МенюГраници и методи за пресмятане
В урока „Граници (интуитивно въведение)“ отгатвахме границите по таблици и графики. Тук ще ги пресмятаме точно. Ще разгледаме:
- границите на две много прости функции: константната функция и ${y=x};$
- свойствата на границите, с които от тези две граници се получават границите на по-сложни функции;
- алгебрични похвати за случаите, в които свойствата не могат да се приложат направо: разлагане на множители, спрегнат израз, изследване на знака, старши членове.
На тази страница: Две основни граници · Свойства на границите · Многочлени · Дробно-рационални функции · Неопределеност 0/0 · Число, делено на 0 · Граници в безкрайност · План за решаване · Чести грешки · Задачи
Две основни граници
Започваме с две функции:
• ${f(x)=k},$ константната функция ($k$ е фиксирано число); графиката ѝ е хоризонтална права;
• ${g(x)=x};$ графиката ѝ е правата през началото на координатната система с ъглов коефициент $1.$
Константната функция ${f(x)=k}$
Каквото и да е $x,$ стойността на константната функция е $k.$ Затова, когато $x$ клони към произволно число $a,$ расте неограничено или намалява неограничено, стойността остава $k\text{:}$
| Граница | Примери |
|---|---|
| ${\lim_{x\to a}k=k}$ | ${\lim_{x\to2}3=3},$ ${\lim_{x\to-2}3=3}$ |
| ${\lim_{x\to+\infty}k=k}$ | ${\lim_{x\to+\infty}3=3},$ ${\lim_{x\to+\infty}0=0}$ |
| ${\lim_{x\to-\infty}k=k}$ | ${\lim_{x\to-\infty}3=3},$ ${\lim_{x\to-\infty}0=0}$ |
Функцията ${g(x)=x}$
Стойността на тази функция е самото $x.$ Ако $x$ клони към $a,$ стойността клони към $a.$ Ако $x$ расте неограничено, стойността също расте неограничено, а ако $x$ намалява неограничено, стойността също намалява неограничено:
| Граница |
|---|
| ${\lim_{x\to a}x=a}$ |
| ${\lim_{x\to+\infty}x=+\infty}$ |
| ${\lim_{x\to-\infty}x=-\infty}$ |
Свойства на границите
Теорема (свойства на границите). Нека „$\lim$“ означава някоя от границите ${\lim_{x\to a}},$ ${\lim_{x\to a-0}},$ ${\lim_{x\to a+0}},$ ${\lim_{x\to+\infty}}$ или ${\lim_{x\to-\infty}}.$ Ако двете граници ${L_1=\lim f(x)}$ и ${L_2=\lim g(x)}$ съществуват (и са числа), то
а) ${\lim\,[f(x)+g(x)]}={\lim f(x)+\lim g(x)}={{L_1+L_2};}$
б) ${\lim\,[f(x)-g(x)]}={\lim f(x)-\lim g(x)}={{L_1-L_2};}$
в) ${\lim\,[f(x)\cdot g(x)]}={\lim f(x)\cdot\lim g(x)}={{L_1\cdot L_2};}$
г) ${\lim\frac{f(x)}{g(x)}}={\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}}={\frac{L_1}{L_2}},$ ако ${L_2\ne0};$
д) ${\lim\sqrt[n]{f(x)}}={\sqrt[n]{\lim f(x)}}={{\sqrt[n]{L_1}};}$ ако $n$ е четно, стойностите $f(x)$ и границата $L_1$ не трябва да са отрицателни, за да съществуват корените.
С думи: границата на сбор е равна на сбора от границите, границата на произведение е равна на произведението от границите и т.н., при условие че отделните граници съществуват (а при частно трябва и границата на знаменателя да не е $0$).
Забележка. Свойствата а) и в) са формулирани за две функции, но са верни за произволен краен брой функции. Ако всички граници ${\lim f_1(x)},$ ${\lim f_2(x)},$ …, ${\lim f_n(x)}$ съществуват, то
${\lim\,[f_1(x)+\ldots+f_n(x)]}={{\lim f_1(x)+\ldots+\lim f_n(x)},}$
${\lim\,[f_1(x)\cdot\ldots\cdot f_n(x)]}={{\lim f_1(x)\cdot\ldots\cdot\lim f_n(x)}.}$
Ако $f_1,$ $f_2,$ …, $f_n$ са една и съща функция $f,$ втората формула дава свойството за граница на степен (при ${n=1},$ $2,$ $3,$ …, ако ${\lim f(x)}$ съществува):
$$\lim\,[f(x)]^n=\left[\lim f(x)\right]^n.$$Две полезни следствия:
А) ${\lim_{x\to a}x^n}={\left[\lim_{x\to a}x\right]^n}={a^n},$ при ${n=1},$ $2,$ $3,$ …;
Б) ${\lim\,[k\cdot g(x)]}={\lim k\cdot\lim g(x)}={{k\cdot\lim g(x)},}$ където $k$ е константа: константният множител може да се изнесе пред знака за граница.
