Решаване на линейни уравнения

Уравнението е равенство на два израза, например ${3x+5=20}$. Буквата $x$ означава неизвестно число, а да решим уравнението означава да намерим числото, за което равенството е вярно. Уравненията, в които неизвестното участва само на първа степен, например ${3x+5=20}$ или ${2(x-1)=\frac{x}{3}+4}$, се наричат линейни уравнения (уравнения от първа степен). Това са първите уравнения, които се учат, и почти всяка текстова задача в алгебрата се свежда до такова уравнение.

На тази страница: Какво е уравнение · Правилото на везните · Уравнения с едно действие · Прехвърляне на събираеми · Умножаване и делене · Стъпка по стъпка · Дроби · Пропорции · Няма корени или всяко число · Изразяване на буква · Решени задачи · Упражнения

Какво е уравнение?

Двата израза в уравнението са неговите страни: в ${3x+5=20}$ лявата страна е ${3x+5}$, а дясната е $20$. Число, за което двете страни са равни, се нарича корен (решение) на уравнението.

Пример. Корен ли е ${x=5}$ на уравнението ${3x+5=20}$? Заместваме $x$ с 5:

${3\cdot 5+5}={15+5}={20}$ ✓

Двете страни са равни, значи ${x=5}$ е корен. Числото 4 не е: ${3\cdot 4+5=17}$, а не 20.

Заместването на отговора обратно в уравнението се нарича проверка. Тя отнема няколко секунди и открива повечето грешки.

Правилото на везните

Представете си уравнението като везни в равновесие. Двете блюда тежат еднакво и везните остават в равновесие, докато правим едно и също с двете страни.

Ако махнем по 3 тежести от двете блюда, равновесието се запазва: ${x+3=7}$ става ${x=4}$.

За да решим уравнението, с тези действия оставяме $x$ само в едната страна. Другата страна е решението.

Никога не умножавайте двете страни с 0. Равенството ${x=3}$ е вярно само за едно число, а ${0\cdot x=0\cdot 3}$ е вярно за всяко число и решението се губи.

Уравнения с едно действие

Ако с $x$ е извършено само едно действие, го отменяме с обратното действие: изваждането отменя събирането, делението отменя умножението и обратно.

Уравнение	Какво правим с двете страни	Решение
${x+7=12}$	изваждаме 7	${x=5}$
${x-7=9}$	прибавяме 7	${x=16}$
${5x=35}$	делим на 5	${x=7}$
${\frac{x}{4}=3}$	умножаваме по 4	${x=12}$

Пример. Решете ${x-7=9}$. Прибавяме 7 към двете страни:

${{x-7+7}={9+7}}$, откъдето ${x=16}$

Проверка: ${16-7=9}$ ✓

Прехвърляне на събираеми

Вижте какво стана в последния пример: $-7$ изчезна от лявата страна, а $+7$ се появи в дясната. Прибавянето или изваждането на едно и също число винаги действа така, затова можем да го правим по-кратко.

Пример 1. Решете ${5x-4=3x+10}$. Прехвърляме ${3x}$ вляво и ${-4}$ вдясно, като сменяме знаците им:

${{5x-3x}={10+4}}$

${{2x}={14}}$, откъдето ${x=7}$

Проверка: ${5\cdot 7-4=31}$ и ${3\cdot 7+10=31}$ ✓

Няма значение в коя страна ще остане $x$: ако ${7=x}$, то ${x=7}$. Обикновено е най-удобно събираемите с $x$ да се съберат в тази страна, в която остават положителни.

Пример 2. Еднакви събираеми в двете страни могат просто да се задраскат, защото това е изваждането им от двете страни:

${{x+3+2x}={7+2x}}$, откъдето ${x+3=7}$ и ${x=4}$

Пример 3. Можем да сменим знаците на всички събираеми в двете страни, защото това е умножаване на двете страни с $-1$:

${-x+5=-3}$ е същото като ${x-5=3}$, откъдето ${x=8}$

Умножаване и делене на двете страни

Когато $x$ е умножено с число, делим двете страни на това число. Когато $x$ е разделено на число, умножаваме двете страни с него.

Пример 1. В ${-4x=-5}$ делим двете страни на $-4$: ${x=\frac{5}{4}}$.

Пример 2. В ${\frac{x}{6}=-2}$ умножаваме двете страни по 6: ${x=-12}$.

