Функции и граници

Функциите са навсякъде в математиката: лицето на квадрат зависи от страната му, цената на пътуване с такси зависи от разстоянието, височината на хвърлена топка зависи от времето. В този урок ще отговорим на четири въпроса: какво е функция, как се записват функциите, кои числа можем да заместваме във функцията (нейното дефиниционно множество) и какви стойности се получават (нейното множество от стойности). Накрая ще се запознаем с границите: какво става с функцията близо до дадена точка, дори когато в самата точка функцията не е дефинирана.

На тази страница: Какво е функция · Означение на функция · Дефиниционно множество · Множество от стойности · Функции, зададени с няколко формули · Първо запознаване с границите · Решени задачи · Чести грешки · Упражнения

Какво е функция?

Променливата $x$ се нарича независима променлива (или аргумент): нейната стойност избираме ние. Променливата $y$ се нарича зависима променлива: стойността ѝ зависи от избраното $x.$ Можете да си представите функцията като машина: подавате ѝ число $x,$ а машината връща едно число $y.$

Пример. Равенството ${y=4x+1}$ задава $y$ като функция на $x\text{:}$ всяко $x$ умножаваме по 4 и прибавяме 1, и винаги получаваме точно едно число.

$x$	${y=4x+1}$
$2$	$9$
$1$	$5$
$0$	$1$
${-\frac14}$	$0$
$\sqrt3$	${4\sqrt3+1}$

Зависимост, която не е функция. При равенството ${y=\pm\sqrt x}$ величината $y$ не е функция на $x,$ защото на всяко положително $x$ съответстват две стойности на $y.$ При ${x=4}$ получаваме ${y=\pm\sqrt4},$ т.е. ${y=2}$ и ${y=-2}.$ Същата зависимост може да се запише като ${y^2=x}.$

Ако запазим само неотрицателния корен, ${y=\sqrt x},$ отново получаваме функция: при ${x=4}$ тя дава само ${y=2}.$

Проверка с вертикална права

Графиката на функция е множеството от всички точки $(x;\ y)$ от координатната равнина, за които $x$ е от дефиниционното множество, а $y$ е стойността на функцията при това $x.$ Тъй като на всяко $x$ съответства само едно $y,$ вертикална права може да пресече графиката на функция най-много веднъж:

Правата ${x=4}$ пресича графиката на ${y=\sqrt x}$ веднъж, а кривата ${y^2=x}$ – два пъти.

Обърнете внимание, че определението не забранява две различни стойности на $x$ да дават едно и също $y.$ При ${y=x^2}$ както ${x=2},$ така и ${x=-2}$ дават ${y=4},$ и въпреки това ${y=x^2}$ е функция: на всяко $x$ съответства едно $y.$ (Хоризонтална права може да пресича графиката много пъти.)

Означение на функция

Функциите се означават с букви. Ако означим функцията с буквата $f,$ пишем

$$y=f(x)$$

и четем „$y$ е равно на $f$ от $x$“. Изразът $f(x)$ е стойността на функцията $f$ при $x$. Затова вместо ${y=x^2}$ можем да напишем ${f(x)=x^2}\text{:}$ и двата записа означават една и съща функция.

Най-често се използва буквата $f,$ но функцията може да се означи с всяка буква или символ: ${y=F(x)},$ ${y=g(x)},$ ${y=h(x)},$ ${y=\varphi(x)}.$ Различните букви са удобни, когато работим едновременно с няколко функции.

Записът $f(x)$ не означава „$f,$ умножено по $x$“. Това е числото, което функцията $f$ дава при аргумент $x.$

Как се пресмята стойност на функция

За да намерим $f(a),$ заместваме всяко $x$ във формулата с $a$ (поставено в скоби) и опростяваме.