Граници на многочлени
Многочлен (полином) е функция от вида
${p(x)}={c_0+c_1x+c_2x^2}+{\ldots+c_nx^n,}$
където $c_0,$ $c_1,$ …, $c_n$ са константи (числа).
Пример 1. Намерете ${\lim_{x\to5}(x^2-4x+3)}.$
${\lim_{x\to5}(x^2-4x+3)}={\lim_{x\to5}x^2-4\lim_{x\to5}x+\lim_{x\to5}3}={5^2-4\cdot5+3}={{8}.}$
Използвахме свойствата а) и б), следствията А и Б и границата на константа. Резултатът е стойността на многочлена в точката $5.$ Това винаги е така:
Теорема. За всеки многочлен ${p(x)}={c_0+c_1x+\ldots+c_nx^n}$ и всяко реално число $a$ е изпълнено ${\lim_{x\to a}p(x)}={c_0+c_1a+\ldots+c_na^n}={{p(a)}.}$
Доказателство. Прилагаме свойството за граница на сбор, след това следствие Б (изнасяне на константния множител) и накрая следствие А:
${\lim_{x\to a}p(x)}={\lim_{x\to a}c_0+\lim_{x\to a}c_1x}+{\ldots+\lim_{x\to a}c_nx^n}={c_0+c_1\lim_{x\to a}x}+{\ldots+c_n\lim_{x\to a}x^n}={c_0+c_1a+\ldots+c_na^n}={{p(a)}.}$
И така, границата на многочлен в точка се намира чрез заместване.
Граници на дробно-рационални функции
Дробно-рационална функция е частно на два многочлена, ${r(x)=\frac{p(x)}{q(x)}}.$ Ако ${q(a)\ne0},$ от свойството за граница на частно и горната теорема получаваме
$$\lim_{x\to a}\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{p(a)}{q(a)}.$$Пример 2.
${\lim_{x\to2}\frac{5x^3+4}{x-3}}={\frac{\lim_{x\to2}(5x^3+4)}{\lim_{x\to2}(x-3)}}={\frac{5\cdot2^3+4}{2-3}}={\frac{44}{-1}}={{-44}.}$
Ако ${q(a)=0},$ свойството за граница на частно не може да се приложи и има два случая:
• ${p(a)=0},$ т.е. и числителят е нула: „неопределеност от вида ${\frac{0}{0}}$“. Границата може да е всяко число, $+\infty$ или $-\infty,$ а може и да не съществува. Първо трябва да опростим израза.
• ${p(a)\ne0}\text{:}$ случай от вида „${\frac{\text{число}}{0}}$“. Стойностите на дробта растат неограничено по модул, а едностранните граници са $+\infty$ или $-\infty.$
Неопределеност от вида $0/0\text{:}$ първо опростете
Пример 3. Намерете ${\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}}.$
При ${x=2}$ и числителят, и знаменателят са $0.$ Но границата зависи само от стойностите при ${x\ne2},$ затова можем да съкратим общия множител ${x-2}\text{:}$
${\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}}={\lim_{x\to2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}}={\lim_{x\to2}(x+2)}={{4}.}$
Функцията не е дефинирана при ${x=2}\text{:}$ графиката ѝ е правата ${y=x+2}$ с „пробита“ точка $(2;\ 4).$ Въпреки това границата е $4.$
Пример 4.
${\lim_{x\to3}\frac{x^2-5x+6}{x^2-9}}={\lim_{x\to3}\frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x+3)}}={\lim_{x\to3}\frac{x-2}{x+3}}={{\frac{1}{6}}.}$
Ако $a$ е корен и на двата многочлена, те се делят на ${x-a}$ (вижте схемата на Хорнер), затова множителят ${x-a}$ винаги може да се съкрати. Ако отново се получи ${\frac{0}{0}},$ съкратете на ${x-a}$ още веднъж.
