МенюБройни системи
Калкулатор за преобразуване между бройни системи
Въведете цяло число или число с дробна част, например 156, 101,11 или 7E9 (основа 16), и изберете от коя бройна система и в коя да го преобразувате. Цифрите, по-големи от 9, се записват с букви: A = 10, B = 11, …, Z = 35. Калкулаторът показва решението стъпка по стъпка.
Какво е бройна система?
Бройната система е начин за записване на числата с малък набор от знаци, наречени цифри. Ние записваме числата в десетичната бройна система. Тя има десет цифри, от $0$ до $9,$ вероятно защото хората първо са броели на десетте си пръста. Същите числа могат да се запишат и в други бройни системи. Компютрите работят в двоичната бройна система, която има само две цифри, $0$ и $1;$ програмистите използват и системите с основа $8$ и $16,$ а минутите и секундите и до днес броим по шестдесет.
Всички тези системи са позиционни: стойността на една цифра зависи от мястото ѝ в записа на числото. В $555$ трите петици означават $500,$ $50$ и $5.$ При римските цифри е другояче: там X винаги означава десет (в LX се прибавя, а в XL се изважда) и мястото му в записа никога не го превръща в сто.
На тази страница: Калкулатор · Разреди · Произволна основа · Броене · Двоична система · Към десетична · От десетична · Дроби · Двоична аритметика · Основи 8 и 16 · Основи 12 и 60 · Битове и байтове · Задачи
Разредите в десетичната система
Единица от всеки разред на десетичното число е десет пъти по-голяма от единица от съседния разред вдясно: единици, десетици, стотици, хиляди и т.н. Затова числото е сума от цифрите си, всяка умножена по степен на $10\text{:}$
${3507}={3\cdot 1000}+{5\cdot 100 + 0\cdot 10 + 7}={3\cdot 10^3 + 5\cdot 10^2}+{0\cdot 10^1 + 7\cdot 10^0.}$
Това е развитият запис на числото. Нулата е важна: тя показва, че няма десетици, и без нея $3507$ би станало $357.$ Разредите вдясно от десетичната запетая са десети, стотни, хилядни, тоест отрицателни степени на $10\text{:}$
${0{,}25}={\frac{2}{10} + \frac{5}{100}}={2\cdot 10^{-1} + 5\cdot 10^{-2}.}$
Числа в система с произволна основа
Нищо не ни задължава да групираме точно по десет. В бройна система с основа $b$ има $b$ цифри, от $0$ до $b-1,$ и единица от всеки разред е $b$ пъти по-голяма от единица от съседния разред вдясно. Стойността на една единица от даден разред се нарича тегло на разреда. Теглата на разредите са $1,$ $b,$ $b^2,$ $b^3$ и т.н., затова записът $a_n\ldots a_2a_1a_0$ означава
${(a_n\ldots a_2a_1a_0)_b}={a_n\cdot b^n + \ldots}+{a_2\cdot b^2 + a_1\cdot b + a_0.}$
Основата се записва като малък долен индекс след цифрите: $1011_2$ е двоично число, а $1011_{10}$ е десетичното число хиляда и единадесет. Число без долен индекс е десетично. В система с основа, по-голяма от десет, цифрите след $9$ се записват с букви: $\mathrm{A} = 10,$ $\mathrm{B} = 11,$ $\mathrm{C} = 12$ и т.н. до $\mathrm{Z} = 35$ в системата с основа $36.$
Пример 1. Едни и същи цифри означават различни числа в различните бройни системи:
${1011_2}={1\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2 + 1}={8 + 2 + 1}={11,}$
${1011_3}={1\cdot 3^3 + 0\cdot 3^2 + 1\cdot 3 + 1}={27 + 3 + 1}={31,}$
${1011_{10}}={1000 + 10 + 1}={1011.}$
Във всяка бройна система записът $10$ (единица и нула) означава самата основа: $10_2 = 2,$ $10_8 = 8,$ $10_{16} = 16,$ точно както $10$ е десет в десетичната система. По същия начин $100_b = b^2$ и $1000_b = b^3.$
Най-често използваните бройни системи:
| Бройна система | Цифри | Къде се използва |
|---|---|---|
| Основа 2, двоична | $0$ и $1$ | компютрите и всички цифрови устройства |
| Основа 8, осмична | от $0$ до $7$ | права за достъп до файлове в Unix и Linux; по-старите компютри |
| Основа 10, десетична | от $0$ до $9$ | ежедневното броене и смятане |
| Основа 12, дванадесетична | от $0$ до $9,$ $\mathrm{A}$ и $\mathrm{B}$ | дузини; 12 месеца и 12 часа |
| Основа 16, шестнадесетична | от $0$ до $9$ и от $\mathrm{A}$ до $\mathrm{F}$ | цветове в уеб страниците, адреси в паметта, байтове |
| Основа 60, шестдесетична | от $0$ до $59$ във всеки разред | времето (часове, минути, секунди) и ъглите (градуси, минути, секунди) |
Броене в други бройни системи
Механичните броячи, например километражът на по-стар автомобил или водомерът, имат малки колелца с цифрите от $0$ до $9.$ Най-дясното колелце се завърта с едно деление при всяка нова единица. Когато подмине последната си цифра, то се връща на $0$ и завърта следващото колелце с едно деление: след $0999$ идва $1000.$ Брояч за система с основа $b$ би имал по $b$ цифри на всяко колелце. На двоичния брояч всяко колелце показва само $0$ или $1,$ затова най-дясното колелце се връща на $0$ на всяка втора стъпка и завърта следващото с едно деление.
