Отговор: $x=\pm\frac12,$ $x=\pm 3.$

Пример 8. Ирационални корени

Решете уравнението $x^4-6x^2+4=0.$

С полагането $u=x^2$ получаваме $u^2-6u+4=0.$ Лявата страна не се разлага на множители с цели коефициенти, затова използваме формулата за корените:

$D=36-16=20,$   $\sqrt{D}=\sqrt{20}=2\sqrt{5},$   $u_{1,2}=\frac{6\pm 2\sqrt{5}}{2}=3\pm\sqrt{5}$

И двете стойности са положителни: $3+\sqrt{5}\gt 0$ е очевидно, а $3-\sqrt{5}\gt 0,$ защото $\sqrt{5}\lt\sqrt{9}=3.$ Затова корените са четири:

${x}={\pm\sqrt{3+\sqrt{5}}}\approx{\pm 2{,}288,}$   $x=\pm\sqrt{3-\sqrt{5}}\approx\pm 0{,}874$

Отговор: $x=\pm\sqrt{3+\sqrt{5}},$ $x=\pm\sqrt{3-\sqrt{5}}.$

Понякога корен, под който има друг корен, може да се опрости. Повдигаме на квадрат числото $\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\text{:}$

${\left(\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\right)^2}={\frac{10+2\sqrt{20}+2}{4}}={\frac{12+4\sqrt{5}}{4}}={3+\sqrt{5}}$

Следователно $\sqrt{3+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2},$ а по същия начин $\sqrt{3-\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}.$ И двата записа на отговора са верни.

Колко реални корена може да има уравнението?

Ако $x_0$ е корен, то и $-x_0$ е корен, защото $(-x_0)^4=x_0^4$ и $(-x_0)^2=x_0^2.$ Следователно ненулевите корени образуват двойки $\pm x_0,$ а сборът на всички реални корени е 0. Биквадратното уравнение има 0, 1, 2, 3 или 4 различни реални корена. Броят им е нечетен точно тогава, когато $x=0$ е корен, т.е. когато $c=0.$

Всичко зависи от корените $u_1$ и $u_2$ на уравнението $au^2+bu+c=0\text{:}$

Корени на уравнението относно $u$	Реални корени $x$	Пример
два положителни корена	4:   $\pm\sqrt{u_1},$ $\pm\sqrt{u_2}$	$x^4-5x^2+4=0$
един положителен (двоен) корен, $D=0$	2:   $\pm\sqrt{u_1}$	$x^4-8x^2+16=0$
един положителен и един отрицателен корен	2:   $\pm\sqrt{u_1}$	$x^4-x^2-6=0$
положителен корен и коренът 0	3:   $0,$ $\pm\sqrt{u_1}$	$x^4-4x^2=0$
коренът 0 и отрицателен корен (или само коренът 0)	1:   $0$	$x^4+3x^2=0$
само отрицателни корени	0	$x^4+5x^2+6=0$
няма реални корени, $D\lt 0$	0	$x^4-2x^2+2=0$

Броят на корените без решаване на уравнението

Знаците на $u_1$ и $u_2$ могат да се определят от формулите на Виет, без да решаваме уравнението относно $u\text{:}$

$P=u_1u_2=\frac{c}{a},$   $S=u_1+u_2=-\frac{b}{a},$   $D=b^2-4ac$

Условие	Корени $u$	Реални корени $x$
$P\lt 0$	с различни знаци	2
$P\gt 0,$ $D\gt 0,$ $S\gt 0$	и двата положителни	4
$P\gt 0,$ $D=0,$ $S\gt 0$	един положителен (двоен) корен	2
$P\gt 0,$ $D\ge 0,$ $S\lt 0$	и двата отрицателни	0
$D\lt 0$	няма реални корени	0
$P=0,$ $S\gt 0$	0 и положителен корен	3
$P=0,$ $S\le 0$	0 и отрицателен корен (или само 0)	1