Пример 5 (квадратен корен: умножаване по спрегнатия израз). Намерете ${\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}}.$
Отново имаме неопределеност ${\frac{0}{0}}.$ Умножаваме числителя и знаменателя по спрегнатия израз ${\sqrt{x}+2}$ и използваме, че ${{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)=x-4}\text{:}}$
${\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}}={\lim_{x\to4}\frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}}={\lim_{x\to4}\frac{1}{\sqrt{x}+2}}={{\frac{1}{4}}.}$
Число, различно от нула, делено на $0\text{:}$ безкрайни граници
Най-простият пример е функцията ${\frac{1}{x}}$ при ${x=0}.$ Графиката ѝ и таблицата подсказват следните граници.
| $x$ | ${\frac{1}{x}}$ | Извод |
|---|---|---|
| 1; 0,1; 0,01; 0,001; … | 1; 10; 100; 1000; … | ${\lim_{x\to+0}\frac{1}{x}=+\infty}$ |
| −1; −0,1; −0,01; −0,001; … | −1; −10; −100; −1000; … | ${\lim_{x\to-0}\frac{1}{x}=-\infty}$ |
| 1; 10; 100; 1000; … | 1; 0,1; 0,01; 0,001; … | ${\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0}$ |
| −1; −10; −100; −1000; … | −1; −0,1; −0,01; −0,001; … | ${\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0}$ |
За всяко реално число $a$ графиката на ${g(x)=\frac{1}{x-a}}$ се получава от графиката на ${f(x)=\frac{1}{x}},$ като я преместим с $a$ единици надясно, ако ${a\gt0},$ и с $|a|$ единици наляво, ако ${a\lt0}.$ Следователно
${\lim_{x\to a-0}\frac{1}{x-a}=-\infty},$ ${\lim_{x\to a+0}\frac{1}{x-a}=+\infty},$ ${\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x-a}=0},$ ${\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x-a}=0}.$
В общия случай, ако числителят клони към число ${L\ne0},$ а знаменателят клони към $0,$ модулът на дробта расте неограничено. Ако дробта запазва знака си от едната страна на $a$ (при дробно-рационалните функции винаги е така), този знак определя дали границата от тази страна е $+\infty,$ или $-\infty.$
Пример 6. Намерете ${\lim_{x\to4+0}\frac{2-x}{(x-4)(x+2)}}.$
При ${x=4}$ числителят е ${2-4=-2},$ а знаменателят е $0.$ Отбелязваме на числовата ос нулата на числителя ($2$) и нулите на знаменателя ($-2$ и $4$). При големи $x$ дробта е отрицателна (старшите членове дават ${\frac{-x}{x^2}}={-\frac{1}{x}}$), а във всяка отбелязана точка знакът се сменя, защото всяка от тях е нула на множител от първа степен (множител като ${(x-2)^2}$ не би сменил знака):
Когато $x$ е малко по-голямо от $4,$ числителят е близо до $-2$ (отрицателен), ${x-4}$ е малко положително число, а ${x+2}$ е близо до $6$ (положителен). Значи знаменателят е малко положително число, а дробта е отрицателно число с голям модул:
$$\lim_{x\to4+0}\frac{2-x}{(x-4)(x+2)}=-\infty.$$Когато $x$ е малко по-малко от $4,$ множителят ${x-4}$ е отрицателен, дробта е положителна и ${\lim_{x\to4-0}\frac{2-x}{(x-4)(x+2)}}={+\infty}.$ Едностранните граници са различни, затова двустранната граница в точката $4$ не съществува. Графиката има вертикални асимптоти ${x=-2}$ и ${x=4}\text{:}$
Граници в безкрайност
Степени на $x$
При ${n=1},$ $2,$ $3,$ … степента $x^n$ расте неограничено, когато ${x\to+\infty}.$ Когато ${x\to-\infty},$ четната степен е положителна и расте неограничено, а нечетната степен е отрицателна и намалява неограничено:
${\lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty},$ ${n=1},$ $2,$ $3,$ …
${\lim_{x\to-\infty}x^n}={\begin{cases}+\infty, & n=2,\ 4,\ 6,\ \ldots\\ -\infty, & n=1,\ 3,\ 5,\ \ldots\end{cases}}$
Умножаването по положителна константа не променя безкрайната граница, а умножаването по отрицателна константа сменя знака ѝ:
${\lim_{x\to+\infty}2x^5=+\infty},$ ${\lim_{x\to+\infty}(-7x^6)=-\infty},$ ${\lim_{x\to-\infty}2x^5=-\infty},$ ${\lim_{x\to-\infty}(-7x^6)=-\infty}.$
При ${n=1},$ $2,$ $3,$ … от свойството за граница на степен и таблицата по-горе получаваме
${\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^n}}={\left(\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}\right)^n}={{0},}$ ${\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x^n}}={\left(\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}\right)^n}={{0}.}$
Близо до $0$ графиките на ${y=\frac{1}{x^n}}$ изглеждат така: при четно $n$ двата клона отиват нагоре (${\lim_{x\to0}\frac{1}{x^n}=+\infty}$); при нечетно $n$ левият клон отива надолу, а десният нагоре, както при ${y=\frac{1}{x}}$ (${\lim_{x\to-0}\frac{1}{x^n}=-\infty},$ ${\lim_{x\to+0}\frac{1}{x^n}=+\infty}$).