Пример 1. Нека ${\varphi(x)=\frac{1}{x^3-1}}.$ Тогава

${\varphi\left(\sqrt[3]{7}\right)}={\frac{1}{\left(\sqrt[3]{7}\right)^3-1}}={\frac{1}{7-1}}={\frac16}$

но $\varphi(1)$ не съществува: при заместване получаваме ${\frac{1}{1^3-1}},$ а знаменателят е 0. На 0 не се дели, затова функцията $\varphi$ не е дефинирана при ${x=1}.$

Пример 2. Нека ${F(x)=2x^2-1}.$ В скобите можем да поставим число, друга буква или цял израз:

${F(3)=2\cdot 3^2-1=17}$

${F(d)=2d^2-1}$

${F(t-1)}={2(t-1)^2-1}={2(t^2-2t+1)-1}={2t^2-4t+1}$

Пример 3. Буквата, с която е означена променливата, няма значение. Формулите

${g(c)=c^2-4c}$   и   ${g(x)=x^2-4x}$

задават една и съща функция: „повдигни числото на квадрат и извади числото, умножено по 4“. Например и двете дават ${g(5)=25-20=5}.$

Дефиниционно множество на функция

Естествено дефиниционно множество

Понякога дефиниционното множество е дадено заедно с формулата, например ${f(x)=x^2},$ ${0\le x\le 5}.$ Ако функцията е зададена с формула и дефиниционното множество не е посочено, то се състои от всички реални числа, за които формулата има смисъл и дава реална стойност. То се нарича естествено дефиниционно множество на функцията. На практика от реалните числа изключваме:

• числата, при които някой знаменател става 0;
• числата, при които изразът под квадратен корен (или под корен с четен показател) е отрицателен.

По-късно ще срещнете и други такива условия, например изразът под знака на логаритъма трябва да е положителен. Дефиниционните множества записваме с интервали: „всички реални числа с изключение на 1“ е ${(-\infty;\ 1)\cup(1;\ +\infty)}.$

Пример 4. ${y=\frac{x+1}{x-1}}.$ Знаменателят е 0 при ${x=1},$ затова естественото дефиниционно множество се състои от всички реални числа с изключение на 1: ${(-\infty;\ 1)\cup(1;\ +\infty)}.$

Пример 5. ${y=\sqrt{x-2}}.$ Трябва да е ${x-2\ge 0},$ т.е. ${x\ge 2}.$ Дефиниционното множество е ${[2;\ +\infty)}.$ Числото 2 принадлежи на него, защото ${\sqrt0=0}.$

Пример 6. Многоетажна дроб (дроб в дроб):

${h(x)=\dfrac{1}{\dfrac{x-1}{x-3}}}$

Вътрешната дроб изисква ${x\ne 3}.$ При външната дроб знаменателят трябва да е различен от 0: ${\frac{x-1}{x-3}\ne 0},$ т.е. ${x\ne 1}.$ Следователно дефиниционното множество е

$$(-\infty;\ 1)\cup(1;\ 3)\cup(3;\ +\infty)$$

За тези $x$ можем да опростим: ${h(x)=\frac{x-3}{x-1}}.$ Но опростената формула дава 0 при ${x=3},$ а $h(3)$ не съществува. Първо намерете дефиниционното множество, после опростете.

Пример 7. ${h(x)=\frac{x^2-4}{x-2}}.$ Дефиниционното множество се състои от всички реални числа с изключение на 2. При ${x\ne 2}$ можем да съкратим:

${h(x)}={\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}}={x+2,\quad x}\ne{2}$

Следователно графиката на $h$ е правата ${y=x+2}$ без точката $(2;\ 4).$ Ще я срещнем отново в раздела „Първо запознаване с границите“.

Множество от стойности на функция

Върху чертежа дефиниционното множество е „сянката“ на графиката върху оста $x,$ а множеството от стойности е сянката ѝ върху оста $y.$ Например графиката на функцията ${y=\sqrt{4-x^2}}$ е горната половина на окръжността с център в началото на координатната система и радиус 2. Дефиниционното множество на функцията е ${[-2;\ 2]},$ а множеството ѝ от стойности е $[0;\ 2].$

За да намерим множеството от стойности по формулата, питаме: за кои $y$ уравнението ${f(x)=y}$ има решение $x$ от дефиниционното множество?