Още една единица на десетичен и на двоичен брояч: $0999 + 1 = 1000$ и $0111_2 + 1 = 1000_2,$ тоест $7 + 1 = 8.$
Значи в система с основа $b$ се брои точно както в десетичната: когато в един разред стои най-голямата цифра $b-1,$ следващата единица я превръща в $0$ и пренася $1$ в следващия по-висок разред. Ето числата от $0$ до $16$ в четири бройни системи:
| Десетична | Двоична | Осмична | Шестнадесетична |
|---|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $0$ | $0$ |
| $1$ | $1$ | $1$ | $1$ |
| $2$ | $10$ | $2$ | $2$ |
| $3$ | $11$ | $3$ | $3$ |
| $4$ | $100$ | $4$ | $4$ |
| $5$ | $101$ | $5$ | $5$ |
| $6$ | $110$ | $6$ | $6$ |
| $7$ | $111$ | $7$ | $7$ |
| $8$ | $1000$ | $10$ | $8$ |
| $9$ | $1001$ | $11$ | $9$ |
| $10$ | $1010$ | $12$ | $\mathrm{A}$ |
| $11$ | $1011$ | $13$ | $\mathrm{B}$ |
| $12$ | $1100$ | $14$ | $\mathrm{C}$ |
| $13$ | $1101$ | $15$ | $\mathrm{D}$ |
| $14$ | $1110$ | $16$ | $\mathrm{E}$ |
| $15$ | $1111$ | $17$ | $\mathrm{F}$ |
| $16$ | $10000$ | $20$ | $10$ |
Най-голямото $n$-цифрено число в система с основа $b$ има всички цифри, равни на $b-1.$ Ако му прибавим единица, получаваме $10\ldots0_b = b^n,$ значи самото число е $b^n-1\text{:}$ $999 = 10^3-1,$ $1111_2 = 2^4-1 = 15$ и $\mathrm{FF}_{16} = 16^2-1 = 255.$
Двоичната бройна система
Двоичната система има основа $2$ и само две цифри, $0$ и $1.$ Една двоична цифра се нарича бит (съкращение от английското binary digit). Теглата на разредите на двоичното число са степените на $2\text{:}$
| $2^7$ | $2^6$ | $2^5$ | $2^4$ | $2^3$ | $2^2$ | $2^1$ | $2^0$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $128$ | $64$ | $32$ | $16$ | $8$ | $4$ | $2$ | $1$ |
Следващите степени са $2^8 = 256,$ $2^9 = 512$ и $2^{10} = 1024.$ В двоичната система всяка степен на $2$ се записва като единица, следвана от нули, например $2^5 = 100000_2.$
Компютрите използват двоичната система, защото за един бит са нужни само две състояния, които лесно се различават: прекъсвачът е изключен или включен, напрежението е ниско или високо. Тъй като във всеки разред може да стои само $0$ или $1,$ пренос към следващия разред има много скоро: $1 + 1 = 10_2.$ Броенето в двоичната система върви така: $1,$ $10,$ $11,$ $100,$ $101,$ $110,$ $111,$ $1000$ и т.н.
Преобразуване от произволна система в десетична
Напишете над всяка цифра теглото на нейния разред, умножете всяка цифра по това тегло и съберете произведенията. Това отново е развитият запис на числото.
