Текстови задачи с уравнения

Текстовата задача описва ситуация с думи и пита за някакво число: цена, възраст, разстояние. Алгебрата я решава на два етапа. Първо превеждаме условието в уравнение, после решаваме уравнението. Как се решават уравненията е обяснено в урока Решаване на линейни уравнения. Тази страница е за превода на условието в уравнение – точно там обикновено са трудностите.

Основната идея на алгебрата е проста: търсеното число получава име, обикновено $x$, и записваме всичко, което задачата казва за него, сякаш то вече е известно. Останалото го прави уравнението.

На тази страница: Как се решава текстова задача · Превод на езика на алгебрата · Задачи с числа · Части от цялото · Възраст · Разпределяне и сравняване · Отношения · Движение · Отрицателни отговори · Чести грешки

Как се решава текстова задача

1. Изберете неизвестното. Решете какво търсите и го означете с буква: „Нека $x$ е цената на часовника в евро.“ Запишете това изречение.
2. Изразете останалите величини чрез $x$. Всяка величина в задачата трябва да е число или израз с $x$.
3. Съставете уравнението. Намерете два израза, които по условие са равни, и поставете знак за равенство между тях.
4. Решете уравнението.
5. Проверете и отговорете. Проверете отговора по условието на задачата, а не само по уравнението си, и отговорете на зададения въпрос, с мерните единици.

Пример. Един човек бил попитан колко е платил за часовника си. Той отговорил: „Ако умножите цената по 4, прибавите 70 и после извадите 50, ще получите 220 евро.“ Каква е цената?

Решение: Нека цената е $x$ евро. Превеждаме отговора част по част:

Думи	Алгебра
цената	$x$
умножете цената по 4	${4x}$
прибавете 70	${4x+70}$
после извадете 50	${4x+70-50}$
ще получите 220	${4x+70-50=220}$

Сега решаваме уравнението:

${{4x+20}={220}}$, откъдето ${4x=200}$ и ${x=50}$

Проверка по условието: ${4\cdot 50=200}$, после ${200+70=270}$, после ${270-50=220}$ ✓

Отговор: часовникът струва 50 евро.

Превод на условието на езика на алгебрата

Тези изрази се срещат непрекъснато. Тук $x$ е неизвестното число.

Думи	Алгебра
с 7 по-голямо от числото, числото, увеличено със 7	${x+7}$
със 7 по-малко от числото, числото, намалено със 7	${x-7}$
7 минус числото	${7-x}$
удвоеното число, два пъти по-голямо от числото	${2x}$
числото, умножено по 3, плюс 10	${3x+10}$
сборът на числото и 10, умножен по 3	${3(x+10)}$
половината от числото	${\frac{x}{2}}$
две трети от числото	${\frac{2x}{3}}$
числото, разделено на 12	${\frac{x}{12}}$
е, е равно на, се получава, ще бъде, възлиза на	$=$
$A$ е с 20 повече от $B$, $A$ надвишава $B$ с 20	${A=B+20}$
три последователни естествени числа	$x$, ${x+1}$, ${x+2}$

„Със 7 по-малко от числото“ е ${x-7}$, а не ${7-x}$: вземаме числото и изваждаме 7 от него. При изваждането и делението редът е важен, затова четете тези изрази внимателно.

Няколко величини – една буква

В много задачи става дума за две или повече неизвестни величини. Ако знаем как са свързани, можем да ги запишем с една и съща буква:

В задачата е казано	Записваме величините като
сборът на две числа е 48	$x$ и ${48-x}$
две числа се различават с 40	$x$ и ${x+40}$
Борис има три пъти повече от Ани	$x$ за Ани и ${3x}$ за Борис
две величини се отнасят както ${9:7}$	${9x}$ и ${7x}$

Означаваме с буквата тази величина, чрез която са описани останалите; обикновено това е най-малката. Така избягваме дробите: ако сумата на Ани е $x$, тази на Борис е ${3x}$, а ако означим с $x$ сумата на Борис, тази на Ани ще е ${\frac{x}{3}}$.

Задачи с числа

В тези задачи неизвестното е просто число, а условието казва какво се прави с него.

