Как се чертае графиката на квадратна функция (парабола)

Квадратна функция се нарича функция от вида ${f(x)=ax^2+bx+c},$ където $a,$ $b$ и $c$ са числа и ${a\ne0}.$ Графиката ѝ е крива, която се нарича парабола. В този урок ще научите как бързо и точно да чертаете тази графика: как да определите накъде са насочени клоните на параболата, къде е върхът ѝ, къде тя пресича координатните оси и кои точки да включите в таблицата на стойностите. Следват решени примери с графики и задачи за упражнение с отговори.

На тази страница: Параболата · Коефициентът a · Връх и ос на симетрия · Пресечни точки с осите · Стъпки за чертане · Решени примери · Запис чрез върха · Свойства · Уравнение по графиката · Фокус и директриса · Задачи

Квадратна функция – парабола

Графиката на функцията $f$ е множеството от всички точки ${(x;\ f(x))}$ на координатната равнина: за всяко $x$ отмерваме $x$ единици по оста $Ox$ и $f(x)$ единици по оста $Oy$ (вижте Координатни системи и графики на функции). Например, ако ${f(x)=3x-1},$ то ${f(2)=3\cdot2-1=5},$ затова точката $(2;\ 5)$ лежи на графиката на $f.$

Най-простата квадратна функция е ${f(x)=x^2}.$ Да съставим таблица на стойностите ѝ:

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$x^2$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$

Нанасяме седемте точки и ги свързваме с плавна крива (а не с отсечки):

На този чертеж се виждат основните свойства на всяка парабола:

• Графиката има най-ниска точка, $(0;\ 0).$ Тя се нарича връх на параболата.
• Графиката е симетрична относно оста $Oy\text{:}$ $x$ и $-x$ дават една и съща стойност, например ${f(-2)=f(2)=4}.$ Правата, относно която параболата е симетрична, се нарича нейна ос на симетрия.
• Колкото по-далеч сме от върха, толкова по-бързо се издига графиката: от ${x=0}$ до ${x=1}$ стойността нараства с 1, а от ${x=2}$ до ${x=3}$ нараства с 5.

Коефициентът a: посока на клоните и ширина

Сега да сравним ${y=x^2}$ с ${y=ax^2}$ при други стойности на $a.$ Всяка стойност на $x^2$ се умножава по $a\text{:}$

${y=x^2}$ (черна), ${\textcolor{#c0392b}{y=2x^2}}$ (червена), ${\textcolor{#2b7a2b}{y=\frac{1}{2}x^2}}$ (зелена) и ${\textcolor{#1b64a8}{y=-x^2}}$ (синя).

Числата $b$ и $c$ не променят формата на параболата. Както ще видим по-долу, графиката на ${y=ax^2+bx+c}$ е параболата ${y=ax^2},$ преместена на друго място.

Връх и ос на симетрия на параболата

За да намерим върха, допълваме до точен квадрат. В скобите прибавяме $\frac{b^2}{4a^2},$ а извън тях изваждаме ${a\cdot\frac{b^2}{4a^2}=\frac{b^2}{4a}}\text{:}$

${ax^2+bx+c}={a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c}$

$={a\left(x^2+2\cdot\frac{b}{2a}\cdot x+\frac{b^2}{4a^2}\right)}-{\frac{b^2}{4a}+c}$

$={a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}.}$

Като използваме дискриминантата ${D=b^2-4ac}$ (означава се и с $\Delta$), получаваме записа чрез върха на квадратната функция:

$$f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{D}{4a}.$$

Квадратът ${\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2}$ никога не е отрицателен и е равен на $0$ само при ${x=-\frac{b}{2a}}.$ Затова:

• ако ${a\gt0},$ най-малката стойност на $f$ е ${-\frac{D}{4a}}$ и $f$ я приема при ${x=-\frac{b}{2a}};$
• ако ${a\lt0},$ най-голямата стойност на $f$ е ${-\frac{D}{4a}}$ и $f$ я приема при ${x=-\frac{b}{2a}}.$

На практика ординатата на върха често се намира по-лесно чрез заместване: ${y_V=f(x_V)},$ където ${x_V=-\frac{b}{2a}}.$ И двата начина дават едно и също число.

При ${a\gt0}$ върхът е най-ниската точка (минимум), а при ${a\lt0}$ е най-високата точка (максимум).