Пример 2. Преобразувайте $110101_2$ в десетична система.
| Тегло на разреда | $32$ | $16$ | $8$ | $4$ | $2$ | $1$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Цифра | $1$ | $1$ | $0$ | $1$ | $0$ | $1$ |
${110101_2}={32 + 16 + 4 + 1}={53.}$
Пример 3. Преобразувайте $753_8$ и $\mathrm{2A7}_{16}$ в десетична система. В системата с основа $8$ теглата на разредите са $1,$ $8$ и $8^2 = 64.$ В системата с основа $16$ те са $1,$ $16$ и $16^2 = 256,$ а цифрата $\mathrm{A}$ е $10\text{:}$
${753_8}={7\cdot 64 + 5\cdot 8 + 3}={448 + 40 + 3}={491,}$
${\mathrm{2A7}_{16}}={2\cdot 256 + 10\cdot 16 + 7}={512 + 160 + 7}={679.}$
За дълги числа има по-бърз начин, който всъщност е схемата на Хорнер за полиноми: започнете с първата (най-лявата) цифра, а после всеки път умножавайте получения резултат по основата и прибавяйте следващата цифра. За $110101_2\text{:}$
| Цифра | $1$ | $1$ | $0$ | $1$ | $0$ | $1$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Резултат | $1$ | $3$ | $6$ | $13$ | $26$ | $53$ |
Всеки резултат е равен на предишния, умножен по $2,$ плюс цифрата над него: $1\cdot 2 + 1 = 3,$ $3\cdot 2 + 0 = 6,$ $6\cdot 2 + 1 = 13,$ $13\cdot 2 + 0 = 26,$ $26\cdot 2 + 1 = 53.$ Последният резултат е самото число: $110101_2 = 53.$
Преобразуване от десетична в двоична и други системи
Последователно деление
Разделете числото с остатък на новата основа $b.$ Остатъкът е последната цифра на отговора. Разделете частното отново на $b\text{:}$ новият остатък е предпоследната цифра. Продължете, докато частното стане $0,$ и прочетете остатъците отдолу нагоре.
Пример 4. Преобразувайте $13$ в двоична система.
| Деление | Частно | Остатък |
|---|---|---|
| $13 : 2$ | $6$ | $1$ |
| $6 : 2$ | $3$ | $0$ |
| $3 : 2$ | $1$ | $1$ |
| $1 : 2$ | $0$ | $1$ |
Като прочетем остатъците отдолу нагоре, получаваме $13 = 1101_2.$ Проверка: $8 + 4 + 1 = 13.$
Пример 5. Преобразувайте $2025$ в шестнадесетична система. Остатък, по-голям от $9,$ се записва с буква: $14 = \mathrm{E}.$
| Деление | Частно | Остатък |
|---|---|---|
| $2025 : 16$ | $126$ | $9$ |
| $126 : 16$ | $7$ | $14 = \mathrm{E}$ |
| $7 : 16$ | $0$ | $7$ |
И така, $2025 = \mathrm{7E9}_{16}.$ Проверка: ${7\cdot 256 + 14\cdot 16 + 9}={1792 + 224 + 9}={2025.}$
Защо това работи? При деление с остатък числото се записва във вида $n = b\cdot q + r,$ където $0 \le r < b,$ затова $r$ се записва с една цифра в системата с основа $b.$ В тази система умножението на $q$ по $b$ добавя нула в края на записа на $q,$ точно както умножението по $10$ в десетичната система, а прибавянето на $r$ поставя $r$ на мястото на тази нула. Значи $r$ е последната цифра, а пред нея стоят цифрите на $q.$
Изваждане на степени на 2
За двоичната система има и друг начин. Извадете от числото най-голямата степен на $2,$ която не е по-голяма от него, после от разликата – най-голямата степен на $2,$ която не е по-голяма от нея, и т.н., докато получите $0.$ Всяка използвана степен дава $1$ в своя разред, а във всички останали разреди стои $0.$ Например $13 - 8 = 5,$ $5 - 4 = 1,$ $1 - 1 = 0,$ затова $13 = 8 + 4 + 1 = 1101_2,$ както в пример 4.
Пример 6. Преобразувайте $1546$ в двоична система. Най-голямата степен на $2,$ която не е по-голяма от $1546,$ е $2^{10} = 1024\text{:}$
$1546 - 1024 = 522,$ $522 - 512 = 10,$ $10 - 8 = 2,$ $2 - 2 = 0.$
И така, ${1546}={2^{10} + 2^9 + 2^3 + 2^1.}$ Единици стоят в разредите $10,$ $9,$ $3$ и $1,$ ако номерираме разредите отдясно наляво, започвайки от $0\text{:}$ $1546 = 11000001010_2.$
За да преобразувате число между две системи, различни от десетичната, първо го преобразувайте в десетична система, а след това в новата. Калкулаторът прави същото, освен когато двете основи са степени на едно и също число, като $8$ и $16.$ За основите $2,$ $8$ и $16$ има по-кратък начин, показан в раздела „Осмична и шестнадесетична система“.