Пример 1. Ако към едно число прибавим половината му и от сбора извадим 20, ще получим една четвърт от числото. Намерете числото.

Решение: Нека числото е $x$. Половината му е ${\frac{x}{2}}$, а четвъртината – ${\frac{x}{4}}$, затова

${{x+\frac{x}{2}-20}={\frac{x}{4}}}$

Умножаваме двете страни по 4, за да се освободим от дробите:

${{4x+2x-80}={x}}$, откъдето ${5x=80}$ и ${x=16}$

Проверка: ${16+8-20=4}$, а една четвърт от 16 е 4 ✓

Пример 2. Разделете 48 на две части така, че по-малката част, разделена на 4, плюс по-голямата част, разделена на 6, да е равно на 9.

Решение: Нека по-малката част е $x$. Сборът на частите е 48, затова по-голямата част е ${48-x}$:

${{\frac{x}{4}+\frac{48-x}{6}}={9}}$

Умножаваме по 12:

${{3x+2(48-x)}={108}}$

${{3x+96-2x}={108}}$, откъдето ${x=12}$

Частите са 12 и 36. Проверка: ${{\frac{12}{4}+\frac{36}{6}}={3+6}={9}}$ ✓

Решете сами. Отворете задачата, за да видите решението.

1. Ако едно число се раздели на 12, частното, самото число и 12 имат сбор 64. Намерете числото.

Нека числото е $x$: ${{\frac{x}{12}+x+12}={64}}$. Умножаваме по 12: ${{x+12x+144}={768}}$, откъдето ${13x=624}$ и ${x=48}$.

Проверка: ${4+48+12=64}$ ✓

2. Едно число е толкова по-малко от 500, колкото петата му част е по-голяма от 40. Намерете числото.

Нека числото е $x$. То е с ${500-x}$ по-малко от 500, а петата му част е с ${\frac{x}{5}-40}$ по-голяма от 40, затова

${{500-x}={\frac{x}{5}-40}}$

Умножаваме по 5: ${{2500-5x}={x-200}}$, откъдето ${2700=6x}$ и ${x=450}$.

Проверка: ${500-450=50}$ и ${90-40=50}$ ✓

3. Шестата част от едно число е с 20 по-голяма от осмата му част. Намерете числото.

${{\frac{x}{6}-\frac{x}{8}}={20}}$. Умножаваме по 24: ${4x-3x=480}$, откъдето ${x=480}$.

Проверка: ${80-60=20}$ ✓

4. Четвъртината от едно число е с 96 по-голяма от петата му част. Намерете числото.

${{\frac{x}{4}-\frac{x}{5}}={96}}$. Умножаваме по 20: ${5x-4x=1920}$, откъдето ${x=1920}$.

Проверка: ${480-384=96}$ ✓

5. Една трета, една четвърт и две седми от едно число имат сбор 73. Намерете числото.

${{\frac{x}{3}+\frac{x}{4}+\frac{2x}{7}}={73}}$. Умножаваме по 84: ${28x+21x+24x}={73\cdot 84}$, откъдето ${73x=73\cdot 84}$ и ${x=84}$.

Проверка: ${28+21+24=73}$ ✓

6. Ако към едно число прибавим 10, три пети от сбора са 66. Намерете числото.

${{\frac{3}{5}(x+10)}={66}}$. Умножаваме по 5 и делим на 3: ${x+10=110}$, откъдето ${x=100}$.

Проверка: ${\frac{3}{5}\cdot 110=66}$ ✓

7. Ако към едно число прибавим 720 и сбора разделим на 125, ще получим същото, както при делението на 7392 на 462. Намерете числото.

Първо пресмятаме известната страна: ${{7392:462}={16}}$. Тогава ${{\frac{x+720}{125}}={16}}$, откъдето ${x+720=2000}$ и ${x=1280}$.

Проверка: ${\frac{2000}{125}=16}$ ✓

8. Разделете 68 на две части така, че разликата на 84 и по-голямата част да е три пъти по-голяма от разликата на 40 и по-малката част.

