Проценти

Калкулатор на проценти

Въведете две числа на който и да е ред. Отговорът и сметката се появяват, докато пишете.

Какво е процент?

Процент означава „на сто“. Думата идва от латинското per centum, „на сто“, а знакът % означава „от 100“. Така 25% означава 25 от всеки 100. Един процент е една стотна: ${1\%=\frac{1}{100}=0{,}01}$, а 25% от нещо е $\frac{25}{100}$ от него.

Оцветени са 25 от 100-те малки квадратчета: ${25\%}={\frac{25}{100}}={\frac{1}{4}}$

Нека в една стая има 4 души. Тогава 100% от тях са всичките 4 души, 50% е половината (2 души), 25% е четвъртината (1 човек), а 0% е никой. Ако влязат още 4 души, в стаята ще има 8 души, а това е 200% от първоначалния брой. Процентите могат да бъдат и повече от 100.

На тази страница ще научите как се превръщат процентите в десетични и обикновени дроби и как се решават трите основни задачи с проценти: намиране на процент от число, намиране колко процента е едно число от друго и намиране на цялото по дадена част. След това идват процентното увеличение и намаление, обратните задачи и промените, които следват една след друга. Ако ви трябва само бърз отговор, използвайте калкулатора на проценти.

Проценти, десетични и обикновени дроби

Процентът, десетичната дроб и обикновената дроб са три начина да се запише едно и също число: ${50\%}={0{,}5}={\frac{1}{2}}$.

Някои проценти се срещат толкова често, че е добре да ги знаете наизуст:

Процент	Десетична дроб	Обикновена дроб
$1\%$	$0{,}01$	$\frac{1}{100}$
$5\%$	$0{,}05$	$\frac{1}{20}$
$10\%$	$0{,}1$	$\frac{1}{10}$
$12{,}5\%$	$0{,}125$	$\frac{1}{8}$
$20\%$	$0{,}2$	$\frac{1}{5}$
$25\%$	$0{,}25$	$\frac{1}{4}$
$33\tfrac{1}{3}\%$	$0{,}333\ldots$	$\frac{1}{3}$
$50\%$	$0{,}5$	$\frac{1}{2}$
$75\%$	$0{,}75$	$\frac{3}{4}$
$100\%$	$1$	$1$
$150\%$	$1{,}5$	$\frac{3}{2}$

Внимавайте с малките проценти: ${8\%=0{,}08}$, а не $0{,}8$. А ${0{,}5\%=0{,}005}$ е половин процент, а не половината: половината е 50%.

Как се намира процент от число

Пример 1. Намерете 20% от 40.

${20\%\ \text{от}\ 40}={0{,}2\cdot 40}=8$

Думата „от“ тук означава умножение.

Пример 2. В едно училище има 600 ученици и 45% от тях идват на училище с автобус. Колко ученици са това?

${0{,}45\cdot 600}=270$

Пример 3. Процентите могат да бъдат повече от 100 или по-малко от 1:

${120\%\ \text{от}\ 50}={1{,}2\cdot 50}=60$

${0{,}5\%\ \text{от}\ 3000}={0{,}005\cdot 3000}=15$

Пример 4. Синди има нужда от 8 м градински маркуч. В магазина има макара с 30 м маркуч, но на нея пише, че 60% от маркуча вече са продадени. Ще ѝ стигне ли остатъкът?

Решение: Продадени са ${{0{,}6\cdot 30}=18}$ м, значи са останали ${{30-18}=12}$ м. Това е достатъчно. По-бързо: останали са ${{100\%-60\%}={40\%}}$ от макарата, а това са ${{0{,}4\cdot 30}=12}$ м.

Проценти наум

• 10%: разделете на 10. 10% от 360 е 36.
• 5%: вземете половината от 10%. 5% от 360 е 18.
• 1%: разделете на 100. 1% от 360 е 3,6.
• 50%, 25% и 20% са половината, четвъртината и петината. 25% от 360 е 90.
• Съставяйте другите проценти от тези: 15% е 10% плюс 5%, затова 15% от 360 е ${{36+18}=54}$.
• Разменете числата: $p\%$ от $a$ е същото като $a\%$ от $p$, защото ${\frac{p}{100}\cdot a}={\frac{a}{100}\cdot p}$. 8% от 50 се пресмята трудно наум, но 50% от 8 е лесно. И двете са равни на 4.

Например отстъпка от 15% при покупка за 36 евро: 10% е 3,60 евро, а 5% е 1,80 евро, значи отстъпката е 5,40 евро.

Колко процента е едно число от друго

Пример 1. Колко процента е 80 от 160?

${\frac{80}{160}\cdot 100\%}={0{,}5\cdot 100\%}={50\%}$

Пример 2. На контролното сте получили 45 точки от 60. Колко процента е това?