Дроби в други бройни системи
Цифрите след запетаята действат по същия начин: в система с основа $b$ теглата им са $\frac{1}{b},$ $\frac{1}{b^2},$ $\frac{1}{b^3}$ и т.н. В двоичната система разредите след запетаята са половини, четвъртини, осмини:
$$101{,}11_2 = 4 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 5{,}75.$$За да запишете число между $0$ и $1$ в система с основа $b,$ умножете го по $b.$ Цялата част на произведението е първата цифра след запетаята. После умножете дробната част на произведението отново по $b,$ за да получите следващата цифра, и т.н. Това работи, защото в система с основа $b$ умножението по $b$ премества запетаята с един знак надясно: първата цифра след запетаята минава пред нея и става цяла част.
Пример 7. Преобразувайте $0{,}625$ в двоична система.
| Умножение | Произведение | Цифра |
|---|---|---|
| $0{,}625\cdot 2$ | $1{,}25$ | $1$ |
| $0{,}25\cdot 2$ | $0{,}5$ | $0$ |
| $0{,}5\cdot 2$ | $1$ | $1$ |
Дробната част стана $0,$ затова цифрите свършват. Прочетете ги отгоре надолу, а не отдолу нагоре, както при делението: $0{,}625 = 0{,}101_2.$ Проверка: $\frac{1}{2} + \frac{1}{8} = 0{,}625.$
При число с цяла и дробна част двете части се преобразуват поотделно: цялата – с последователно деление, а дробната – с последователно умножение. Например $13 = 1101_2$ (пример 4) и $0{,}625 = 0{,}101_2,$ затова $13{,}625 = 1101{,}101_2.$
Пример 8. Преобразувайте $0{,}1$ в двоична система.
| Умножение | Произведение | Цифра |
|---|---|---|
| $0{,}1\cdot 2$ | $0{,}2$ | $0$ |
| $0{,}2\cdot 2$ | $0{,}4$ | $0$ |
| $0{,}4\cdot 2$ | $0{,}8$ | $0$ |
| $0{,}8\cdot 2$ | $1{,}6$ | $1$ |
| $0{,}6\cdot 2$ | $1{,}2$ | $1$ |
Дробната част $0{,}2$ вече се е появявала (във втория ред), затова оттам нататък цифрите $0011$ се повтарят безкрайно:
${0{,}1}={0{,}0001100110011\ldots_2}={0{,}0(0011)_2.}$
Цифрите в скобите образуват периода на дробта: те се повтарят безкрайно. Компютърът пази само определен брой битове, затова съхранява $0{,}1$ само приблизително. Ето защо в много езици за програмиране 0.1 + 0.2 дава 0.30000000000000004, а не точно 0.3.
Дали записът на една дроб е краен, зависи от основата. Несъкратимата дроб има краен запис в система с основа $b$ (краен брой цифри след запетаята) точно тогава, когато всеки прост делител на знаменателя ѝ е делител на $b.$ В система с основа $10 = 2\cdot 5$ дробите $\frac{1}{2},$ $\frac{1}{4},$ $\frac{1}{5},$ $\frac{1}{8}$ имат краен запис, а $\frac{1}{3} = 0{,}(3)$ – не. В система с основа $3$ е обратното: $\frac{1}{3} = 0{,}1_3.$ В система с основа $7$ дори $\frac{1}{7} = 0{,}1_7,$ докато в десетичната $\frac{1}{7} = 0{,}(142857).$ В двоичната система краен запис имат само дробите, чийто знаменател след съкращаване е степен на $2.$
Периодичната дроб може да се превърне обратно в обикновена: умножете я по $b^k,$ където $k$ е броят на цифрите в периода, и извадете от резултата първоначалното число. Нека ${x}={0{,}(01)_2}={0{,}010101\ldots_2.}$ Умножението по $2^2 = 100_2$ премества запетаята с два знака надясно: ${4x}={1{,}010101\ldots_2}={1 + x.}$ Значи $3x = 1$ и $x = \frac{1}{3}.$
Двоична аритметика
Във всяка бройна система писменото събиране, изваждане, умножение и деление се извършват по същия начин, както в десетичната; различни са само таблицата за събиране и таблицата за умножение. В двоичната система те са съвсем малки.