Ако $P\lt 0,$ то $a$ и $c$ са с различни знаци, затова $-4ac\gt 0$ и $D=b^2-4ac\gt 0.$ Ето защо в първия ред няма условие за $D.$

Пример. Колко реални корена има уравнението $3x^4-10x^2+2=0?$ Тук $P=\frac23\gt 0,$ $S=\frac{10}{3}\gt 0$ и $D=100-24=76\gt 0.$ И двата корена $u$ са положителни, затова реалните корени са четири. За уравнението $2x^4+3x^2-7=0$ имаме $P=-\frac72\lt 0,$ затова то има точно два реални корена.

Графика на функцията y = ax⁴ + bx² + c

Функцията $f(x)=ax^4+bx^2+c$ е четна: $f(-x)=f(x)$ за всяко $x.$ Графиката ѝ е симетрична относно оста $Oy$ и пресича оста $Oy$ в точката $(0;\ c).$ Реалните корени на уравнението $ax^4+bx^2+c=0$ са абсцисите на общите точки на графиката с оста $Ox.$

За уравнението $x^4-5x^2+4=0$ от Пример 1 графиката пресича оста $Ox$ в точките с абсциси $-2,$ $-1,$ $1$ и $2.$ Когато $a\gt 0$ и $b\lt 0,$ графиката има формата на буквата W: локален максимум в точката $(0;\ c)$ и две най-ниски точки при $x=\pm\sqrt{-\frac{b}{2a}},$ където $y=c-\frac{b^2}{4a}.$ Те съответстват на върха $u=-\frac{b}{2a}$ на параболата $y=au^2+bu+c,$ защото $u=x^2.$ В нашия пример това са точките при $x=\pm\sqrt{2{,}5}\approx\pm 1{,}58,$ където $y=-2{,}25.$ Когато $a\gt 0$ и $b\ge 0,$ графиката прилича на буквата U с най-ниска точка $(0;\ c).$ Когато $a\lt 0,$ всичко е обърнато: графиката има формата на буквата M при $b\gt 0$ и на обърнато U при $b\le 0.$

Ето как изглеждат различните случаи:

Разлагане на ax⁴ + bx² + c на множители

Ако $u_1$ и $u_2$ са корените на $au^2+bu+c=0,$ то ${au^2+bu+c}={a(u-u_1)(u-u_2).}$ При $u=x^2$ получаваме:

Всеки множител $x^2-u$ с $u\gt 0$ е разлика на квадрати: ${x^2-u}={(x-\sqrt{u})(x+\sqrt{u}).}$

Пример 1. ${x^4-5x^2+4}={(x^2-1)(x^2-4)}={(x-1)(x+1)(x-2)(x+2).}$

Пример 2. ${4x^4-37x^2+9}={4\left(x^2-\frac14\right)(x^2-9)}={(4x^2-1)(x^2-9)}={(2x-1)(2x+1)(x-3)(x+3).}$

Пример 3. ${x^4-x^2-6}={(x^2-3)(x^2+2)}={(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})(x^2+2).}$ Множителят $x^2+2$ не може да се разложи повече, защото е винаги положителен.

Може и обратно: да съставим уравнение по дадени корени. Биквадратно уравнение с корени $\pm 2$ и $\pm 3$ е $(x^2-4)(x^2-9)=0,$ т.е. $x^4-13x^2+36=0.$

Когато уравнението относно $u$ няма реални корени, многочленът все пак може да се разложи на два квадратни множителя с реални (понякога ирационални) коефициенти чрез допълване до точен квадрат:

${x^4+x^2+1}={(x^4+2x^2+1)-x^2}={(x^2+1)^2-x^2}={(x^2-x+1)(x^2+x+1)}$

${x^4+4}={(x^4+4x^2+4)-4x^2}={(x^2+2)^2-(2x)^2}={(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)}$

${x^4+1}={(x^4+2x^2+1)-2x^2}={(x^2+1)^2-2x^2}={(x^2-\sqrt{2}x+1)(x^2+\sqrt{2}x+1)}$

Други уравнения, които се решават с полагане

Пример 1. Решете уравнението $(x^2-1)(x^2+2)=4.$

Разкриваме скобите и преместваме всичко в лявата страна: $x^4+2x^2-x^2-2=4,$ т.е. $x^4+x^2-6=0.$ Полагаме $u=x^2\text{:}$ $u^2+u-6=0,$ откъдето $u_1=2$ и $u_2=-3.$ Коренът $-3$ отпада.