Нека по-голямата част е $x$; по-малката е ${68-x}$:

${84-x}={3\left(40-(68-x)\right)}$

${{84-x}={3x-84}}$, откъдето ${168=4x}$ и ${x=42}$

Частите са 42 и 26. Проверка: ${84-42=42}$ и ${3(40-26)=42}$ ✓

9. Разделете 36 на три части така, че половината от първата, третината от втората и четвъртината от третата част да са равни.

Означаваме тази обща стойност с $x$. Тогава частите са ${2x}$, ${3x}$ и ${4x}$, откъдето ${2x+3x+4x=36}$, ${9x=36}$ и ${x=4}$.

Частите са 8, 12 и 16. Проверка: половината от 8, третината от 12 и четвъртината от 16 са по 4 ✓

Части от цялото

Когато задачата говори за части от едно цяло, означаваме с $x$ цялото. Частите, изразени чрез $x$, имат сбор $x$.

Пример. Трима наследници си поделят наследство. Първият получава с 1000 евро по-малко от половината, вторият – с 800 евро по-малко от третината, а третият – с 600 евро по-малко от четвъртината от наследството. Колко е наследството?

Решение: Нека наследството е $x$ евро. Трите дяла са

${\frac{x}{2}-1000}$, ${\frac{x}{3}-800}$ и ${\frac{x}{4}-600}$

и заедно правят цялото наследство:

${\frac{x}{2}-1000}+{\frac{x}{3}-800}+{\frac{x}{4}-600}={x}$

Умножаваме по 12:

${6x-12\,000}+{4x-9600}+{3x-7200}={12x}$

${13x-28\,800}={12x}$, откъдето ${x=28\,800}$

Наследството е 28 800 евро, а дяловете са 13 400, 8800 и 6600 евро. Проверка: ${13\,400+8800+6600}={28\,800}$ ✓

Решете сами.

10. Една трета, една четвърт и една пета от някаква сума имат сбор 94 евро. Колко е сумата?

${{\frac{x}{3}+\frac{x}{4}+\frac{x}{5}}={94}}$. Умножаваме по 60: ${20x+15x+12x}={5640}$, откъдето ${47x=5640}$ и ${x=120}$.

Сумата е 120 евро. Проверка: ${40+30+24=94}$ ✓

11. Иван е живял една трета от живота си в София, една четвърт в Пловдив, а останалите 20 години във Варна. На колко години е Иван?

Нека Иван е на $x$ години: ${{\frac{x}{3}+\frac{x}{4}+20}={x}}$. Умножаваме по 12: ${{4x+3x+240}={12x}}$, откъдето ${240=5x}$ и ${x=48}$.

Иван е на 48 години. Проверка: ${16+12+20=48}$ ✓

12. Един стълб стои в езеро. Една пета от дължината му е в почвата, три седми са във водата, а над водата се подават 13 дм. Колко е дълъг стълбът?

Нека стълбът е дълъг $x$ дм: ${{\frac{x}{5}+\frac{3x}{7}+13}={x}}$. Умножаваме по 35: ${{7x+15x+455}={35x}}$, откъдето ${455=13x}$ и ${x=35}$.

Стълбът е дълъг 35 дм, т.е. 3,5 м. Проверка: ${7+15+13=35}$ ✓

13. В една овощна градина три четвърти от дърветата са ябълки, една десета са круши, а останалите са праскови, които са с 20 повече от една осма от всички дървета. Колко дървета има в градината?

Нека дърветата са $x$. Прасковите са ${x-\frac{3x}{4}-\frac{x}{10}}={\frac{3x}{20}}$, затова

${{\frac{3x}{20}}={\frac{x}{8}+20}}$

Умножаваме по 40: ${6x=5x+800}$, откъдето ${x=800}$.

Проверка: ябълките са 600, крушите 80, а прасковите 120, и ${\frac{800}{8}+20=120}$ ✓

14. Четири деца си поделят наследство. Първото получава с 200 евро повече от четвъртината от него, второто – с 340 евро повече от петата част, третото – с 300 евро повече от шестата част, а четвъртото – с 400 евро повече от осмата част. Колко е наследството?