Събиране
$0 + 0 = 0,$ $0 + 1 = 1 + 0 = 1$ и $1 + 1 = 10_2\text{:}$ пишем $0$ и пренасяме $1$ („едно наум“). Ако има и пренос, $1 + 1 + 1 = 11_2\text{:}$ пишем $1$ и пренасяме $1.$
Пример 9. Пресметнете $1011_2 + 110_2.$ Преносите са написани с червено над колоните.
$$\begin{array}{cr} & \textcolor{#c0392b}{111}\phantom{00} \\ & 1011 \\ + & 110 \\ \hline & 10001 \end{array}$$Отдясно наляво: $1 + 0 = 1;$ $1 + 1 = 10_2,$ пишем $0$ и пренасяме $1;$ $0 + 1 + 1 = 10_2,$ пишем $0$ и пренасяме $1;$ $1 + 1 = 10_2,$ пишем $0$ и пренасяме $1$ в нов разред. В десетична система това е $11 + 6 = 17,$ и наистина $10001_2 = 16 + 1 = 17.$
Изваждане
$0 - 0 = 0,$ $1 - 0 = 1$ и $1 - 1 = 0.$ За $0 - 1$ заемаме $1$ от следващия разред вляво. В по-ниския разред заетата единица е равна на две единици, затова в колоната се получава $10_2 - 1 = 1.$ Ако в следващия разред стои $0,$ заемаме от най-близката единица вляво; нулите между тях стават $1,$ точно както $1000 - 1 = 999$ в десетичната система.
Пример 10. Пресметнете $1101_2 - 110_2.$
$$\begin{array}{cr} & 1101 \\ - & 110 \\ \hline & 111 \end{array}$$Отдясно наляво: $1 - 0 = 1.$ После за $0 - 1$ заемаме от третия разред: $10_2 - 1 = 1,$ а в третия разред остава $0.$ Сега в третата колона е $0 - 1$ и заемаме от четвъртия разред: $10_2 - 1 = 1.$ В четвъртия разред остава $0.$ Отговорът е $111_2,$ а в десетична система това е $13 - 6 = 7.$
Умножение
Двоичната таблица за умножение е $0\cdot 0 = 0\cdot 1 = 1\cdot 0 = 0$ и $1\cdot 1 = 1.$ Затова при писменото умножение всеки ред (частично произведение) е или ред от нули, или самото първо число, изместено наляво, и остава само да съберем редовете. Умножението по $2 = 10_2$ добавя нула в края, точно както умножението по $10$ в десетичната система.
Пример 11. Пресметнете $101_2\cdot 11_2,$ тоест $5\cdot 3.$
$$\begin{array}{cr} & 101 \\ \times & 11 \\ \hline & 101 \\ & 101\phantom{0} \\ \hline & 1111 \end{array}$$Отговорът е ${1111_2}={8 + 4 + 2 + 1}={15.}$
Пример 12. Пресметнете $37\cdot 27$ в двоична система. Първо $37 = 100101_2$ и $27 = 11011_2.$ Цифрите на второто число отдясно наляво са $1,$ $1,$ $0,$ $1,$ $1,$ затова редовете са числото $100101,$ изместено с $0,$ $1,$ $3$ и $4$ разреда, и ред от нули за цифрата $0\text{:}$
$$\begin{array}{cr} & 100101 \\ \times & 11011 \\ \hline & 100101 \\ & 100101\phantom{0} \\ & 000000\phantom{00} \\ & 100101\phantom{000} \\ & 100101\phantom{0000} \\ \hline & 1111100111 \end{array}$$Произведението е ${1111100111_2}={512 + 256 + 128}+{64 + 32 + 4 + 2 + 1}={999,}$ и наистина $37\cdot 27 = 999.$ Така се смята дълго, но умножителят в процесора на компютъра работи по подобен начин: образува изместените редове и ги събира, милиарди пъти в секунда.
Деление
Писменото деление в двоичната система е по-просто, отколкото в десетичната. На всяка стъпка делителят или се побира в свалената досега част от делимото и тогава следващата цифра на частното е $1,$ или не се побира и тогава цифрата е $0.$ Така делението се свежда до последователно изваждане.