Пример 3. В ${\frac{2}{3}x=8}$ умножаваме двете страни с реципрочното на $\frac{2}{3}$:

${x}={8\cdot\frac{3}{2}}={12}$

Пример 4. Ако $x$ участва в няколко събираеми, първо ги събираме, а после делим на целия коефициент:

${{7x-2x+x}={42}}$, откъдето ${6x=42}$ и ${x=7}$

Делете всяко събираемо. В ${2x+6=10}$ не можем да разделим на 2 само $2x$. Или първо изваждаме 6 и получаваме ${2x=4}$ и ${x=2}$, или делим на 2 всяко събираемо и получаваме ${x+3=5}$ и ${x=2}$.

Решаване стъпка по стъпка

Повечето уравнения изискват няколко действия. Този ред на действията е подходящ за всяко линейно уравнение:

Пример 1. Решете ${16x+10-32=35-10x-5}$. Първо събираме числата във всяка страна:

${{16x-22}={30-10x}}$

${{16x+10x}={30+22}}$

${{26x}={52}}$, откъдето ${x=2}$

Пример 2. Решете ${7(3x-6)}+{5(x-3)}-{2(x-7)}={5}$.

${21x-42+5x-15-2x+14}={5}$

${{24x-43}={5}}$

${{24x}={48}}$, откъдето ${x=2}$

Проверка: ${7\cdot 0+5\cdot(-1)-2\cdot(-5)}={0-5+10}={5}$ ✓

Пример 3. Квадратите могат да се унищожат. Решете ${(x-3)(x+4)}-{2(3x-2)}={(x-4)^2}$.

${x^2+x-12-6x+4}={x^2-8x+16}$

${x^2-5x-8}={x^2-8x+16}$

Събираемите с $x^2$ се унищожават, така че уравнението все пак е линейно:

${{-5x+8x}={16+8}}$, откъдето ${3x=24}$ и ${x=8}$

Уравнения с дроби

Пример 1. Решете ${\frac{3x}{4}+6=\frac{5x}{8}+7}$. Най-малкият общ знаменател е 8:

${{6x+48}={5x+56}}$, откъдето ${x=8}$

Пример 2. Решете ${x+\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=11}$. Умножаваме по 6:

${{6x+3x+2x}={66}}$, откъдето ${11x=66}$ и ${x=6}$

Пример 3. Ако числителят има няколко събираеми, преди умножаването го поставяме в скоби. Решете ${\frac{x-5}{4}+6x=\frac{284-x}{5}}$. Умножаваме по 20:

${5(x-5)+120x}={4(284-x)}$

${5x-25+120x}={1136-4x}$

${{129x}={1161}}$, откъдето ${x=9}$

Минус пред дроб сменя знака на целия числител. В ${3x-\frac{x-4}{4}-4=\frac{5x+14}{3}-\frac{1}{12}}$ умножаването по 12 дава ${36x-3(x-4)-48}={4(5x+14)-1}$, а ${-3(x-4)}$ е ${-3x+12}$, а не ${-3x-12}$. Решението е ${x=7}$.

Неизвестно в знаменателя

Ако $x$ е в знаменател, умножаваме и с този знаменател. Стойност на $x$, за която знаменателят става нула, не може да е решение, затова винаги правим проверка.

Пример 4. Решете ${\frac{6}{10-x}+7=8}$. Умножаваме с ${10-x}$:

${6+7(10-x)}={8(10-x)}$

${{6+70-7x}={80-8x}}$, откъдето ${x=4}$

Проверка: ${\frac{6}{6}+7=8}$ ✓, а знаменателят ${10-4}$ не е нула.

Десетични дроби

От десетичните дроби се освобождаваме по същия начин – умножаваме по 10, 100, …

Пример 5. Решете ${0{,}5x+1{,}2=0{,}3x+2}$. Умножаваме по 10:

${{5x+12}={3x+20}}$, откъдето ${2x=8}$ и ${x=4}$

Уравнения във вид на пропорция

Уравнение от вида ${\frac{a}{b}=\frac{c}{d}}$ е пропорция. Най-бързо се решава по основното свойство на пропорциите: произведението на крайните членове е равно на произведението на средните, ${ad=bc}$.

Пример. Решете ${\frac{x+2}{5}=\frac{x-1}{2}}$.