Отговор: $x=\pm\sqrt{2}.$

Пример 2. Решете уравнението $x^2+\frac{36}{x^2}=13.$

Тук $x\ne 0.$ Умножаваме двете страни по $x^2\text{:}$ $x^4+36=13x^2,$ т.е. $x^4-13x^2+36=0.$ Полагаме $u=x^2\text{:}$ $u^2-13u+36=0,$ откъдето $u_1=4$ и $u_2=9.$ Никоя от четирите стойности на $x$ не е 0, затова всички те са корени.

Отговор: $x=\pm 2,$ $x=\pm 3.$

Пример 3. Решете уравнението $x^6-9x^3+8=0.$

Същата идея се прилага за всяко уравнение $ax^{2n}+bx^n+c=0$ (уравнение, което се свежда до квадратно) с полагането $u=x^n.$ Тук $u=x^3\text{:}$

$u^2-9u+8=0,$   $u_1=1,$   $u_2=8$

Значи $x^3=1$ или $x^3=8,$ т.е. $x=1$ или $x=2.$ Отговор: $x=1,$ $x=2.$

Кубът на число може да е отрицателен, затова при $u=x^3$ отрицателно $u$ не се отхвърля. Например $x^6+7x^3-8=0$ дава $u=1$ или $u=-8,$ а $x^3=-8$ има корен $x=-2.$ Отрицателните корени се отхвърлят само при $u=x^2$ (и при другите четни степени).

Пример 4. Решете уравнението ${(x^2+x)^2}-{8(x^2+x)+12}={0.}$

Полагаме $u=x^2+x\text{:}$ $u^2-8u+12=0,$ откъдето $u_1=2$ и $u_2=6.$ Сега решаваме две квадратни уравнения:

• $x^2+x=2,$ т.е. $x^2+x-2=0\text{:}$ $x=1$ или $x=-2;$
• $x^2+x=6,$ т.е. $x^2+x-6=0\text{:}$ $x=2$ или $x=-3.$

Отговор: $x=-3,$ $x=-2,$ $x=1,$ $x=2.$ Това уравнение не е биквадратно (след разкриване на скобите се появява член с $x^3$), но се решава с полагане по същия начин.

Текстови задачи

Задача 1. Диагоналът на правоъгълник е 13 см, а лицето му е 60 см². Намерете страните му.

Решение. Нека страните са $x$ см и $y$ см. По Питагоровата теорема $x^2+y^2=169,$ а от лицето получаваме $xy=60,$ откъдето $y=\frac{60}{x}.$ Тогава

$x^2+\frac{3600}{x^2}=169,$   $x^4-169x^2+3600=0$

Полагаме $u=x^2\text{:}$ $u^2-169u+3600=0,$ ${D}={28561-14400}={14161}={119^2}$ и $u_{1,2}=\frac{169\pm 119}{2},$ т.е. $u_1=25$ и $u_2=144.$ Страната е положително число, затова $x=5$ или $x=12,$ а съответно $y=12$ или $y=5.$ Страните са 5 см и 12 см. Проверка: $5^2+12^2=169$ и $5\cdot 12=60.$

Задача 2. Четвъртата степен на едно число е с 12 по-голяма от квадрата му. Намерете всички такива числа.