Пример 13. Пресметнете $1111_2 : 101_2,$ тоест $15 : 5.$
$$\begin{array}{cr} & 1111 \\ - & 101\phantom{0} \\ \hline & 101 \\ - & 101 \\ \hline & 0 \end{array}$$Делителят $101$ не се побира нито в $1,$ нито в $11,$ но се побира в $111\text{:}$ първата цифра на частното е $1$ и $111 - 101 = 10.$ Сваляме последната цифра: $101.$ Делителят пак се побира и остатъкът е $0.$ Значи $1111_2 : 101_2 = 11_2,$ тоест $15 : 5 = 3.$
Пример 14. Пресметнете $4773 : 37,$ тоест ${1001010100101_2 : 100101_2.}$
$$\begin{array}{cr} & 1001010100101 \\ - & 100101\phantom{0000000} \\ \hline & 100101 \\ - & 100101 \\ \hline & 0 \end{array}$$Първите шест цифри на делимото образуват точно делителя, затова първата цифра на частното е $1,$ а остатъкът е $0.$ Докато сваляме следващите шест цифри, получаваме числа, по-малки от делителя, и в частното се появяват шест нули. Когато свалим последната цифра, отново имаме $100101\text{:}$ последната цифра на частното е $1$ и остатъкът е $0.$ Значи ${1001010100101_2 : 100101_2}={10000001_2,}$ а ${10000001_2}={128 + 1}={129;}$ наистина $37\cdot 129 = 4773.$
Осмична и шестнадесетична система
Дългите двоични числа се четат трудно и лесно се записват грешно. Тъй като $8 = 2^3$ и $16 = 2^4,$ всяка осмична цифра отговаря на точно три бита, а всяка шестнадесетична – на точно четири бита:
| Цифра | Битове | Цифра | Битове |
|---|---|---|---|
| $0$ | $0000$ | $8$ | $1000$ |
| $1$ | $0001$ | $9$ | $1001$ |
| $2$ | $0010$ | $\mathrm{A}$ | $1010$ |
| $3$ | $0011$ | $\mathrm{B}$ | $1011$ |
| $4$ | $0100$ | $\mathrm{C}$ | $1100$ |
| $5$ | $0101$ | $\mathrm{D}$ | $1101$ |
| $6$ | $0110$ | $\mathrm{E}$ | $1110$ |
| $7$ | $0111$ | $\mathrm{F}$ | $1111$ |
За осмичните цифри от $0$ до $7$ използвайте същата таблица, но вземайте само последните три бита: $5 = 101_2,$ $7 = 111_2.$ За да преобразувате двоично число в шестнадесетична система, разделете битовете му на групи по четири отдясно наляво, добавете нули отляво, ако най-лявата група е непълна, и заменете всяка група със съответната цифра. За осмична система използвайте групи по три. При обратното преобразуване записвайте всяка цифра с четири бита (осмичната – с три).
Пример 15. Преобразувайте $10110110_2$ в шестнадесетична и в осмична система.
${10110110_2}={1011\ 0110_2}={\mathrm{B6}_{16},}$
${10110110_2}={010\ 110\ 110_2}={266_8.}$
Проверка: ${\mathrm{B6}_{16}}={11\cdot 16 + 6}={182}$ и ${266_8}={2\cdot 64 + 6\cdot 8 + 6}={182.}$
Пример 16. Запишете $\mathrm{3F}_{16}$ и $\mathrm{7E9}_{16}$ в двоична система, а $753_8$ – в шестнадесетична.
${\mathrm{3F}_{16}}={0011\ 1111_2}={111111_2,}$
${\mathrm{7E9}_{16}}={0111\ 1110\ 1001_2}={11111101001_2.}$
Между осмичната и шестнадесетичната система се минава през двоичната: $753_8 = 111\ 101\ 011_2,$ а в групи по четири отдясно наляво това е $1\ 1110\ 1011_2 = \mathrm{1EB}_{16}.$ И двете числа са равни на $491.$
Затова програмистите обичат шестнадесетичната система: две шестнадесетични цифри са точно един байт, осем бита. Цветът в уеб страниците често се записва с три байта – по един за червената, зелената и синята съставка. Например #FF8800 означава червена съставка $\mathrm{FF}_{16} = 255,$ зелена $88_{16} = 136$ и синя $0,$ тоест нюанс на оранжевото.
Основи 12 и 60
Дванадесетичната бройна система
Броенето по дванадесет, дванадесетичната бройна система, е оставило следи в дузината ($12$) и в „дузината дузини“ ($12^2 = 144$), в дванадесетте месеца на годината и в дванадесетте часа на циферблата. Предимството ѝ е, че $12$ има повече делители от $10\text{:}$ $2,$ $3,$ $4$ и $6,$ а $10$ има само $2$ и $5.$ Затова половините, третините, четвъртините и шестините се записват кратко в система с основа $12\text{:}$ $\frac{1}{2} = 0{,}6_{12},$ $\frac{1}{3} = 0{,}4_{12},$ $\frac{1}{4} = 0{,}3_{12},$ $\frac{1}{6} = 0{,}2_{12},$ докато в десетичната $\frac{1}{3} = 0{,}(3)$ е безкрайна периодична дроб. Двете допълнителни цифри за десет и единадесет тук се записват с $\mathrm{A}$ и $\mathrm{B};$ в някои книги се използват други знаци, например t и e (от английските ten и eleven).