Нека то е $x$ евро. Четирите дяла правят цялото наследство:

${\frac{x}{4}+200}+{\frac{x}{5}+340}+{\frac{x}{6}+300}+{\frac{x}{8}+400}={x}$

Умножаваме по 120:

${30x+24\,000}+{24x+40\,800}+{20x+36\,000}+{15x+48\,000}={120x}$

${89x+148\,800}={120x}$, откъдето ${148\,800=31x}$ и ${x=4800}$

Наследството е 4800 евро. Дяловете са 1400, 1300, 1100 и 1000 евро и имат сбор 4800 евро ✓

15. След като похарчила със 100 евро повече от третината от месечната си заплата, Лили останала с 35 евро повече от половината от нея. Колко е заплатата ѝ?

Нека заплатата е $x$ евро. Лили е похарчила ${\frac{x}{3}+100}$, затова

${x-\left(\frac{x}{3}+100\right)}={\frac{x}{2}+35}$

Умножаваме по 6: ${{6x-2x-600}={3x+210}}$, откъдето ${x=810}$.

Заплатата ѝ е 810 евро. Проверка: тя е похарчила ${270+100=370}$ и ѝ остават ${810-370=440}$, което е ${405+35}$ ✓

16. От пълен резервоар с вода изтекла една трета от водата. После източили още 21 литра и резервоарът останал наполовина пълен. Колко литра побира резервоарът?

Нека побира $x$ литра: ${{x-\frac{x}{3}-21}={\frac{x}{2}}}$. Умножаваме по 6: ${{6x-2x-126}={3x}}$, откъдето ${x=126}$.

Резервоарът побира 126 литра. Проверка: ${126-42-21=63}$, което е половината от 126 ✓

17. В едно училище половината от учениците и още 36 идват пеша, една осма от тях и още 6 идват с колело, а останалите, които са една пета от всички ученици, идват с автобус. Колко ученици има в училището?

Нека учениците са $x$. Трите групи правят цялото училище:

${\frac{x}{2}+36}+{\frac{x}{8}+6}+{\frac{x}{5}}={x}$

Умножаваме по 40: ${20x+1440}+{5x+240}+{8x}={40x}$, откъдето ${{33x+1680}={40x}}$, ${1680=7x}$ и ${x=240}$.

В училището има 240 ученици. Проверка: 156 идват пеша, 36 с колело и 48 с автобус, а ${156+36+48=240}$ ✓

18. Пакет ядкова смес съдържа ядки, стафиди и шоколадови капки. Ядките тежат с 10 г повече от две трети от целия пакет, стафидите – с 4,5 г по-малко от една шеста от пакета, а шоколадовите капки – с 2 г по-малко от една седма от ядките. Колко тежи пакетът?

Нека пакетът тежи $x$ грама. Ядките тежат ${\frac{2x}{3}+10}$, стафидите ${\frac{x}{6}-4{,}5}$, а шоколадовите капки

${\frac{1}{7}\left(\frac{2x}{3}+10\right)-2}={\frac{2x}{21}+\frac{10}{7}-2}$

Трите части правят целия пакет:

${\frac{2x}{3}+10}+{\frac{x}{6}-4{,}5}+{\frac{2x}{21}+\frac{10}{7}-2}={x}$

Умножаваме по 42:

${28x+420}+{7x-189}+{4x+60-84}={42x}$

${{39x+207}={42x}}$, откъдето ${207=3x}$ и ${x=69}$

Пакетът тежи 69 г: 56 г ядки, 7 г стафиди и 6 г шоколадови капки. Проверка: ${56+7+6=69}$ ✓

Задачи за възраст

Означаваме с $x$ възрастта на един човек, обикновено най-младия, и изразяваме чрез нея другите възрасти. Всички остаряват еднакво: след 5 години всяка възраст се увеличава с 5.

Пример. Шест братя и сестри са родени през 4 години, а най-големият е три пъти по-голям от най-малкия. На колко години е всеки от тях?

Решение: Нека най-малкият е на $x$ години. Възрастите са

$x$, ${x+4}$, ${x+8}$, ${x+12}$, ${x+16}$, ${x+20}$

Най-големият е три пъти по-голям от най-малкия:

${{x+20}={3x}}$, откъдето ${20=2x}$ и ${x=10}$

Те са на 10, 14, 18, 22, 26 и 30 години. Проверка: ${30=3\cdot 10}$ ✓

Решете сами.