Решение. $x^4=x^2+12,$ т.е. $x^4-x^2-12=0.$ Полагаме $u=x^2\text{:}$ $u^2-u-12=0,$ откъдето $u_1=4$ и $u_2=-3.$ Коренът $-3$ отпада, а $x^2=4$ дава две числа. Проверка: $2^4=16=4+12,$ а $-2$ дава същите числа. Отговор: $x=2$ и $x=-2.$

Биквадратни уравнения с параметър

Задача 1. Колко реални корена има уравнението $x^4-4x^2+m=0$ в зависимост от $m?$

Решение. Полагаме $u=x^2\text{:}$ $u^2-4u+m=0,$ където $D=16-4m,$ $S=4\gt 0$ и $P=m.$

• $m\lt 0\text{:}$ $P\lt 0,$ корените $u$ са с различни знаци, затова уравнението има 2 корена.
• $m=0\text{:}$ $u=0$ или $u=4,$ затова уравнението има 3 корена: $0$ и $\pm 2.$
• $0\lt m\lt 4\text{:}$ $D\gt 0,$ $P\gt 0$ и $S\gt 0,$ следователно и двата корена $u$ са положителни и уравнението има 4 корена.
• $m=4\text{:}$ $D=0$ и $u=2,$ затова уравнението има 2 корена: $\pm\sqrt{2}.$
• $m\gt 4\text{:}$ $D\lt 0,$ затова уравнението няма реални корени.

Графиката показва същото. Записваме уравнението във вида $x^4-4x^2=-m.$ Корените му са абсцисите на общите точки на хоризонталната права $y=-m$ и графиката на $y=x^4-4x^2.$ Тази функция има локален максимум 0 при $x=0,$ а най-малката ѝ стойност е $-4$ при $x=\pm\sqrt{2}.$ Затова правата пресича графиката в четири точки точно когато $-4\lt -m\lt 0,$ т.е. когато $0\lt m\lt 4.$

Задача 2. Решете уравнението $x^4-(k+1)x^2+k=0$ при всяка стойност на $k.$

Решение. Полагаме $u=x^2\text{:}$ $u^2-(k+1)u+k=0.$ Сборът на коефициентите е $1-(k+1)+k=0,$ затова единият корен е $u_1=1,$ а по формулите на Виет другият е $u_2=k.$ С други думи, ${u^2-(k+1)u+k}={(u-1)(u-k).}$ Коренът $u_1=1$ винаги дава $x=\pm 1.$ Коренът $u_2=k$ добавя:

• при $k\gt 0,$ $k\ne 1\text{:}$ още два корена $x=\pm\sqrt{k},$ общо 4 корена;
• при $k=1\text{:}$ нищо ново ($u_2=u_1$), 2 корена;
• при $k=0\text{:}$ корена $x=0,$ общо 3 корена;
• при $k\lt 0\text{:}$ нищо, 2 корена.

Отговор: при $k\gt 0,$ $k\ne 1\text{:}$ $x=\pm 1,$ $x=\pm\sqrt{k};$ при $k=0\text{:}$ $x=0,$ $x=\pm 1;$ при $k=1$ и при $k\lt 0\text{:}$ $x=\pm 1.$

Задачи за упражнение

Опитайте се да ги решите сами и след това отворете отговора.

1. Решете уравнението $x^4-10x^2+9=0.$

$u^2-10u+9=0,$ $u_1=1,$ $u_2=9.$ Отговор: $x=\pm 1,$ $x=\pm 3.$

2. Решете уравнението $x^4-17x^2+16=0.$

$u^2-17u+16=0,$ $u_1=1,$ $u_2=16.$ Отговор: $x=\pm 1,$ $x=\pm 4.$

3. Решете уравнението $x^4-2x^2-8=0.$

$u^2-2u-8=0,$ $u_1=4,$ $u_2=-2.$ Отрицателният корен отпада. Отговор: $x=\pm 2.$

4. Решете уравнението $x^4-9x^2=0.$

$x^2(x^2-9)=0.$ Отговор: $x=0,$ $x=\pm 3.$

5. Решете уравнението $x^4+3x^2+2=0.$

Всички коефициенти са положителни, затова лявата страна винаги е поне 2. (Освен това $u^2+3u+2=0$ има корени $-1$ и $-2,$ и двата отрицателни.) Отговор: уравнението няма реални корени.