Защо правата ${x=-\frac{b}{2a}}$ е ос на симетрия? От записа чрез върха се вижда, че $f(x)$ зависи само от разстоянието от $x$ до ${-\frac{b}{2a}}.$ Две числа, които са на едно и също разстояние вляво и вдясно от ${-\frac{b}{2a}},$ дават една и съща стойност на $f,$ затова точките на графиката образуват двойки, симетрични относно тази права. Ето защо, когато съставяме таблица на стойностите, избираме стойности на $x,$ симетрични относно ${-\frac{b}{2a}}\text{:}$ всяка пресметната стойност ни дава две точки от графиката.

Пресечни точки с координатните оси

Общите точки на графиката с координатните оси са най-важните точки за чертането ѝ.

I. Оста $Oy.$ Всяка точка от оста $Oy$ има абсциса $0.$ Затова графиката пресича оста $Oy$ в точката ${(0;\ f(0))},$ а за квадратна функция ${f(0)}={a\cdot0^2+b\cdot0+c}={c\text{:}}$

Параболата ${y=ax^2+bx+c}$ пресича оста $Oy$ в точката ${(0;\ c)}.$

Точката, симетрична на ${(0;\ c)}$ относно оста ${x=-\frac{b}{2a}},$ е ${\left(-\frac{b}{a};\ c\right)}$ и тя също лежи на графиката. Проверка: ${f\left(-\frac{b}{a}\right)=\frac{b^2}{a}-\frac{b^2}{a}+c=c}.$

II. Оста $Ox.$ Всяка точка от оста $Ox$ има ордината $0.$ Затова общите точки на графиката с оста $Ox$ са точките ${(x;\ 0)},$ за които ${f(x)=0}\text{:}$

За да намерите общите точки на параболата с оста $Ox,$ решете квадратното уравнение ${ax^2+bx+c=0}.$

Броят на решенията зависи от знака на дискриминантата ${D=b^2-4ac}$ (вижте Квадратно уравнение):

• ${D\gt0}\text{:}$ два различни корена ${x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}};$ по-малкия означаваме с $x_1,$ а по-големия с $x_2.$ Параболата пресича оста $Ox$ в две точки, ${(x_1;\ 0)}$ и ${(x_2;\ 0)}.$
• ${D=0}\text{:}$ един двоен корен ${x_1=x_2=-\frac{b}{2a}}.$ Параболата допира оста $Ox$ във върха си.
• ${D\lt0}\text{:}$ няма реални корени. Параболата няма общи точки с оста $Ox\text{:}$ тя е изцяло над нея (ако ${a\gt0}$) или изцяло под нея (ако ${a\lt0}$).

Шестте възможни положения на параболата спрямо оста $Ox.$

Стъпки за чертане на графиката на квадратна функция

За да начертаем графиката на ${f(x)=ax^2+bx+c}\text{:}$

1. Посока на клоните. Гледаме знака на $a\text{:}$ при ${a\gt0}$ клоните на параболата са насочени нагоре, а при ${a\lt0}$ са насочени надолу.
2. Връх. Пресмятаме ${x_V=-\frac{b}{2a}}$ и ${y_V=f(x_V)}$ (или ${y_V=-\frac{D}{4a}}$). Чертаем с пунктир оста на симетрия ${x=x_V}.$
3. Пресечна точка с оста $Oy.$ Нанасяме ${(0;\ c)}$ и симетричната ѝ точка ${\left(-\frac{b}{a};\ c\right)}.$
4. Пресечни точки с оста $Ox.$ Решаваме уравнението ${f(x)=0}.$ Ако ${D\lt0},$ такива точки няма, а ако ${D=0},$ такава точка е само върхът. И в двата случая избираме още една или две двойки стойности на $x,$ симетрични относно $x_V,$ и пресмятаме $f$ за тях.
5. Таблица на стойностите. Записваме всички тези точки в таблица, подредени по нарастване на $x.$
6. Чертеж. Нанасяме точките и ги свързваме с плавна крива. Кривата е симетрична относно оста на симетрия, закръглена във върха (без остър ъгъл) и продължава и след крайните точки.