${\frac{45}{60}\cdot 100\%}={0{,}75\cdot 100\%}={75\%}$

Пример 3. Тестът по математика е с 5 въпроса: три от тях носят по 3 точки, а другите два – по 4 точки. Решили сте вярно два от въпросите по 3 точки и един от въпросите по 4 точки. Колко процента от точките сте получили?

Решение: Тестът носи общо ${{3\cdot 3+2\cdot 4}=17}$ точки, а вие сте получили ${{2\cdot 3+4}=10}$ точки:

${\frac{10}{17}\cdot 100\%}\approx{58{,}8\%}$

Делението не е точно, затова отговорът е закръглен и вместо знака = се пише знакът ≈ („приблизително равно“).

Пример 4. Райън събира спортни картички: има 32 картички с бейзболисти, 25 с футболисти и 47 с баскетболисти. Какъв процент от колекцията е всеки спорт?

Решение: Цялото е броят на всички картички, ${{32+25+47}=104}$.

Бейзбол: ${\frac{32}{104}\cdot 100\%}\approx{30{,}8\%}$

Футбол: ${\frac{25}{104}\cdot 100\%}\approx{24{,}0\%}$

Баскетбол: ${\frac{47}{104}\cdot 100\%}\approx{45{,}2\%}$

Трите части заедно образуват цялата колекция, затова сборът на процентите им е 100%. Сборът на закръглените проценти може да се окаже малко повече или малко по-малко, например 99,9% или 100,1%.

Пример 5. Частта може да е по-голяма от цялото. Колко процента е 45 от 40?

${\frac{45}{40}\cdot 100\%}={1{,}125\cdot 100\%}={112{,}5\%}$

Как се намира цялото по дадена част

Пример 1. 12 е 30% от кое число?

${12\div 0{,}3}=40$

Проверка: ${{0{,}3\cdot 40}=12}$ ✓

Пример 2. В един клас 6 ученици носят очила. Това са 20% от класа. Колко ученици има в класа?

${6\div 0{,}2}=30$

Може да разсъждавате и чрез 10%: щом 20% от класа са 6 ученици, то 10% са 3 ученици, а 100% са ${{10\cdot 3}=30}$ ученици.

Пример 3. Спестили сте 150 евро. Това са 60% от цената на един велосипед. Колко струва велосипедът?

${150\div 0{,}6}=250$ евро

Една формула за трите задачи

Трите задачи произлизат от една формула, която свързва частта, процента и цялото:

Две от трите числа са известни, а третото се търси. Трите въпроса по-долу използват едни и същи числа, защото 8 е 20% от 40:

Въпрос	Решение
Колко е 20% от 40? (частта)	${0{,}2\cdot 40}=8$
Колко процента е 8 от 40? (процентът)	${\frac{8}{40}\cdot 100\%}={20\%}$
8 е 20% от кое число? (цялото)	${8\div 0{,}2}=40$

Процентно нарастване и намаляване

Когато една величина се промени, процентната промяна сравнява промяната с началната (старата) стойност:

Пример 1. Имали сте 80 пощенски марки и сте събирали още, докато станат 120. С колко процента е нараснала колекцията?

${\frac{120-80}{80}\cdot 100\%}={\frac{40}{80}\cdot 100\%}={50\%}$

Пример 2. След това сте разменили част от 120-те марки за игра на ваш приятел и са ви останали 100 марки. С колко процента е намалял броят на марките?

${\frac{100-120}{120}\cdot 100\%}={-\frac{20}{120}\cdot 100\%}\approx{-16{,}7\%}$

Броят на марките е намалял с около 16,7%. Промяната от 20 марки се сравнява със 120 – броя на марките преди промяната.

Пример 3. Населението на един град се е увеличило от 12 000 на 12 600 души, т.е. с 600 души:

${\frac{600}{12\,000}\cdot 100\%}={5\%}$

Как се увеличава или намалява число с процент

Когато увеличавате число с $p\%$, прибавяте към него $p\%$ от самото него и получавате ${100\%+p\%}$ от числото. Когато го намалявате с $p\%$, получавате ${100\%-p\%}$ от него. Затова това може да стане с една стъпка – с умножение по множител:

Пример 4. Една компютърна игра е струвала 40 евро. След това цената ѝ се е увеличила с 20%. Колко струва сега?

С две стъпки: цената се е увеличила с ${{0{,}2\cdot 40}=8}$ евро, значи новата цена е ${{40+8}=48}$ евро. С една стъпка: ${{40\cdot 1{,}2}=48}$ евро.

Пример 5. Едно яке струва 250 евро. При разпродажба е с 30% отстъпка, затова струва ${{250\cdot 0{,}7}=175}$ евро.