Пример 8. ${f(x)=x^2}.$ Квадратът на число никога не е отрицателен, а всяко число ${y\ge 0}$ е квадрат на число: ${y=\left(\sqrt y\right)^2}.$ Следователно множеството от стойности е ${[0;\ +\infty)}.$

Пример 9. ${y=4x+1}.$ За всяко число $y$ уравнението ${4x+1=y}$ има решение ${x=\frac{y-1}{4}}.$ Множеството от стойности се състои от всички реални числа.

Пример 10. ${y=\frac{x+1}{x-1}}.$ Решаваме уравнението относно $x\text{:}$

${y(x-1)}={x+1\ \Rightarrow\ yx-y}={x+1\ \Rightarrow\ x(y-1)}={y+1}$

Ако ${y\ne 1},$ то ${x=\frac{y+1}{y-1}},$ и това $x$ никога не е равно на 1 (от ${\frac{y+1}{y-1}=1}$ бихме получили ${y+1=y-1},$ което е невъзможно). Ако ${y=1},$ уравнението става ${0=2}$ и няма решение. Следователно множеството от стойности се състои от всички реални числа с изключение на 1: ${(-\infty;\ 1)\cup(1;\ +\infty)}.$

Пример 11. Функцията ${h(x)=\frac{x^2-4}{x-2}}$ от пример 7 е равна на ${x+2}$ при ${x\ne 2}.$ Всяко число $y$ се получава при ${x=y-2},$ освен ${y=4},$ за което трябва да е ${x=2},$ а 2 не е от дефиниционното множество. Следователно множеството от стойности се състои от всички реални числа с изключение на 4: ${(-\infty;\ 4)\cup(4;\ +\infty)}.$

Функции, зададени с няколко формули

Една функция може да бъде зададена с различни формули в различни части на дефиниционното си множество. Казваме, че такава функция е зададена с няколко формули (или зададена по интервали). Най-известният пример е модулът (абсолютната стойност) на число:

$$|x|=\begin{cases}x, & x\ge 0\\ -x, & x\lt 0\end{cases}$$

При ${x\ge 0}$ използваме първата формула: ${|5|=5}.$ При ${x\lt 0}$ използваме втората: ${|{-3}|=-(-3)=3}.$ Графиката се състои от два лъча, които излизат от началото на координатната система. Дефиниционното множество на $|x|$ се състои от всички реални числа, а множеството от стойности е ${[0;\ +\infty)}.$

За да пресметнем стойност на функция, зададена с няколко формули, първо проверяваме кое условие е изпълнено за даденото $x,$ и след това използваме само съответната формула. Още за $|x|\text{:}$ уравнения с модул.

Първо запознаване с границите

Да се върнем към функцията ${h(x)=\frac{x^2-4}{x-2}}$ от пример 7. Стойността $h(2)$ не съществува: при ${x=2}$ и числителят, и знаменателят са 0. Но можем да пресметнем $h(x)$ за числа $x,$ близки до 2:

$x$	$h(x)$
$1{,}9$	$3{,}9$
$1{,}99$	$3{,}99$
$1{,}999$	$3{,}999$
$2$	не е дефинирана
$2{,}001$	$4{,}001$
$2{,}01$	$4{,}01$
$2{,}1$	$4{,}1$

Колкото по-близо е $x$ до 2 (от която и да е страна), толкова по-близо е $h(x)$ до 4. Казваме, че границата на $h(x),$ когато $x$ клони към 2, е 4, и записваме

$$\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}=4$$

На графиката: когато $x$ се приближава към 2 от която и да е страна, точките от графиката се приближават към празното кръгче в $(2;\ 4),$ въпреки че самата точка $(2;\ 4)$ не лежи на графиката. Границата описва стойностите на функцията близо до точката, а не в самата точка. Можем да потвърдим тази граница чрез опростяване: при ${x\ne 2}$ имаме ${h(x)=x+2},$ а ${x+2}$ се доближава до ${2+2=4}.$

Границите на функции са обяснени стъпка по стъпка в уроците „Граници (интуитивно въведение)“ и „Граници и методи за пресмятане“. Границата на редица е обяснена в урока „Граница на редица“.