Когато ${D\gt0},$ таблицата обикновено има следните пет колони:

$x$	$x_1$	$0$	$-\frac{b}{2a}$	$-\frac{b}{a}$	$x_2$
$f(x)$	$0$	$c$	$-\frac{D}{4a}$	$c$	$0$

Колоните трябва да са подредени по нарастване на $x,$ а този ред зависи от функцията: например, ако ${-\frac{b}{2a}\lt0},$ симетричната точка ${-\frac{b}{a}}$ е вляво от $0.$ Ако ${b=0},$ самият връх е ${(0;\ c)};$ ако ${c=0},$ координатното начало е една от пресечните точки с оста $Ox.$ В такива случаи вземаме още една двойка стойности на $x,$ симетрични относно $x_V.$

Решени примери

Пример 1. Начертайте графиката на ${f(x)=x^2-2x-3}.$

1) ${a=1\gt0},$ затова клоните на параболата са насочени нагоре.

2) ${x_V=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2\cdot1}=1}$ и ${y_V}={f(1)}={1-2-3}={-4.}$ Върхът е ${V(1;\ -4)},$ а оста на симетрия е правата ${x=1}.$ (По формулата: ${D}={(-2)^2-4\cdot1\cdot(-3)}={16}$ и ${-\frac{D}{4a}=-\frac{16}{4}=-4}.$)

3) ${f(0)=-3}$ дава точката ${(0;\ -3)}.$ Числото, симетрично на $0$ относно $1,$ е $2,$ затова и ${(2;\ -3)}$ е точка от графиката.

4) ${x^2-2x-3=0}\text{:}$ ${x_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{2\pm4}{2}},$ т.е. ${x_1=-1}$ и ${x_2=3}.$ Точките са ${(-1;\ 0)}$ и ${(3;\ 0)}.$

5) За да се вижда по-добре формата, добавяме симетричната двойка ${x=-2}$ и ${x=4}\text{:}$ ${f(-2)=f(4)=5}.$

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f(x)$	$5$	$0$	$-3$	$-4$	$-3$	$0$	$5$

Пример 2. Начертайте графиката на ${f(x)=-x^2-2x+8}.$

1) ${a=-1\lt0},$ затова клоните на параболата са насочени надолу.

2) ${x_V=-\frac{-2}{2\cdot(-1)}=-1}$ и ${y_V}={f(-1)}={-1+2+8}={9.}$ Върхът е ${V(-1;\ 9)},$ а оста на симетрия е ${x=-1}.$ (И по формулата: ${D}={(-2)^2-4\cdot(-1)\cdot8}={36}$ и ${-\frac{D}{4a}=-\frac{36}{-4}=9}.$)

3) ${f(0)=8}\text{:}$ точката ${(0;\ 8)}.$ Числото, симетрично на $0$ относно $-1,$ е $-2,$ затова и ${f(-2)=8}.$

4) Уравнението ${-x^2-2x+8=0}$ е равносилно на ${x^2+2x-8=0},$ затова ${x_1=-4}$ и ${x_2=2}.$

$x$	$-4$	$-2$	$-1$	$0$	$2$
$f(x)$	$0$	$8$	$9$	$8$	$0$

Пример 3. Начертайте графиката на ${f(x)=x^2-4x+4}.$

1) ${a=1\gt0}\text{:}$ клоните на параболата са насочени нагоре.

2) ${x_V=-\frac{-4}{2\cdot1}=2}$ и ${y_V=4-8+4=0}.$ Върхът е ${V(2;\ 0)}$ и лежи на оста $Ox.$

3) ${f(0)=4},$ а числото, симетрично на $0$ относно $2,$ е $4\text{:}$ точките ${(0;\ 4)}$ и ${(4;\ 4)}.$

4) ${{D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=0}\text{:}}$ уравнението ${x^2-4x+4=0}$ има двоен корен ${x_1=x_2=2},$ затова параболата допира оста $Ox$ във върха си. Наистина ${x^2-4x+4=(x-2)^2}.$ Добавяме още две симетрични двойки: ${f(1)=f(3)=1}$ и ${f(-1)=f(5)=9}.$

$x$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$f(x)$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$

Пример 4. Начертайте графиката на ${f(x)=-x^2+4x-5}.$

1) ${a=-1\lt0}\text{:}$ клоните на параболата са насочени надолу.