Многочлени в безкрайност
Когато ${x\to+\infty}$ или ${x\to-\infty},$ многочленът се държи като члена си от най-висока степен (старшия член). По-точно, ако ${c_n\ne0},$ то
${\lim_{x\to+\infty}(c_0+c_1x+\ldots+c_nx^n)}={{\lim_{x\to+\infty}c_nx^n},}$
${\lim_{x\to-\infty}(c_0+c_1x+\ldots+c_nx^n)}={{\lim_{x\to-\infty}c_nx^n}.}$
Защо? Изнасяме $x^n$ пред скоби:
${c_0+c_1x+\ldots+c_nx^n}={{x^n\left(\frac{c_0}{x^n}+\ldots+\frac{c_{n-1}}{x}+c_n\right)}.}$
Когато ${x\to\pm\infty},$ всяка дроб в скобите клони към $0,$ затова изразът в скобите клони към $c_n$ и целият израз се държи като ${c_nx^n}.$ Например ${p(x)=x^3-6x^2+9x+1}$ и $x^3$ са много различни близо до началото на координатната система, но погледнати отдалеч, графиките им почти съвпадат:
Разликата ${p(x)-x^3}={-6x^2+9x+1}$ не клони към $0\text{:}$ двете графики не се доближават една до друга. Разликата е малка само в сравнение с $x^3,$ но това е достатъчно двете функции да имат едни и същи граници в $+\infty$ и в $-\infty.$
Пример 7. ${\lim_{x\to-\infty}(x^3-6x^2+9x+1)}={\lim_{x\to-\infty}x^3}={-\infty}$ и ${\lim_{x\to+\infty}(1+5x^3-2x^4)}={\lim_{x\to+\infty}(-2x^4)}={{-\infty}.}$
Дробно-рационални функции в безкрайност
Същата идея, приложена към числителя и към знаменателя, дава бърз метод за дробно-рационалните функции. Ако ${c_n\ne0}$ и ${d_m\ne0},$ то
${\lim_{x\to\pm\infty}\frac{c_0+c_1x+\ldots+c_nx^n}{d_0+d_1x+\ldots+d_mx^m}}={{\lim_{x\to\pm\infty}\frac{c_nx^n}{d_mx^m}}.}$
Следователно значение имат само старшите членове:
• ако ${n\lt m}$ (степента на числителя е по-малка), границата е $0;$
• ако ${n=m},$ границата е ${\frac{c_n}{d_m}},$ т.е. частното на старшите коефициенти;
• ако ${n\gt m},$ границата е $+\infty$ или $-\infty$ в зависимост от знака на ${\frac{c_nx^n}{d_mx^m}}.$
Пример 8.
а) ${\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2-x+1}{2x^2+5}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2}{2x^2}}={{\frac{3}{2}}.}$
Същият резултат се получава, ако разделим числителя и знаменателя на $x^2\text{:}$ дробта ${\frac{3-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{2+\frac{5}{x^2}}}$ клони към ${\frac{3-0+0}{2+0}}={\frac{3}{2}}.$
б) ${\lim_{x\to-\infty}\frac{4x+1}{x^2-3}}={\lim_{x\to-\infty}\frac{4x}{x^2}}={\lim_{x\to-\infty}\frac{4}{x}}={{0}.}$
в) ${\lim_{x\to-\infty}\frac{x^3-1}{2x+5}}={\lim_{x\to-\infty}\frac{x^3}{2x}}={\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2}{2}}={{+\infty}.}$
г) ${\lim_{x\to+\infty}\frac{5-2x^3}{x+1}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{-2x^3}{x}}={\lim_{x\to+\infty}(-2x^2)}={{-\infty}.}$
План за намиране на граница
- Заместете ${x=a}.$ Ако функцията е многочлен, дробно-рационална функция, чийто знаменател не е $0$ при $a,$ или корен $n$-ти ${\sqrt[n]{r(x)}}$ от такава функция (с ${r(a)\gt0}$ при четно $n$), полученото число е границата.
- Ако получите ${\frac{\text{число}}{0}},$ където числото е ${\ne0},$ едностранните граници са $+\infty$ или $-\infty\text{:}$ определете знака на дробта от всяка страна на $a.$
- Ако получите ${\frac{0}{0}},$ първо опростете: разложете на множители и съкратете или умножете по спрегнатия израз. След това заместете отново.