${{2(x+2)}={5(x-1)}}$

${{2x+4}={5x-5}}$, откъдето ${9=3x}$ и ${x=3}$

Проверка: ${\frac{3+2}{5}=1}$ и ${\frac{3-1}{2}=1}$ ✓

Няма корени или всяко число е корен

Всяко линейно уравнение може да се приведе във вида ${ax=b}$. Обикновено $a$ не е нула и има точно един корен: ${x=\frac{b}{a}}$. Понякога обаче $x$ изчезва напълно:

След опростяването	Корени
${ax=b}$, където $a\ne 0$	точно един, ${x=\frac{b}{a}}$
вярно равенство, например ${0=0}$ или ${3=3}$	всяко число е корен
невярно равенство, например ${0=5}$	няма корени

Пример 1. В ${5-3x=7-3x}$ след прехвърлянето получаваме ${0=2}$, което не е вярно за никое $x$. Уравнението няма корени.

Пример 2. В ${3(x+1)^2-(3x+5)x=x+3}$ лявата страна се опростява до ${3x^2+6x+3-3x^2-5x}$, т.е. до ${x+3}$. Уравнението става ${x+3=x+3}$, което е вярно за всяко число.

${0=0}$ не означава ${x=0}$: означава, че всяко число е корен. А ${4x=0}$ не е „няма корени“: коренът му е ${x=0}$.

Изразяване на една буква чрез другите

Освен неизвестното, уравнението може да съдържа и други букви, например ако е формула. За да изразим една буква, разглеждаме останалите като числа и правим същите действия.

Пример 1. Изразете $x$ от ${\frac{x}{c}+a=b}$. Изваждаме $a$, после умножаваме с $c$:

${{\frac{x}{c}}={b-a}}$, откъдето ${x=c(b-a)}$

Пример 2. Лицето на триъгълник е ${S=\frac{1}{2}ah}$. Изразете $h$: умножаваме по 2, после делим на $a$:

${{2S}={ah}}$, откъдето ${h=\frac{2S}{a}}$

Пример 3. Изразете $x$ от ${ax+x=h-4}$. Изнасяме $x$ пред скоби, после делим:

${{(a+1)x}={h-4}}$, откъдето ${x=\frac{h-4}{a+1}}$

Последната стъпка е делене на ${a+1}$, което е възможно само при ${a\ne -1}$. Когато коефициентът пред $x$ съдържа букви, проверете какво става, когато той е нула. Много примери от този вид има на страницата линейни уравнения с параметър.

Чести грешки

Грешно	Вярно
✗ ${x+5=12}$, значи ${x=12+5}$	✓ Прехвърленото събираемо сменя знака си: $x=12-5=7$
✗ ${\frac{x}{2}+3=5}$, значи ${x+3=10}$	✓ Умножаваме всяко събираемо: ${x+6=10}$, значи ${x=4}$
✗ ${2x+6=10}$, значи ${x+6=5}$	✓ Делим всяко събираемо: ${x+3=5}$, значи ${x=2}$
✗ ${-3x=12}$, значи ${x=4}$	✓ Делим на $-3$: ${x=-4}$
✗ $1-\frac{x-3}{5}$ става $5-x-3$	✓ Минусът се отнася за целия числител: ${5-(x-3)=5-x+3}$
✗ ${4x=0}$ няма корени	✓ Коренът му е ${x=0}$
✗ ${0=0}$, значи ${x=0}$	✓ Всяко число е корен

Решени задачи

Задача 1. Решете ${7u-9-3u+5=11u-6-4u}$.

Решение: Събираме подобните събираеми във всяка страна:

${{4u-4}={7u-6}}$

${{6-4}={7u-4u}}$, откъдето ${2=3u}$ и ${u=\frac{2}{3}}$

Задача 2. Решете ${(x+1)^3}-{(x-1)^3}={6(x^2+x+1)}$.

Решение: Разкриваме кубовете:

${x^3+3x^2+3x+1}-{(x^3-3x^2+3x-1)}={6x^2+6x+6}$

${{6x^2+2}={6x^2+6x+6}}$

${{2}={6x+6}}$, откъдето ${6x=-4}$ и ${x=-\frac{2}{3}}$

Задача 3. Решете ${\frac{x+1}{3}-\frac{2x+5}{2}=-3}$.

Решение: Умножаваме по 6:

${2(x+1)-3(2x+5)}={-18}$

${{2x+2-6x-15}={-18}}$

${{-4x-13}={-18}}$, откъдето ${-4x=-5}$ и ${x=\frac{5}{4}}$

Задача 4. Решете ${\frac{6x-1}{5}-\frac{1-2x}{2}=\frac{12x+49}{10}}$.