2) ${x_V=-\frac{4}{2\cdot(-1)}=2}$ и ${y_V=-4+8-5=-1}.$ Върхът е ${V(2;\ -1)}.$

3) ${f(0)=-5},$ а числото, симетрично на $0$ относно $2,$ е $4\text{:}$ точките ${(0;\ -5)}$ и ${(4;\ -5)}.$

4) ${D}={4^2-4\cdot(-1)\cdot(-5)}={16-20}={-4}\lt{0\text{:}}$ уравнението ${-x^2+4x-5=0}$ няма реални корени и параболата няма общи точки с оста $Ox.$ Клоните ѝ са насочени надолу, а върхът ${(2;\ -1)}$ е най-високата ѝ точка, затова тя е изцяло под оста $Ox.$ Избираме още стойности, симетрични относно $2\text{:}$ ${f(1)=f(3)=-2}$ и ${f(-1)=f(5)=-10}.$

$x$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$f(x)$	$-10$	$-5$	$-2$	$-1$	$-2$	$-5$	$-10$

Пример 5. Начертайте графиката на ${f(x)=2x^2-6x+3}.$ Тук върхът и корените не са цели числа.

1) ${a=2\gt0}\text{:}$ клоните на параболата са насочени нагоре, а самата парабола е по-тясна от ${y=x^2}.$

2) ${x_V=-\frac{-6}{2\cdot2}=\frac{3}{2}}$ и ${y_V}={2\cdot\frac{9}{4}-6\cdot\frac{3}{2}+3}={\frac{9}{2}-9+3}={-\frac{3}{2}.}$ Върхът е ${V\left(\frac{3}{2};\ -\frac{3}{2}\right)},$ т.е. ${(1{,}5;\ -1{,}5)}.$

3) ${f(0)=3};$ числото, симетрично на $0,$ е ${-\frac{b}{a}=3},$ затова ${f(3)=3}.$

4) ${D=36-24=12}$ и ${x_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{12}}{4}=\frac{3\pm\sqrt{3}}{2}}.$ За да нанесем тези точки, закръгляме корените: ${x_1\approx0{,}63}$ и ${x_2\approx2{,}37}.$

5) Още една симетрична двойка: ${f(1)=f(2)=-1}.$

$x$	$0$	$\approx0{,}63$	$1$	$1{,}5$	$2$	$\approx2{,}37$	$3$
$f(x)$	$3$	$0$	$-1$	$-1{,}5$	$-1$	$0$	$3$

Ако дефиниционната област на функцията не е множеството на всички реални числа, а някакъв интервал, чертаем само частта от параболата, за която $x$ е от този интервал. Краищата на интервала трябва да са в таблицата.

Пример 6. Начертайте графиката на ${f(x)=x^2-2x-3}$ при ${x\ge0},$ т.е. ${f\colon[0;\ +\infty)\to\mathbb{R}}.$

Това е функцията от Пример 1: върхът е ${V(1;\ -4)},$ ${f(0)=-3}$ и ${f(2)=-3}.$ От корените $-1$ и $3$ само ${x=3}$ е от дефиниционната област, защото ${-1\lt0}.$ Краят ${x=0}$ принадлежи на дефиниционната област, затова точката ${(0;\ -3)}$ се отбелязва със запълнено кръгче.

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f(x)$	$-3$	$-4$	$-3$	$0$	$5$

Графиката е частта от параболата, начертана с плътна линия. Частта, начертана с пунктир (при ${x\lt0}$), не принадлежи на графиката.

Как се променя параболата при различни $a,$ $b$ и $c,$ можете да видите в „Програма за графики и изследване на функции“: когато местите плъзгачите, върхът, пресечните точки с осите и таблицата на стойностите се обновяват веднага.

Графиката при запис чрез върха

Да означим координатите на върха с ${h=-\frac{b}{2a}}$ и ${k=-\frac{D}{4a}}.$ Тогава записът чрез върха на квадратната функция придобива вида

$$y=a(x-h)^2+k.$$

Пример 7. Начертайте графиката на ${y=x^2+2x-3},$ като преместите графиката на ${y=x^2}.$

Допълваме до точен квадрат: ${x^2+2x-3}={(x^2+2x+1)-1-3}={(x+1)^2-4.}$ Значи ${h=-1}$ и ${k=-4}\text{:}$ графиката е параболата ${y=x^2},$ преместена с $1$ единица наляво и с $4$ единици надолу, а върхът ѝ е ${(-1;\ -4)}.$ Пресечните точки с оста $Ox$ намираме от ${(x+1)^2=4},$ т.е. ${x+1=\pm2}\text{:}$ ${x=-3}$ и ${x=1}.$ Пресечната точка с оста $Oy$ е ${(0;\ -3)}.$