„С колко процента повече“ и „с колко процента по-малко“

Процентът винаги се смята от числото, с което сравняваме. Затова и двете твърдения са верни:

• 50 е с 25% повече от 40, защото ${\frac{10}{40}}={25\%}$;
• 40 е с 20% по-малко от 50, защото ${\frac{10}{50}}={20\%}$.

И в двата случая разликата е 10, но тя се сравнява с различни числа.

Как се намира началната стойност

Понякога знаете стойността след процентна промяна, а трябва да намерите стойността преди нея. Тогава разделете на множителя:

Пример 1. С 20% отстъпка едно яке струва 64 евро. Колко е струвало преди отстъпката?

Решение: Цената с отстъпка е ${{100\%-20\%}={80\%}}$ от началната цена, затова

${\text{начална цена}}={64\div 0{,}8}=80$ евро

Проверка: 20% от 80 евро са 16 евро и ${{80-16}=64}$ ✓. Същото се вижда и на схемата:

80% от цената са 64 евро, значи 10% са 8 евро, а 100% са 80 евро.

Внимание: не прибавяйте 20% от цената с отстъпка. Отговорът ${{64+0{,}2\cdot 64}=76{,}80}$ евро е грешен, защото отстъпката е била 20% от началната цена, а не 20% от 64 евро.

Пример 2. Цена с ДДС 20% е 54 евро. Цената без ДДС е ${{54\div 1{,}2}=45}$ евро.

Пример 3. След увеличение с 25% една заплата е 2500 евро на месец. Преди увеличението е била ${{2500\div 1{,}25}=2000}$ евро.

Няколко промени една след друга

Когато една процентна промяна следва друга, вторият процент се смята от новата стойност, а не от началната. Затова процентите не могат просто да се съберат: трябва да се умножат множителите.

Пример 1. Една цена се увеличава с 10%, а след това намалява с 10%. Тя не се връща там, откъдето е започнала:

${1{,}1\cdot 0{,}9}={0{,}99}$

Крайната цена е 99% от началната, т.е. с 1% по-ниска. Например 100 евро стават 110 евро, а после 99 евро.

Пример 2. Отстъпка от 20%, последвана от още 10%, не е отстъпка от 30%:

${0{,}8\cdot 0{,}9}={0{,}72}$

Плащате 72% от цената, значи общата отстъпка е 28%.

Пример 3. Цената на една акция пада с 50%. За да се върне на предишното си ниво, тя трябва да се увеличи със 100%, защото ${{0{,}5\cdot 2}=1}$.

Пример 4. Един град расте с 5% годишно в продължение на 3 години:

${1{,}05\cdot 1{,}05\cdot 1{,}05}={1{,}05^3}\approx{1{,}158}$

Общо градът нараства с около 15,8%, а не с 15%, защото всяка година 5% се смятат от по-голямо число. Спестяванията със сложна лихва растат по същия начин. Калкулаторът за сложна лихва по-долу ще направи тези сметки вместо вас.

Проценти или процентни пунктове?

Когато се променя величина, която сама е изразена в проценти, промяната може да се опише по два начина. Да кажем, че една банка вдига лихвата от 4% на 5%:

• лихвата се е увеличила с 1 процентен пункт, защото ${{5-4}=1}$;
• лихвата се е увеличила с 25%, защото ${\frac{5-4}{4}\cdot 100\%}={25\%}$.

И двете твърдения са верни, но казват различни неща, затова фразата „лихвата се увеличи с 1%“ е подвеждаща. Когато изваждате един процент от друг, говорете за „процентни пунктове“.

Процентите в ежедневието

Процентите позволяват части от различни цели да се сравняват по една и съща скала – от 100. Затова ги срещаме навсякъде:

• пазаруване: отстъпки и данъци;
• пари: лихви по спестявания и кредити, поскъпвания;
• училище: резултати от тестове и оценки;
• новини: изборни резултати, проучвания, ръст на населението;
• наука: концентрация на разтвор, влажност на въздуха, хранителни вещества върху етикета.

Пример 1. В клас А тест са издържали 18 от 24 ученици, а в клас Б – 21 от 30 ученици. Кой клас се е представил по-добре?

Решение: В клас Б са издържали повече ученици, но клас Б е и по-голям. Да сравним процентите:

Клас А: ${\frac{18}{24}\cdot 100\%}={75\%}$

Клас Б: ${\frac{21}{30}\cdot 100\%}={70\%}$

Клас А се е представил по-добре.

Пример 2. Том има малък магазин за хранителни стоки. През първия месец е купил стоки за 650 евро и ги е продал за 800 евро. През втория месец е купил стоки за 800 евро и ги е продал за 1200 евро. Работил ли е магазинът по-добре през втория месец?