19. Дядото е два пъти по-възрастен от бащата, а бащата е три пъти по-възрастен от Сашо. Заедно са на 140 години. На колко години е всеки?

Нека Сашо е на $x$ години. Тогава бащата е на ${3x}$, а дядото на ${2\cdot 3x=6x}$:

${{x+3x+6x}={140}}$, откъдето ${10x=140}$ и ${x=14}$

Сашо е на 14 години, бащата на 42, а дядото на 84. Проверка: ${14+42+84=140}$ ✓

20. Една майка е с 30 години по-голяма от дъщеря си. След 5 години тя ще бъде три пъти по-голяма от дъщеря си. На колко години са сега?

Нека дъщерята е на $x$ години; майката е на ${x+30}$. След 5 години те ще са на ${x+5}$ и ${x+35}$:

${{x+35}={3(x+5)}}$

${{x+35}={3x+15}}$, откъдето ${20=2x}$ и ${x=10}$

Дъщерята е на 10 години, а майката на 40. Проверка: след 5 години ще са на 15 и 45, а ${45=3\cdot 15}$ ✓

Разпределяне и сравняване на величини

Когато величините са описани чрез сравнение помежду им („с 15 повече“, „колкото другите две заедно“), означаваме с буква тази величина, чрез която са изразени останалите, и изразяваме другите една по една.

Пример 1. За училищен празник приготвили 146 литра плодов пунш от портокалов сок, ябълков сок и вода. Ябълковият сок е с 15 литра повече от портокаловия, а водата е колкото двата сока заедно. По колко литра има от всяко?

Решение: Нека портокаловият сок е $x$ литра. Тогава ябълковият е ${x+15}$ литра, а водата е

${x+(x+15)}={2x+15}$

Всичко заедно е 146 литра:

${x+(x+15)+(2x+15)}={146}$

${{4x+30}={146}}$, откъдето ${4x=116}$ и ${x=29}$

Портокаловият сок е 29 литра, ябълковият 44 литра, а водата 73 литра. Проверка: ${29+44+73=146}$ и ${29+44=73}$ ✓

Пример 2. Една баба разделила пари между четиримата си внуци. Третият получил с 9 евро повече от четвъртия, вторият – с 12 евро повече от третия, а първият – с 18 евро повече от втория. Общо тя раздала с 6 евро повече от седем пъти сумата на четвъртия. Колко пари е раздала бабата?

Решение: Нека четвъртият внук е получил $x$ евро. Тогава третият е получил ${x+9}$, вторият ${x+21}$, а първият ${x+39}$, общо ${4x+69}$. Задачата описва общата сума и по друг начин – като ${7x+6}$. Двата израза са равни:

${{4x+69}={7x+6}}$, откъдето ${63=3x}$ и ${x=21}$

Внуците получили 60, 42, 30 и 21 евро, значи бабата е раздала 153 евро. Проверка: ${7\cdot 21+6=153}$ ✓

Решете сами.

21. Четирима приятели купили платноходка за 4755 евро. Борис платил три пъти повече от Ани, Валя – колкото Ани и Борис заедно, а Гошо – колкото Борис и Валя заедно. Колко е платил всеки?

Нека Ани е платила $x$ евро. Тогава Борис е платил ${3x}$, Валя ${x+3x=4x}$, а Гошо ${3x+4x=7x}$:

${{x+3x+4x+7x}={4755}}$, откъдето ${15x=4755}$ и ${x=317}$

Ани е платила 317 евро, Борис 951, Валя 1268, а Гошо 2219 евро. Проверка: ${317+951}+{1268+2219}={4755}$ ✓

22. Жоро купил колело, каска и катинар за 360 евро. Каската струвала два пъти повече от катинара, а колелото – два пъти повече от каската и катинара заедно. Колко струва всяко от тях?

Нека катинарът струва $x$ евро. Каската струва ${2x}$, а колелото ${2(x+2x)=6x}$:

${{x+2x+6x}={360}}$, откъдето ${9x=360}$ и ${x=40}$

Катинарът струва 40 евро, каската 80, а колелото 240 евро. Проверка: ${40+80+240=360}$ ✓

23. Един фермер имал две еднакво големи стада овце. След като продал 39 овце от първото стадо и 93 от второто, в първото стадо останали два пъти повече овце, отколкото във второто. По колко овце е имало във всяко стадо?