Пример 17. Преобразувайте $143\,131$ в дванадесетична система и обратно.
| Деление | Частно | Остатък |
|---|---|---|
| $143\,131 : 12$ | $11\,927$ | $7$ |
| $11\,927 : 12$ | $993$ | $11 = \mathrm{B}$ |
| $993 : 12$ | $82$ | $9$ |
| $82 : 12$ | $6$ | $10 = \mathrm{A}$ |
| $6 : 12$ | $0$ | $6$ |
И така, $143\,131 = \mathrm{6A9B7}_{12}.$ Обратно: ${\mathrm{6A9B7}_{12}}={6\cdot 12^4 + 10\cdot 12^3}+{9\cdot 12^2 + 11\cdot 12 + 7}={124\,416 + 17\,280}+{1296 + 132 + 7}={143\,131.}$
Шестдесетичната бройна система
Вавилонците са броели в система с основа $60,$ и ние все още я използваме при измерването на времето и на ъглите. Тук всяка „цифра“ е число от $0$ до $59,$ записано в десетична система. Времето $2$ ч $15$ мин $30$ с е число в шестдесетична система с цифри $2,$ $15$ и $30\text{:}$ то е равно на ${2\cdot 60^2 + 15\cdot 60 + 30}={8130}$ секунди. В обратната посока делим на $60\text{:}$ $10\,000 = 60\cdot 166 + 40$ и $166 = 60\cdot 2 + 46,$ затова $10\,000$ секунди са $2$ ч $46$ мин $40$ с. Ъглите се измерват по същия начин: $12^\circ 30' = 12{,}5^\circ,$ тъй като $30' = \frac{30}{60}$ от градуса.
Битове, байтове и двоично-десетичен код
Група от $8$ бита се нарича байт. С $n$ бита могат да се запишат $2^n$ различни числа, от $0$ до $2^n-1.$ В един байт се побират числата от $0$ до $255,$ в два байта – от $0$ до $65\,535,$ а $32$ бита дават $2^{32} = 4\,294\,967\,296$ различни стойности, малко над четири милиарда.
Много джобни калкулатори, електронни часовници и измервателни уреди пазят всяка десетична цифра в отделна група от четири бита. Това се нарича двоично-десетичен код (BCD, от английското binary-coded decimal). Например $1546$ в двоично-десетичен код е $0001\ 0101\ 0100\ 0110,$ по една група за всяка от цифрите $1,$ $5,$ $4$ и $6,$ докато в чисто двоичен запис $1546 = 11000001010_2.$ Двоично-десетичният код изисква повече битове, тук $16$ вместо $11,$ но всяка цифра, въведена от клавиатурата, се съхранява такава, каквато е, числото лесно се показва на дисплея цифра по цифра, а десетична дроб като $0{,}1$ се съхранява точно.
Задачи за упражнение
Решете задачите и после ги отворете, за да видите отговорите. Можете да проверите решенията си с калкулатора в началото на страницата.
1. Преобразувайте $10110_2$ в десетична система.
${10110_2}={16 + 4 + 2}={22.}$ Отговор: $22.$
2. Преобразувайте $1111111_2$ в десетична система.
Седем единици: ${1 + 2 + 4 + 8}+{16 + 32 + 64}={127,}$ или по-бързо: ${1111111_2}={2^7 - 1}={127.}$ Отговор: $127.$
3. Преобразувайте $45$ в двоична система.
${45}={32 + 8 + 4 + 1}={2^5 + 2^3 + 2^2 + 2^0.}$ Отговор: $101101_2.$
4. Преобразувайте $200$ в двоична система.
$200 = 128 + 64 + 8.$ Отговор: $11001000_2.$
5. Преобразувайте $777_8$ и $\mathrm{1A3}_{16}$ в десетична система.
${777_8}={7\cdot 64 + 7\cdot 8 + 7}={511}={8^3 - 1}$ и ${\mathrm{1A3}_{16}}={256 + 10\cdot 16 + 3}={419.}$ Отговор: $511$ и $419.$
6. Преобразувайте $100$ в троична система.
$100 = 3\cdot 33 + 1,$ $33 = 3\cdot 11 + 0,$ $11 = 3\cdot 3 + 2,$ $3 = 3\cdot 1 + 0,$ $1 = 3\cdot 0 + 1.$ Като прочетем остатъците отдолу нагоре, получаваме $10201_3.$ Проверка: $81 + 2\cdot 9 + 1 = 100.$ Отговор: $10201_3.$
7. Преобразувайте $2000$ в шестнадесетична система.