Решени задачи

Задача 1. Кои от следните равенства задават $y$ като функция на $x?$ а) ${y=3x-5};$   б) ${y^2=x+1};$   в) ${y=x^2-1};$   г) ${x^2+y^2=25}$

Решение: а) Да: на всяко $x$ съответства едно число ${3x-5}.$ б) Не: при ${x=3}$ получаваме ${y^2=4},$ т.е. ${y=2}$ или ${y=-2}.$ в) Да: на всяко $x$ съответства едно число ${x^2-1}.$ Това, че ${x=1}$ и ${x=-1}$ дават едно и също ${y=0},$ е позволено. г) Не: при ${x=3}$ получаваме ${y^2=16},$ т.е. ${y=4}$ или ${y=-4}.$ Това е окръжност и вертикална права може да я пресече два пъти.

Задача 2. Нека ${f(x)=x^2-3x+2}.$ Намерете $f(0),$ ${f(-2)}$ и ${f(a+1)}.$

Решение:

${f(0)=0-0+2=2}$

${f(-2)}={(-2)^2-3\cdot(-2)+2}={4+6+2}={12}$

${f(a+1)}={(a+1)^2-3(a+1)+2}={a^2+2a+1-3a-3+2}={a^2-a}$

Задача 3. Намерете дефиниционното множество на ${f(x)=\frac{2x+1}{x^2-9}}.$

Решение: Знаменателят не трябва да е 0: ${x^2-9=0}$ при ${x=3}$ и ${x=-3}.$ Дефиниционното множество е

$$(-\infty;\ -3)\cup(-3;\ 3)\cup(3;\ +\infty)$$

Задача 4. Намерете дефиниционното множество на ${g(x)=\sqrt{6-2x}}.$

Решение: Трябва да е ${6-2x\ge 0},$ т.е. ${2x\le 6},$ откъдето ${x\le 3}.$ Дефиниционното множество е ${(-\infty;\ 3]}.$

Задача 5. Намерете дефиниционното множество на ${h(x)=\frac{\sqrt{x+4}}{x-1}}.$

Решение: Условията са две: ${x+4\ge 0}$ (заради квадратния корен) и ${x-1\ne 0}$ (заради знаменателя). Следователно ${x\ge -4}$ и ${x\ne 1}.$ Дефиниционното множество е ${[-4;\ 1)\cup(1;\ +\infty)}.$

Задача 6. Намерете множеството от стойности на а) ${f(x)=x^2+3};$   б) ${g(x)=2-\sqrt x}.$

Решение: а) ${x^2\ge 0},$ затова ${x^2+3\ge 3}.$ Всяко ${y\ge 3}$ се получава: при ${x=\sqrt{y-3}}$ имаме ${f(x)=y}.$ Множеството от стойности е ${[3;\ +\infty)}.$
б) Дефиниционното множество е ${[0;\ +\infty)}.$ Коренът $\sqrt x$ приема всички стойности ${\ge 0},$ затова ${2-\sqrt x}$ приема всички стойности ${\le 2}.$ Множеството от стойности е ${(-\infty;\ 2]}.$

Задача 7. Намерете множеството от стойности на ${y=\frac{2x-1}{x+3}}.$

Решение: Дефиниционното множество се състои от всички реални числа с изключение на ${-3}.$ Решаваме относно $x\text{:}$

${y(x+3)}={2x-1\ \Rightarrow\ yx+3y}={2x-1\ \Rightarrow\ x(y-2)}={-3y-1}$

Ако ${y\ne 2},$ то ${x=\frac{3y+1}{2-y}}$ (това $x$ никога не е ${-3}\text{:}$ от ${\frac{3y+1}{2-y}=-3}$ следва ${1=-6}$). Ако ${y=2},$ получаваме ${0=-7},$ т.е. няма решение. Множеството от стойности се състои от всички реални числа с изключение на 2: ${(-\infty;\ 2)\cup(2;\ +\infty)}.$

Задача 8. Намерете ${f(-3)},$ $f(1)$ и $f(2)$ за функцията

$$f(x)=\begin{cases}2x+1, & x\lt 1\\ x^2, & x\ge 1\end{cases}$$

Решение: ${-3\lt 1},$ затова използваме първата формула: ${f(-3)}={2\cdot(-3)+1}={-5.}$ При ${x=1}$ е изпълнено условието ${x\ge 1},$ затова ${f(1)=1^2=1}.$ Накрая ${f(2)=2^2=4}.$

Задача 9. Нека ${f(x)=x^2}.$ Опростете ${\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$ при ${h\ne 0}$ (тук $h$ е число, а не функция).