Нека във всяко стадо е имало $x$ овце:

${{x-39}={2(x-93)}}$

${{x-39}={2x-186}}$, откъдето ${x=147}$

Във всяко стадо е имало 147 овце. Проверка: ${147-39=108}$, ${147-93=54}$ и ${108=2\cdot 54}$ ✓

24. В първия от два съда има три пъти повече вода, отколкото във втория. След като от всеки съд изляли по 4 литра, в първия останала четири пъти повече вода, отколкото във втория. По колко вода е имало в съдовете?

Нека във втория съд е имало $x$ литра; в първия ${3x}$:

${{3x-4}={4(x-4)}}$

${{3x-4}={4x-16}}$, откъдето ${x=12}$

В съдовете е имало 36 и 12 литра. Проверка: след изливането в тях има 32 и 8 литра, а ${32=4\cdot 8}$ ✓

25. Лъчо купил боя за 94 евро. Използвал 7 литра, а една четвърт от останалата продал на съседа си за 20 евро на същата цена за литър, на която я е купил. Колко литра боя е купил?

Нека Лъчо е купил $x$ литра. Литър струва ${\frac{94}{x}}$ евро, а той е продал ${\frac{x-7}{4}}$ литра за 20 евро:

${{\frac{x-7}{4}\cdot\frac{94}{x}}={20}}$

Умножаваме с ${4x}$: ${{94(x-7)}={80x}}$, откъдето ${{94x-658}={80x}}$, ${14x=658}$ и ${x=47}$.

Купил е 47 литра по 2 евро литъра. Проверка: продал е ${\frac{47-7}{4}=10}$ литра за ${10\cdot 2=20}$ евро ✓

26. Собственик на магазин взима всяка година по 50 евро от бизнеса за издръжка. В края на всяка година, след като тези 50 евро са взети, останалите в бизнеса пари се увеличават с една трета. След три години парите са се удвоили. С колко пари е започнал бизнесът?

Нека в началото е имало $x$ евро. Всяка година се взимат 50, а остатъкът се умножава по ${\frac{4}{3}}$:

след 1 година: ${\frac{4}{3}(x-50)}={\frac{4x-200}{3}}$

след 2 години: ${\frac{4}{3}\left(\frac{4x-200}{3}-50\right)}={\frac{16x-1400}{9}}$

след 3 години: ${\frac{4}{3}\left(\frac{16x-1400}{9}-50\right)}={\frac{64x-7400}{27}}$

Това е два пъти началната сума: ${{\frac{64x-7400}{27}}={2x}}$, откъдето ${{64x-7400}={54x}}$, ${10x=7400}$ и ${x=740}$.

Бизнесът е започнал със 740 евро. Проверка по години:

${740-50=690}$ и ${690\cdot\frac{4}{3}=920}$

${920-50=870}$ и ${870\cdot\frac{4}{3}=1160}$

${1160-50=1110}$ и ${1110\cdot\frac{4}{3}=1480}$, което е ${2\cdot 740}$ ✓

Задачи с отношения

Ако две величини се отнасят както ${a:b}$, ги записваме като ${ax}$ и ${bx}$, където $x$ е големината на една част. Ако в задачата е дадено отношението на два израза, го записваме като равенство на две дроби и прилагаме основното свойство на пропорциите. И двата начина са обяснени в урока отношения и пропорции.

Пример 1. Разделете награда от 2000 евро на две части в отношение ${9:7}$.

Решение: Нека частите са ${9x}$ и ${7x}$ евро:

${{9x+7x}={2000}}$, откъдето ${16x=2000}$ и ${x=125}$

Частите са ${9\cdot 125=1125}$ и ${7\cdot 125=875}$ евро. Проверка: ${1125+875=2000}$ ✓

Пример 2. Две числа се отнасят както ${2:3}$. Ако към всяко от тях прибавим 4, отношението става ${5:7}$. Намерете числата.