Ако ${D\ge0},$ квадратната функция може да се запише и в разложен вид ${y=a(x-x_1)(x-x_2)}.$ Тогава корените $x_1$ и $x_2$ се виждат веднага, а оста на симетрия е точно по средата между тях: ${x_V=\frac{x_1+x_2}{2}}.$ Например параболата ${y=-(x-1)(x+3)}$ пресича оста $Ox$ в точките с абсциси $1$ и $-3,$ затова ${x_V=\frac{1+(-3)}{2}=-1}$ и ${y_V}={-(-1-1)(-1+3)}={4.}$ Върхът ѝ е ${(-1;\ 4)}.$ Трите вида запис са сравнени в таблицата Три вида запис на квадратната функция.

Свойства на квадратната функция

По графиката веднага се виждат основните свойства на ${f(x)=ax^2+bx+c}.$ По-долу ${x_V=-\frac{b}{2a}}$ и ${y_V=-\frac{D}{4a}}$ са координатите на върха, а ${x_1\lt x_2}$ са корените при ${D\gt0}.$

Свойство	${a\gt0}$	${a\lt0}$
Дефиниционна област	всички реални числа	всички реални числа
Множество от стойности	${[y_V;\ +\infty)}$	${(-\infty;\ y_V]}$
Най-малка и най-голяма стойност	най-малка стойност $y_V$ при ${x=x_V},$ най-голяма няма	най-голяма стойност $y_V$ при ${x=x_V},$ най-малка няма
Растене и намаляване	намалява в ${(-\infty;\ x_V]},$ расте в ${[x_V;\ +\infty)}$	расте в ${(-\infty;\ x_V]},$ намалява в ${[x_V;\ +\infty)}$
Знак при ${D\gt0}$	${f(x)\lt0}$ между корените, ${f(x)\gt0}$ при ${x\lt x_1}$ и при ${x\gt x_2}$	${f(x)\gt0}$ между корените, ${f(x)\lt0}$ при ${x\lt x_1}$ и при ${x\gt x_2}$
Знак при ${D=0}$	${f(x)\gt0}$ за всяко ${x\ne x_V}$	${f(x)\lt0}$ за всяко ${x\ne x_V}$
Знак при ${D\lt0}$	${f(x)\gt0}$ за всяко $x$	${f(x)\lt0}$ за всяко $x$

Пример 8. Определете свойствата на ${f(x)=x^2-2x-3}$ по графиката ѝ от Пример 1.

Върхът е ${(1;\ -4)}$ и клоните на параболата са насочени нагоре, затова най-малката стойност на $f$ е $-4$ (при ${x=1}$), а множеството от стойности е ${[-4;\ +\infty)}.$ Функцията намалява в интервала ${(-\infty;\ 1]}$ и расте в интервала ${[1;\ +\infty)}.$ Корените ѝ (нулите на функцията) са $-1$ и $3;$ ${f(x)\lt0}$ при ${-1\lt x\lt3}$ (там графиката е под оста $Ox$), а ${f(x)\gt0}$ при ${x\lt-1}$ и при ${x\gt3}.$ Така се решават квадратните неравенства: неравенството ${x^2-2x-3\lt0}$ е изпълнено точно при ${-1\lt x\lt3}.$

Уравнение на парабола по графиката ѝ

Пример 9. Намерете квадратната функция, чиято графика е дадена на чертежа.

Решение 1 (разложен вид). Параболата пресича оста $Ox$ в точките с абсциси $-1$ и $3,$ затова ${y=a(x+1)(x-3)}.$ Тя минава през точката ${(0;\ 3)}\text{:}$ ${3=a\cdot1\cdot(-3)},$ откъдето ${a=-1}$ и

${y}={-(x+1)(x-3)}={-x^2+2x+3.}$

Решение 2 (запис чрез върха). Върхът е ${(1;\ 4)},$ затова ${y=a(x-1)^2+4}.$ Точката ${(3;\ 0)}$ лежи на графиката: ${0=a\cdot2^2+4},$ откъдето ${a=-1}$ и ${y}={-(x-1)^2+4}={-x^2+2x+3.}$