Решение: Печалбата му е нараснала от ${{800-650}=150}$ на ${{1200-800}=400}$ евро, но Том е похарчил и повече. За да видим колко добре са работили парите му, да сравним печалбата от всеки месец с похарчените пари:

${\frac{150}{650}\cdot 100\%}\approx{23{,}1\%}$

${\frac{400}{800}\cdot 100\%}={50\%}$

През първия месец всеки похарчени 100 евро са донесли на Том около 23 евро печалба, а през втория – 50 евро. Значи магазинът му не само е пораснал, но е станал и по-доходоносен.

Решени задачи

Задача 1. Цената на един лаптоп е намалена от 900 на 765 евро. С колко процента е намалена цената?

Решение: Цената е намаляла с ${{900-765}=135}$ евро. Сравняваме това със старата цена:

${\frac{135}{900}\cdot 100\%}={15\%}$

Задача 2. 200 г солена вода съдържат 15% сол. Колко сол има в нея? Колко процента сол ще има, ако се добавят 100 г вода?

Решение: Солта е ${{0{,}15\cdot 200}=30}$ г. След добавянето на водата се получават ${{200+100}=300}$ г разтвор, а солта си остава 30 г:

${\frac{30}{300}\cdot 100\%}={10\%}$

Задача 3. На избори с двама кандидати са гласували 2400 души. Кандидат А е получил 55% от гласовете. С колко гласа повече е получил А от Б?

Решение: Б е получил ${{100\%-55\%}={45\%}}$ от гласовете. Разликата е ${{55\%-45\%}={10\%}}$ от гласовете:

${0{,}1\cdot 2400}=240$

Проверка: А е получил ${{0{,}55\cdot 2400}=1320}$ гласа, а Б – ${{0{,}45\cdot 2400}=1080}$ гласа, и ${{1320-1080}=240}$.

Задача 4. С 25% отстъпка една риза струва 18 евро. Колко е струвала преди отстъпката?

Решение: 18 евро са ${{100\%-25\%}={75\%}}$ от старата цена:

${18\div 0{,}75}=24$ евро

Задача 5. Град с 50 000 жители е намалял с 10% за една година, а през следващата година е нараснал с 10%. Колко души живеят в града сега?

${50\,000\cdot 0{,}9\cdot 1{,}1}={49\,500}$

Това са 500 души по-малко, отколкото в началото, т.е. намаление с 1%.

Задача 6. Един магазин е увеличил всички цени с 25%. По-късно е обявил разпродажба с 20% отстъпка. Цените при разпродажбата по-високи ли са, или по-ниски от цените преди увеличението?

Решение: ${{1{,}25\cdot 0{,}8}=1}$, затова цените при разпродажбата са точно същите като преди увеличението.

Задача 7. Безработицата е спаднала от 8% на 6%. Опишете промяната в процентни пунктове и в проценти.

Решение: Безработицата е спаднала с ${{8-6}=2}$ процентни пункта. Като процентна промяна:

${\frac{6-8}{8}\cdot 100\%}={-25\%}$

т.е. безработицата е намаляла с 25%.

Упражнения

Решете всяка задача и след това я отворете, за да проверите отговора си.

1. Запишете 45% като десетична дроб и като несъкратима обикновена дроб.

${45\%}={0{,}45}={\frac{45}{100}}={\frac{9}{20}}$

2. Запишете $\frac{7}{8}$ в проценти.

${7\div 8}={0{,}875}={87{,}5\%}$

3. Намерете 35% от 240.

${0{,}35\cdot 240}=84$

4. Колко процента е 27 от 36?

${\frac{27}{36}\cdot 100\%}={75\%}$

5. 18 е 45% от кое число?

${18\div 0{,}45}=40$

6. Чифт обувки струва 60 евро и е с 15% отстъпка. Колко струва с отстъпката?

${60\cdot 0{,}85}=51$ евро

7. Стойността на един автомобил е спаднала от 25 000 на 21 000 евро. С колко процента е спаднала?

${\frac{25\,000-21\,000}{25\,000}\cdot 100\%}={\frac{4000}{25\,000}\cdot 100\%}={16\%}$

8. След поскъпване с 10% един билет струва 2,75 евро. Колко е струвал преди?

${{2{,}75\div 1{,}1}=2{,}50}$ евро

9. Една цена се увеличава с 30%, а след това намалява с 30%. Каква е общата промяна?

${{1{,}3\cdot 0{,}7}=0{,}91}$, т.е. накрая цената е с 9% по-ниска от началната.

10. Кое е повече: 40% от 70 или 70% от 40?

Равни са: ${{0{,}4\cdot 70}=28}$ и ${{0{,}7\cdot 40}=28}$.