Решение: Нека числата са ${2x}$ и ${3x}$. След прибавянето на 4 към всяко

${{\frac{2x+4}{3x+4}}={\frac{5}{7}}}$

По основното свойство на пропорциите:

${{7(2x+4)}={5(3x+4)}}$

${{14x+28}={15x+20}}$, откъдето ${x=8}$

Числата са 16 и 24. Проверка: ${{\frac{16+4}{24+4}}={\frac{20}{28}}={\frac{5}{7}}}$ ✓

Решете сами.

27. Две числа се различават с 40 и се отнасят както ${6:5}$. Намерете ги.

Нека числата са ${6x}$ и ${5x}$: ${6x-5x=40}$, откъдето ${x=40}$.

Числата са 240 и 200. Проверка: ${240-200=40}$ и ${\frac{240}{200}=\frac{6}{5}}$ ✓

28. Едно число се отнася към утроеното число, увеличено с 12, както ${2:9}$. Намерете числото.

${{\frac{x}{3x+12}}={\frac{2}{9}}}$. Оттук ${{9x}={2(3x+12)}}$, т.е. ${9x=6x+24}$, ${3x=24}$ и ${x=8}$.

Проверка: ${{\frac{8}{3\cdot 8+12}}={\frac{8}{36}}={\frac{2}{9}}}$ ✓

29. Кое число трябва да се прибави и към 36, и към 52, за да се отнасят сборовете както ${3:4}$?

${{\frac{36+x}{52+x}}={\frac{3}{4}}}$. Оттук ${{4(36+x)}={3(52+x)}}$, т.е. ${{144+4x}={156+3x}}$ и ${x=12}$.

Проверка: ${\frac{48}{64}=\frac{3}{4}}$ ✓

30. Разделете 49 на две части така, че по-голямата част, увеличена с 6, и по-малката част, намалена с 11, да се отнасят както ${9:2}$.

Нека по-голямата част е $x$. По-малката е ${49-x}$, а намалена с 11, тя е ${38-x}$:

${{\frac{x+6}{38-x}}={\frac{9}{2}}}$

${{2(x+6)}={9(38-x)}}$

${{2x+12}={342-9x}}$, откъдето ${11x=330}$ и ${x=30}$

Частите са 30 и 19. Проверка: ${{\frac{30+6}{19-11}}={\frac{36}{8}}={\frac{9}{2}}}$ ✓

31. Две парчета плат с еднаква цена на метър струват 50 и 65 евро. Ако всяко парче беше с 10 метра по-дълго, дължините им щяха да се отнасят както ${5:6}$. Колко е дълго всяко парче?

Цената на метър е една и съща, затова дължините се отнасят както цените: ${{50:65}={10:13}}$. Нека дължините са ${10x}$ и ${13x}$ метра:

${{\frac{10x+10}{13x+10}}={\frac{5}{6}}}$

${6(10x+10)}={5(13x+10)}$

${{60x+60}={65x+50}}$, откъдето ${10=5x}$ и ${x=2}$

Парчетата са дълги 20 м и 26 м. Проверка: ${{\frac{20+10}{26+10}}={\frac{30}{36}}={\frac{5}{6}}}$ ✓

32. Четири града A, B, C и D са разположени в този ред по права пътека, а от A до D има 34 км. Разстоянията AB и CD се отнасят както ${2:3}$, а една четвърт от AB плюс половината от CD е три пъти повече от BC. Намерете AB, BC и CD.

Нека ${AB=2x}$ и ${CD=3x}$. Тогава ${BC=34-5x}$ и

${{\frac{2x}{4}+\frac{3x}{2}}={3(34-5x)}}$

${{2x}={102-15x}}$, откъдето ${17x=102}$ и ${x=6}$

AB = 12 км, BC = 4 км и CD = 18 км. Проверка: ${12+4+18=34}$, а ${3+9=12}$, което е ${3\cdot 4}$ ✓

Задачи за движение

В задачите за движение се използва една формула: път = скорост × време. Малка таблица с ред за всеки участник помага да изразим изминатите пътища чрез неизвестното.

Пример. Камион тръгва от склад със скорост 60 км/ч. Един час по-късно от същия склад след него тръгва лека кола със скорост 75 км/ч. След колко часа колата ще настигне камиона?

Решение: Нека колата се движи $t$ часа. Камионът е тръгнал един час по-рано, затова той е в движение ${t+1}$ часа.