6. Решете уравнението $x^4-16=0.$

$x^4=16,$ затова $x^2=4$ (стойността $x^2=-4$ е невъзможна). Отговор: $x=\pm 2.$

7. Решете уравнението $9x^4-10x^2+1=0.$

$9u^2-10u+1=0,$ $D=100-36=64,$ $u_{1,2}=\frac{10\pm 8}{18},$ $u_1=\frac19,$ $u_2=1.$ Отговор: $x=\pm\frac13,$ $x=\pm 1.$

8. Решете уравнението $x^4-18x^2+81=0.$

${x^4-18x^2+81}={(x^2-9)^2,}$ затова $x^2=9.$ Отговор: $x=\pm 3$ (и двата корена са двойни).

9. Решете уравнението $x^4-4x^2+1=0.$

$u^2-4u+1=0,$ $u_{1,2}=2\pm\sqrt{3},$ и двата са положителни, защото $\sqrt{3}\lt 2.$ Отговор: $x=\pm\sqrt{2+\sqrt{3}},$ $x=\pm\sqrt{2-\sqrt{3}}.$ В по-прост вид: $\sqrt{2\pm\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}\pm\sqrt{2}}{2}.$

10. Решете уравнението $(x^2-2)(x^2+3)=14.$

$x^4+x^2-6=14,$ т.е. $x^4+x^2-20=0.$ Тогава $u^2+u-20=0,$ $u_1=4,$ $u_2=-5.$ Отговор: $x=\pm 2.$

11. Решете уравнението $x^2-\frac{4}{x^2}=3.$

$x\ne 0.$ Умножаваме по $x^2\text{:}$ $x^4-3x^2-4=0,$ $u_1=4,$ $u_2=-1.$ Отговор: $x=\pm 2.$

12. Без да решавате, определете колко реални корена има всяко от уравненията: а) $5x^4-3x^2-2=0;$ б) $2x^4-9x^2+4=0;$ в) $x^4+6x^2+8=0.$

а) $P=-\frac25\lt 0\text{:}$ 2 корена. б) $D=81-32=49\gt 0,$ $P=2\gt 0,$ $S=\frac92\gt 0\text{:}$ 4 корена. в) всички коефициенти са положителни: няма реални корени.

13. Съставете биквадратно уравнение с корени $\pm 1$ и $\pm\sqrt{5}.$

$(x^2-1)(x^2-5)=0,$ т.е. $x^4-6x^2+5=0.$

14. За кои стойности на $m$ уравнението $x^4-6x^2+m=0$ има точно три реални корена? А точно четири?

Три корена: $m=0$ (корените са $0$ и $\pm\sqrt{6}$). Четири корена: $D=36-4m\gt 0$ и $P=m\gt 0$ (тук $S=6\gt 0$), т.е. $0\lt m\lt 9.$

15. Диагоналът на правоъгълник е 10 см, а лицето му е 48 см². Намерете страните му.

Нека страните са $x$ см и $\frac{48}{x}$ см. Тогава $x^2+\frac{2304}{x^2}=100,$ т.е. $x^4-100x^2+2304=0,$ $u_{1,2}=\frac{100\pm 28}{2},$ $u_1=36,$ $u_2=64.$ Страните са 6 см и 8 см.

16. Решете уравнението $x^6-7x^3-8=0.$

Полагаме $u=x^3\text{:}$ $u^2-7u-8=0,$ $u_1=8,$ $u_2=-1.$ Тук отрицателно $u$ е допустимо. Отговор: $x=2,$ $x=-1.$

Вижте също: Квадратно уравнение · Графика на квадратна функция