Решение: Умножаваме по 10:

${2(6x-1)-5(1-2x)}={12x+49}$

${12x-2-5+10x}={12x+49}$

${{10x}={56}}$, откъдето ${x=5{,}6}$

Задача 5. Решете ${(2x-1)^2}-{x(10x+1)}={x(1-x)(1+x)}-{(2-x)^3}$.

Решение: Опростяваме всяка страна поотделно:

${4x^2-4x+1-10x^2-x}={-6x^2-5x+1}$

${x-x^3-(8-12x+6x^2-x^3)}={-6x^2+13x-8}$

Уравнението става

${-6x^2-5x+1}={-6x^2+13x-8}$, откъдето ${9=18x}$ и ${x=\frac{1}{2}}$

Задача 6. Решете ${\frac{6x+7}{9}+\frac{7x-13}{6x+3}=\frac{2x+4}{3}}$.

Решение: Умножаваме двете страни с ${9(6x+3)}$:

${(6x+7)(6x+3)+9(7x-13)}={3(2x+4)(6x+3)}$

${36x^2+60x+21+63x-117}={36x^2+90x+36}$

${{123x-96}={90x+36}}$, откъдето ${33x=132}$ и ${x=4}$

Знаменателят ${6\cdot 4+3=27}$ не е нула, значи ${x=4}$ е решение.

Задача 7. Дадена е функцията ${f(x)=x+4}$. Решете уравнението ${\frac{3f(x-2)}{f(0)}+4=f(2x+1)}$.

Решение: Тук ${f(0)=4}$, ${f(x-2)=x+2}$ и ${f(2x+1)=2x+5}$, затова уравнението е

${{\frac{3(x+2)}{4}+4}={2x+5}}$

${{3x+6+16}={8x+20}}$, откъдето ${2=5x}$ и ${x=\frac{2}{5}}$

Задача 8. Един човек бил попитан колко е платил за часовника си. Той отговорил: „Ако умножите цената по 4, прибавите 70 и после извадите 50, ще получите 220 евро.“ Каква е цената на часовника?

Решение: Нека цената е $x$ евро:

${{4x+70-50}={220}}$, откъдето ${4x=200}$ и ${x=50}$

Часовникът струва 50 евро. Още такива задачи има на страницата текстови задачи с уравнения.

Упражнения

Решете всяка задача, а после я отворете, за да проверите отговора си.

1. Решете ${x+9=4}$.

${x=4-9=-5}$

2. Решете ${-7x=42}$.

Делим на $-7$: ${x=-6}$

3. Решете ${\frac{x}{5}=-3}$.

Умножаваме по 5: ${x=-15}$

4. Решете ${3x-7=2x+5}$.

${{3x-2x}={5+7}}$, откъдето ${x=12}$

5. Решете ${5(x-2)=3(x+4)}$.

${{5x-10}={3x+12}}$, откъдето ${2x=22}$ и ${x=11}$

6. Решете ${40-6x-16=120-14x}$.

${{24-6x}={120-14x}}$, откъдето ${8x=96}$ и ${x=12}$

7. Решете ${\frac{x}{3}+\frac{x}{4}=7}$.

Умножаваме по 12: ${4x+3x=84}$, откъдето ${7x=84}$ и ${x=12}$

8. Решете ${3x+\frac{2x+6}{5}=5+\frac{11x-37}{2}}$.

Умножаваме по 10: ${30x+2(2x+6)}={50+5(11x-37)}$, откъдето ${{34x+12}={55x-135}}$, ${147=21x}$ и ${x=7}$

9. Решете ${\frac{6x-4}{3}-2=\frac{18-4x}{3}+x}$.

Умножаваме по 3: ${{6x-4-6}={18-4x+3x}}$, откъдето ${{6x-10}={18-x}}$, ${7x=28}$ и ${x=4}$

10. Решете ${2(3x-1)-3(2x+1)=6}$.

${{6x-2-6x-3}={6}}$ дава ${-5=6}$, което не е вярно: уравнението няма корени.

11. Решете ${\frac{x+2}{3}=\frac{2x-1}{5}}$.

По основното свойство на пропорциите: ${{5(x+2)}={3(2x-1)}}$, откъдето ${{5x+10}={6x-3}}$ и ${x=13}$

12. Обиколката на правоъгълник е ${P=2(a+b)}$. Изразете $b$.

Делим на 2: ${\frac{P}{2}=a+b}$, откъдето ${b=\frac{P}{2}-a}$

Още упражнения, всеки път с нови уравнения:

Още за уравненията: Текстови задачи с уравнения · Задачи с линейни уравнения · Линейни уравнения с параметър · Уравнения с модул