Когато колата настигне камиона, двамата са изминали един и същ път:

${{75t}={60(t+1)}}$

${{75t}={60t+60}}$, откъдето ${15t=60}$ и ${t=4}$

Колата настига камиона след 4 часа, на 300 км от склада. Проверка: ${75\cdot 4=300}$ и ${60\cdot 5=300}$ ✓

Решете сами.

33. Група туристи тръгват по дълга пътека и изминават по 20 км на ден. Пет дни по-късно от същото място по същата пътека тръгва втора група, която изминава по 25 км на ден. След колко дни втората група ще настигне първата?

Нека втората група върви $t$ дни; дотогава първата група е вървяла ${t+5}$ дни:

${{25t}={20(t+5)}}$

${{25t}={20t+100}}$, откъдето ${5t=100}$ и ${t=20}$

Втората група настига първата след 20 дни, на 500 км от началото на пътеката. Проверка: ${25\cdot 20=500}$ и ${20\cdot 25=500}$ ✓

34. Кораб и лодка плават надолу по река. Когато корабът минава под един мост, лодката е на 13 км надолу по течението. Докато корабът изминава 5 км, лодката изминава 3 км. На какво разстояние под моста корабът ще настигне лодката?

Нека се срещнат на $d$ км под моста. От моста корабът изминава $d$ км, а лодката ${d-13}$ км за едно и също време. Скоростта на кораба се отнася към скоростта на лодката както 5 към 3, затова

${{\frac{d}{5}}={\frac{d-13}{3}}}$

${{3d}={5d-65}}$, откъдето ${65=2d}$ и ${d=32{,}5}$

Корабът настига лодката на 32,5 км под моста. Проверка: дотогава лодката е изминала ${32{,}5-13=19{,}5}$ км, а ${\frac{32{,}5}{19{,}5}=\frac{5}{3}}$ ✓

Отрицателни и нулеви отговори

Когато в задачата има величини с противоположни посоки, например печалба и загуба или север и юг, едната посока приемаме за положителна, а другата за отрицателна. Тогава отрицателният отговор означава противоположната посока.

Пример 1. През януари един магазин имал печалба или загуба. През февруари той имал печалба 350 евро, а през март загуба 60 евро. За трите месеца печалбата е 200 евро. Какво е станало през януари?

Решение: Печалбите приемаме за положителни, загубите за отрицателни, и нека $x$ е резултатът за януари:

${{x+350-60}={200}}$, откъдето ${x=-90}$

Минусът означава загуба: през януари магазинът е загубил 90 евро. Проверка: ${-90+350-60=200}$ ✓

Пример 2. Един кораб плава 4° на север, после 13° на юг, после 17° на север, после 19° на юг и стига до 11° южна ширина. Откъде е тръгнал?

Решение: Посоката север приемаме за положителна, а юг за отрицателна, и нека $x$ е началната ширина:

${{x+4-13+17-19}={-11}}$

${{x-11}={-11}}$, откъдето ${x=0}$

Ширина 0 е екваторът: корабът е тръгнал от екватора.

Ако отговорът не може да е верен – например отрицателен брой хора, дробен брой овце или възраст 300 години, – не го записвайте като отговор. Върнете се към уравнението: най-често някой израз е преведен неправилно.

Чести грешки

Грешно	Вярно
✗ „Със 7 по-малко от $x$“ е записано като ${7-x}$	✓ ${x-7}$
✗ Две числа със сбор 48 са записани като $x$ и ${x+48}$	✓ $x$ и ${48-x}$
✗ Скорост в км/ч е умножена по време в минути	✓ Използвайте едни и същи мерни единици: 20 минути са ${\frac{1}{3}}$ от часа
✗ Решението спира при ${x=125}$, а въпросът е за частите ${9x}$ и ${7x}$	✓ Отговорете на зададения въпрос: частите са 1125 и 875 евро
✗ Отговорът е проверен само в собственото уравнение	✓ Проверете по условието: ако уравнението е съставено грешно, отговорът пак му удовлетворява

Още задачи: Текстови задачи за 7 клас · Решаване на линейни уравнения · Задачи с линейни уравнения · Линейни уравнения с параметър