Ако знаем само три точки от графиката и сред тях няма нито върха, нито нула на функцията, заместваме координатите им в ${y=ax^2+bx+c}$ и решаваме системата от три линейни уравнения с неизвестни $a,$ $b$ и $c.$

Как се построява парабола: фокус и директриса (анимация)

Параболата може да се определи и геометрично, без формула. Нека са дадени права $d,$ наречена директриса, и точка $F$ извън нея, наречена фокус. Параболата е множеството от всички точки $M,$ които са на еднакво разстояние от фокуса и от директрисата: ${MF=MH},$ където $H$ е петата на перпендикуляра от $M$ към $d.$

Точката $M$ се движи по параболата ${y=\frac{x^2}{4}}.$ Разстоянието ѝ до фокуса ${F(0;\ 1)}$ винаги е равно на разстоянието ѝ до директрисата ${y=-1}.$

Да проверим това за параболата ${y=\frac{x^2}{4}}.$ За точката ${M\left(x;\ \frac{x^2}{4}\right)}$ разстоянието до директрисата е ${MH=\frac{x^2}{4}+1},$ а

${MF^2}={x^2+\left(\frac{x^2}{4}-1\right)^2}={\frac{x^4}{16}+\frac{x^2}{2}+1}={\left(\frac{x^2}{4}+1\right)^2,}$

затова ${MF=MH}.$ В общия случай параболата ${y=ax^2}$ има фокус ${\left(0;\ \frac{1}{4a}\right)}$ и директриса ${y=-\frac{1}{4a}}.$ Огледало с форма на парабола отразява във фокуса всички лъчи, успоредни на оста му, а светлината на лампа, поставена във фокуса, превръща в успореден сноп. Затова сателитните антени и слънчевите печки (лъчите се събират във фокуса) и фаровете на автомобилите (светлината излиза от фокуса) имат параболична форма. Повече за тази крива: Елипса, парабола, хипербола.

Задачи за упражнение

1. Без да чертаете, определете посоката на клоните, върха и оста на симетрия на параболата: а) ${y=x^2+6x+5};$ б) ${y=-2x^2+8x-3};$ в) ${y=3x^2-12}.$

Отговор

а) ${a=1\gt0},$ нагоре; ${x_V=-\frac{6}{2}=-3},$ ${y_V=9-18+5=-4};$ връх ${(-3;\ -4)},$ ос ${x=-3}.$

б) ${a=-2\lt0},$ надолу; ${x_V=-\frac{8}{-4}=2},$ ${y_V=-8+16-3=5};$ връх ${(2;\ 5)},$ ос ${x=2}.$

в) ${a=3\gt0},$ нагоре; ${b=0},$ затова ${x_V=0}$ и ${y_V=-12};$ връх ${(0;\ -12)},$ оста на симетрия е оста $Oy$ (${x=0}$).

2. Намерете общите точки на графиката с координатните оси: а) ${y=x^2-x-6};$ б) ${y=x^2+4x+4};$ в) ${y=2x^2-x+3}.$

Отговор

а) С оста $Oy\text{:}$ ${(0;\ -6)}.$ От ${x^2-x-6=0}$ получаваме ${x=-2}$ и ${x=3}\text{:}$ точките ${(-2;\ 0)}$ и ${(3;\ 0)}.$

б) С оста $Oy\text{:}$ ${(0;\ 4)}.$ От ${x^2+4x+4=(x+2)^2=0}$ получаваме ${x=-2}\text{:}$ параболата допира оста $Ox$ в ${(-2;\ 0)}.$

в) С оста $Oy\text{:}$ ${(0;\ 3)}.$ ${D=1-24=-23\lt0}\text{:}$ графиката няма общи точки с оста $Ox.$

3. Начертайте графиката на ${y=x^2+2x-8}.$

Отговор

Клоните са насочени нагоре; ${x_V=-1},$ ${y_V=1-2-8=-9};$ пресечната точка с оста $Oy$ е ${(0;\ -8)},$ а симетричната ѝ точка е ${(-2;\ -8)};$ корените са ${x=-4}$ и ${x=2}.$ Още една двойка: ${f(-5)=f(3)=7}.$

