МенюПризнаци за делимост
Едно цяло число се дели на друго цяло число, когато при делението няма остатък. Например 84 се дели на 7, защото 84 : 7 = 12 с остатък 0, а 85 не се дели на 7, защото 85 : 7 = 12 с остатък 1.
С признаците по-долу можем да проверим делимостта, без да делим. Към всеки признак има пример с число, което се дели, и с число, което не се дели.
| Дели се на | Признак | Дели се | Не се дели |
|---|---|---|---|
| 2 | Последната цифра е четна: 0, 2, 4, 6 или 8. | 258 завършва на 8. | 347 завършва на 7, а 7 е нечетна цифра. |
| 3 | Сборът от цифрите се дели на 3. | 246: 2 + 4 + 6 = 12, а 12 = 3 ⋅ 4. | 247: 2 + 4 + 7 = 13, а 13 не се дели на 3. |
| 4 | Числото, образувано от последните две цифри, се дели на 4. | 316: 16 = 4 ⋅ 4. | 530: 30 не се дели на 4. |
| 5 | Последната цифра е 0 или 5. | 135 завършва на 5, 770 завършва на 0. | 572 завършва на 2. |
| 6 | Числото се дели едновременно на 2 и на 3. | 282 е четно, а 2 + 8 + 2 = 12. | 471: 4 + 7 + 1 = 12, но 471 е нечетно. |
| 7 | Удвояваме последната цифра и изваждаме полученото от числото, образувано от останалите цифри. Ако резултатът се дели на 7, и даденото число се дели на 7 (резултатът може да е 0 или отрицателно число). При дълги числа стъпката се повтаря. | 203: 20 − 2 ⋅ 3 = 14 = 7 ⋅ 2. 119: 11 − 2 ⋅ 9 = −7. 2464: 246 − 2 ⋅ 4 = 238, след това 23 − 2 ⋅ 8 = 7. |
326: 32 − 2 ⋅ 6 = 20, а 20 не се дели на 7. |
| 8 | Числото, образувано от последните три цифри, се дели на 8. | 1112: 112 = 8 ⋅ 14. | 1250: 250 = 8 ⋅ 31 + 2, т.е. остатъкът е 2. |
| 9 | Сборът от цифрите се дели на 9. | 819: 8 + 1 + 9 = 18 = 9 ⋅ 2. | 725: 7 + 2 + 5 = 14. |
| 10 | Последната цифра е 0. | 2340 завършва на 0. | 2345 завършва на 5. |
| 11 | Започвайки от последната цифра, редуваме събиране и изваждане на цифрите (+ − + − …). Ако резултатът се дели на 11, и числото се дели на 11 (резултатът може да е 0 или отрицателно число). | 4829: 9 − 2 + 8 − 4 = 11. 1331: 1 − 3 + 3 − 1 = 0. |
1234: 4 − 3 + 2 − 1 = 2. |
| 12 | Числото се дели едновременно на 3 и на 4. | 348: 3 + 4 + 8 = 15, а 48 = 4 ⋅ 12. | 138: 1 + 3 + 8 = 12, но 38 не се дели на 4. |
| 25 | Последните две цифри са 00, 25, 50 или 75. | 1375 завършва на 75. | 1340 завършва на 40. |
Внимание
- При 4 гледаме последните две цифри, а не само последната: 34 завършва на 4, но 34 не се дели на 4.
- Два признака могат да се комбинират само ако числата нямат общ делител, различен от 1. За 12 се използват 3 и 4, никога 2 и 6: 18 се дели на 2 и на 6, но не се дели на 12.
- Всяко число, което се дели на 9, се дели и на 3, но обратното не е вярно: 12 се дели на 3, а сборът от цифрите му 1 + 2 = 3 показва, че не се дели на 9.
Защо признаците са верни?
2, 5 и 10. Всяко число се състои от някакъв брой десетици и последната си цифра, например 258 = 250 + 8. Десетиците винаги се делят на 2, 5 и 10, защото 10 = 2 ⋅ 5. Затова решава само последната цифра.
4, 25 и 8. 100 = 4 ⋅ 25, затова стотиците винаги се делят на 4 и на 25. В 316 = 300 + 16 значение има само 16. По същия начин 1000 = 8 ⋅ 125, затова при 8 значение имат само последните три цифри.
3 и 9. 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1 и 1000 = 999 + 1. Следователно
246 = 2 ⋅ 100 + 4 ⋅ 10 + 6 = (2 ⋅ 99 + 4 ⋅ 9) + (2 + 4 + 6).
Първата скоба винаги се дели на 9, а значи и на 3, затова числото и сборът от цифрите му дават един и същ отговор.
11. 10 = 11 − 1, 100 = 99 + 1 и 1000 = 1001 − 1, където 1001 = 11 ⋅ 91. Всяка разрядна единица е с 1 по-голяма или с 1 по-малка от число, кратно на 11, затова знаците пред цифрите се редуват: плюс, минус, плюс, минус.
7. Записваме числото като 10a + b, където b е последната цифра, а a е числото, образувано от останалите цифри. Тогава
2 ⋅ (10a + b) = 21a − (a − 2b).
21a винаги се дели на 7, затова 10a + b се дели на 7 точно тогава, когато a − 2b се дели на 7. (Удвояването на едно число не променя дали то се дели на 7.)
6 и 12. Число, което се дели на 2 и на 3, съдържа и двата множителя, затова се дели на 2 ⋅ 3 = 6. Същото важи за 3 и 4, което дава 12. Това е вярно само защото 2 и 3 (както и 3 и 4) нямат общ делител, различен от 1; затова за 12 не могат да се използват 2 и 6.
Упражнения
Задачи за делимост с решения
Тест: признаци за делимост
Тест: признаци за делимост на 2, 3, 4, 5, 9 и 25
Тест: най-малко общо кратно (НОК)
Упражнение: най-малко общо кратно (НОК)
Още по темата
Делимост
Признак за делимост на 2
Признаци за делимост на 3 и 9
Признак за делимост на 4
Признак за делимост на 5
Признак за делимост на 25
Разлагане на прости множители