$2000 = 16\cdot 125 + 0,$ $125 = 16\cdot 7 + 13$ и $7 = 16\cdot 0 + 7,$ като $13 = \mathrm{D}.$ Остатъците отдолу нагоре: $7,$ $\mathrm{D},$ $0.$ Проверка: ${7\cdot 256 + 13\cdot 16}={1792 + 208}={2000.}$ Отговор: $\mathrm{7D0}_{16}.$
8. Преобразувайте $11010111_2$ в осмична и в шестнадесетична система.
$011\ 010\ 111_2 = 327_8$ и $1101\ 0111_2 = \mathrm{D7}_{16};$ и двете числа са равни на $215.$ Отговор: $327_8$ и $\mathrm{D7}_{16}.$
9. Преобразувайте $\mathrm{3B}_{16}$ и $57_8$ в двоична система.
$\mathrm{3B}_{16} = 0011\ 1011_2$ и $57_8 = 101\ 111_2.$ Отговор: $111011_2$ и $101111_2.$
10. Пресметнете $1011_2 + 1101_2.$
Отдясно наляво: $1 + 1 = 10_2,$ пишем $0$ и пренасяме $1;$ $1 + 0 + 1 = 10_2,$ пишем $0$ и пренасяме $1;$ $0 + 1 + 1 = 10_2,$ пишем $0$ и пренасяме $1;$ $1 + 1 + 1 = 11_2,$ пишем $1$ и пренасяме $1.$ Проверка: $11 + 13 = 24 = 16 + 8.$ Отговор: $11000_2.$
11. Пресметнете $10010_2 - 1011_2.$
Отдясно наляво: за $0 - 1$ заемаме от втория разред: $10_2 - 1 = 1.$ Сега във втората колона е $0 - 1,$ а в третия и в четвъртия разред има нули, затова заемаме от петия: в него остава $0,$ четвъртият и третият разред стават $1,$ а във втората колона се получава $10_2 - 1 = 1.$ После $1 - 0 = 1,$ $1 - 1 = 0,$ $0 - 0 = 0.$ Проверка: $18 - 11 = 7.$ Отговор: $111_2.$
12. Пресметнете $1111_2\cdot 111111_2$ и проверете резултата в десетична система.
Редовете са числото $111111_2,$ изместено с $0,$ $1,$ $2$ и $3$ разреда. Събираме ги последователно: ${111111_2 + 1111110_2}={10111101_2,}$ ${10111101_2}+{11111100_2}={110111001_2,}$ ${110111001_2}+{111111000_2}={1110110001_2.}$ Проверка: $1111_2 = 15,$ $111111_2 = 63$ и ${15\cdot 63}={945}={512 + 256 + 128}+{32 + 16 + 1.}$ Отговор: $1110110001_2.$
13. Пресметнете $11110000010_2 : 11111_2$ и проверете резултата в десетична система.
$11110000010_2 = 1922,$ $11111_2 = 31$ и ${1922 : 31}={62}={32 + 16 + 8 + 4 + 2.}$ Отговор: $111110_2.$
14. Преобразувайте $0{,}375$ и $0{,}8$ в двоична система.
$0{,}375\cdot 2 = 0{,}75,$ $0{,}75\cdot 2 = 1{,}5,$ $0{,}5\cdot 2 = 1,$ затова $0{,}375 = 0{,}011_2.$ За $0{,}8\text{:}$ $0{,}8\cdot 2 = 1{,}6,$ $0{,}6\cdot 2 = 1{,}2,$ $0{,}2\cdot 2 = 0{,}4,$ $0{,}4\cdot 2 = 0{,}8,$ и $0{,}8$ се появява отново. Отговор: $0{,}011_2$ и $0{,}(1100)_2.$
15. На кои дроби са равни $0{,}(1)_2$ и $0{,}(011)_2?$
За $x = 0{,}(1)_2\text{:}$ $2x = 1{,}(1)_2 = 1 + x,$ значи $x = 1,$ точно както $0{,}(9) = 1$ в десетичната система. За $y = 0{,}(011)_2\text{:}$ $8y = 11{,}(011)_2 = 3 + y,$ значи $7y = 3.$ Отговор: $1$ и $\frac{3}{7}.$
16. В коя бройна система е вярно равенството $13 + 5 = 20?$
В система с основа $b$ това означава $(b + 3) + 5 = 2b,$ откъдето $b = 8.$ Проверка: $13_8 = 11,$ $11 + 5 = 16 = 20_8.$ Отговор: в осмичната система.
17. Колко различни числа могат да се запишат с $10$ бита и кое е най-голямото от тях?
Всеки бит е $0$ или $1,$ затова числата са $2^{10} = 1024,$ от $0$ до $1111111111_2 = 2^{10} - 1.$ Отговор: $1024$ числа, най-голямото е $1023.$
Вижте също: римски цифри · степени · делимост