$x$	$-5$	$-4$	$-2$	$-1$	$0$	$2$	$3$
$y$	$7$	$0$	$-8$	$-9$	$-8$	$0$	$7$

4. Начертайте графиката на ${y=-x^2+6x-9}.$

Отговор

${-x^2+6x-9}={-(x-3)^2.}$ Клоните са насочени надолу; върхът ${(3;\ 0)}$ лежи на оста $Ox$ (${D=0}$), оста на симетрия е ${x=3}.$ Пресечната точка с оста $Oy$ е ${(0;\ -9)},$ а симетричната ѝ точка е ${(6;\ -9)};$ още една двойка: ${f(2)=f(4)=-1}.$

$x$	$0$	$2$	$3$	$4$	$6$
$y$	$-9$	$-1$	$0$	$-1$	$-9$

5. а) Коя парабола е по-широка: ${y=3x^2}$ или ${y=\frac{1}{3}x^2}?$ б) На кои от параболите ${y=-2x^2+1},$ ${y=5-x+x^2}$ и ${y=4-3x^2}$ клоните са насочени надолу?

Отговор

а) ${y=\frac{1}{3}x^2},$ защото $\frac{1}{3}$ е по-близо до $0,$ отколкото $3.$ б) ${y=-2x^2+1}$ (${a=-2}$) и ${y=4-3x^2}$ (${a=-3}$). При ${y=5-x+x^2}$ коефициентът пред $x^2$ е ${a=1\gt0},$ затова клоните ѝ са насочени нагоре.

6. Запишете функцията чрез върха и посочете върха: а) ${y=x^2-6x+11};$ б) ${y=2x^2+4x-1}.$

Отговор

а) ${x^2-6x+11}={(x^2-6x+9)+2}={(x-3)^2+2;}$ връх ${(3;\ 2)}.$

б) ${2x^2+4x-1}={2(x^2+2x+1)-2-1}={2(x+1)^2-3;}$ връх ${(-1;\ -3)}.$

7. За ${f(x)=-x^2+4x+1}$ намерете най-голямата стойност, множеството от стойности и интервалите, в които $f$ расте и намалява.

Отговор

${x_V=-\frac{4}{-2}=2},$ ${y_V=-4+8+1=5}$ и ${a\lt0}.$ Най-голямата стойност е $5$ (при ${x=2}$), а множеството от стойности е ${(-\infty;\ 5]};$ $f$ расте в ${(-\infty;\ 2]}$ и намалява в ${[2;\ +\infty)}.$

8. Намерете най-малката и най-голямата стойност на ${f(x)=x^2-4x}$ при ${1\le x\le5}.$

Отговор

${x_V=2}$ е от интервала ${[1;\ 5]},$ затова най-малката стойност е ${f(2)=-4}.$ Най-голямата стойност се достига в единия от краищата: ${f(1)=-3},$ ${f(5)=5},$ следователно тя е $5.$ Множеството от стойности на $f$ в този интервал е ${[-4;\ 5]}.$

9. Намерете квадратната функция, чиято графика има връх ${(2;\ -3)}$ и минава през точката ${(0;\ 1)}.$

Отговор

${y=a(x-2)^2-3}$ и ${1=4a-3},$ откъдето ${a=1}\text{:}$ ${y}={(x-2)^2-3}={x^2-4x+1.}$

10. Параболата ${y=x^2+bx+c}$ има връх ${(-2;\ 1)}.$ Намерете $b$ и $c.$

Отговор

${x_V=-\frac{b}{2}=-2},$ затова ${b=4}.$ Тогава ${y_V=4-8+c=1},$ откъдето ${c=5}\text{:}$ ${y}={x^2+4x+5}={(x+2)^2+1.}$

11. При кои стойности на $m$ параболата ${y=x^2-4x+m}$ няма общи точки с оста $Ox?$

Отговор

Трябва ${D\lt0}\text{:}$ ${16-4m\lt0},$ откъдето ${m\gt4}.$

12. Топка е хвърлена нагоре. Височината ѝ след $t$ секунди е ${h(t)=-5t^2+20t+1}$ метра. Кога топката достига най-голяма височина и колко е тази височина?

Отговор

Графиката на $h$ е парабола с клони, насочени надолу, затова най-голямата височина е във върха: ${t_V=-\frac{20}{2\cdot(-5)}=2}$ секунди и ${h(2)}={-20+40+1}={21}$ метра.