- При ${x\to\pm\infty}$ запазете само старшите членове (или разделете числителя и знаменателя на най-високата степен на $x$ в знаменателя).
Чести грешки
| Грешка | Грешно | Вярно |
|---|---|---|
| Свойството за частно е приложено, когато знаменателят клони към $0$ | ${\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{0}{0}},$ следователно границата не съществува | Свойството за граница на частно изисква границата на знаменателя да е различна от нула. Първо съкратете: границата е $4$ |
| ${\frac{0}{0}}$ е прието за число | ${\frac{0}{0}=0}$ или ${\frac{0}{0}=1}$ | ${\frac{0}{0}}$ не е число; този запис само показва, че са нужни още преобразувания |
| Не са разгледани двете страни | ${\lim_{x\to4}\frac{2-x}{(x-4)(x+2)}}={-\infty}$ | Отдясно $-\infty,$ отляво $+\infty\text{:}$ границата не съществува |
| Нечетни степени в $-\infty$ | ${\lim_{x\to-\infty}x^3=+\infty}$ | ${\lim_{x\to-\infty}x^3=-\infty}\text{:}$ когато ${x\to-\infty},$ $x^n$ клони към $+\infty$ при четно $n$ и към $-\infty$ при нечетно $n$ |
| „${\infty-\infty=0}$“ | ${\lim_{x\to+\infty}(x^3-x^2)}={\infty-\infty}={0}$ | ${\lim_{x\to+\infty}(x^3-x^2)}={\lim_{x\to+\infty}x^3}={+\infty}$ |
| „Знаменателят надделява“ | ${\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2-x+1}{2x^2+5}=0}$ | Растат и числителят, и знаменателят; старшите членове дават ${\frac{3}{2}}$ |
Задачи за упражнение
1. Намерете ${\lim_{x\to-1}(2x^3-x+4)}.$
Отговор
Чрез заместване: ${2(-1)^3-(-1)+4}={-2+1+4}={{3}.}$
2. Намерете ${\lim_{x\to3}\frac{x^2+1}{x-1}}.$
Отговор
Знаменателят не е $0$ при $3\text{:}$ ${\frac{9+1}{3-1}}={5}.$
3. Намерете ${\lim_{x\to-3}\frac{x^2+2x-3}{x+3}}.$
Отговор
Неопределеност ${\frac{0}{0}}.$ Тъй като ${x^2+2x-3}={(x+3)(x-1)},$ границата е ${\lim_{x\to-3}(x-1)}={-4}.$
4. Намерете ${\lim_{x\to1}\frac{x^3-1}{x-1}}.$
Отговор
Тъй като ${x^3-1}={(x-1)(x^2+x+1)},$ границата е ${1+1+1}={3}.$
5. Намерете ${\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+9}-3}{x}}.$
Отговор
Умножаваме по спрегнатия израз ${\sqrt{x+9}+3}\text{:}$ дробта става ${\frac{x}{x(\sqrt{x+9}+3)}}={{\frac{1}{\sqrt{x+9}+3}},}$ а границата е ${\frac{1}{3+3}}={\frac{1}{6}}.$
6. Намерете ${\lim_{x\to3-0}\frac{x+1}{x-3}}$ и ${\lim_{x\to3+0}\frac{x+1}{x-3}}.$
Отговор
Числителят клони към $4.$ При ${x\lt3}$ знаменателят е отрицателно число, близко до нула: $-\infty.$ При ${x\gt3}$ той е малко положително число: $+\infty.$
7. Намерете ${\lim_{x\to2}\frac{x+1}{(x-2)^2}}.$
Отговор
Числителят клони към $3,$ а знаменателят и от двете страни е малко положително число: $+\infty.$
8. Намерете ${\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^3-x+7}{5x^3+4x^2}}.$
Отговор
Степените са равни: ${\frac{2}{5}}.$
9. Намерете ${\lim_{x\to+\infty}\frac{6x-1}{2x^2+3}}.$
Отговор
Степента на числителя е по-малка: $0.$
10. Намерете ${\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2+1}{x-4}}$ и ${\lim_{x\to-\infty}(1+x^2-4x^5)}.$
Отговор
${\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2}{x}}={\lim_{x\to-\infty}x}={-\infty}.$ ${\lim_{x\to-\infty}(-4x^5)}={+\infty},$ защото $x^5$ е отрицателно при ${x\lt0}.$
Вижте също: „Граници (интуитивно въведение)“, „Граница на редица“ и калкулатора за асимптоти.
Граници на функции