Решение:

${\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac{(x+h)^2-x^2}{h}}={\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}}={\frac{h(2x+h)}{h}}={2x+h}$

Когато $h$ клони към 0, този израз клони към $2x.$ Тази граница е производната на $x^2.$

Задача 10. Отгатнете ${\lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}}$ по таблица със стойности, а след това проверете отговора чрез опростяване.

Решение: При ${x=2{,}9};$ $2{,}99;$ $3{,}01$ и $3{,}1$ дробта е равна съответно на $5{,}9;$ $5{,}99;$ $6{,}01$ и $6{,}1,$ така че изглежда, че границата е 6. Проверка: при ${x\ne 3}$

${\frac{x^2-9}{x-3}}={\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}}={x+3,}$   а   ${x+3}$ клони към ${3+3=6}.$

Чести грешки

Грешка	Грешно	Вярно
Отрицателно число е заместено без скоби	${f(x)=x^2},$ ${f(-3)=-3^2=-9}$	${f(-3)=(-3)^2=9}$
${f(x+1)}$ е заменено с ${f(x)+1}$	${f(x)=x^2},$ ${f(x+1)=x^2+1}$	${f(x+1)}={(x+1)^2}={x^2+2x+1}$
$f(2x)$ е заменено с $2f(x)$	${f(x)=x^2},$ ${f(2x)=2x^2}$	${f(2x)=(2x)^2=4x^2}$
Опростяване преди намиране на дефиниционното множество	${\frac{x^2-4}{x-2}=x+2},$ значи дефиниционното множество се състои от всички реални числа	Дефиниционното множество се състои от всички реални числа с изключение на 2
Изключено е $x,$ при което коренът е 0	${\sqrt{x-2}}\text{:}$ дефиниционно множество ${x\gt 2}$	${\sqrt{x-2}}\text{:}$ дефиниционно множество ${x\ge 2}$
Две стойности на $x$ с едно и също $y$	${y=x^2}$ не е функция, защото ${(-2)^2=2^2}$	${y=x^2}$ е функция: на всяко $x$ съответства едно $y$
Границата е объркана със стойността в точката	$h(2)$ не съществува, значи ${\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}}$ не съществува	${\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}=4}$

Упражнения

Опитайте сами и след това отворете отговора.

1. Нека ${f(x)=3x-7}.$ Намерете $f(2),$ ${f(-1)}$ и $f(0).$

${f(2)=-1},$ ${f(-1)=-10},$ ${f(0)=-7}.$

2. Нека ${g(x)=x^2+x}.$ Намерете ${g(-3)}$ и ${g(t+1)}.$

${g(-3)=9-3=6}$ и ${g(t+1)}={(t+1)^2+(t+1)}={t^2+3t+2.}$

3. Дали $y$ е функция на $x,$ ако ${x=y^2-1}?$

Не. При ${x=3}$ получаваме ${y^2=4},$ т.е. ${y=2}$ или ${y=-2}\text{:}$ на едно $x$ съответстват две стойности на $y.$

4. Намерете дефиниционното множество на ${y=\frac{5}{x+4}}.$

Всички реални числа с изключение на ${-4}\text{:}$ ${(-\infty;\ -4)\cup(-4;\ +\infty)}.$

5. Намерете дефиниционното множество на ${y=\sqrt{2x+6}}.$

${2x+6\ge 0},$ откъдето ${x\ge -3}.$ Дефиниционното множество е ${[-3;\ +\infty)}.$

6. Намерете дефиниционното множество на ${y=\frac{x}{x^2-5x+6}}.$

${x^2-5x+6}={(x-2)(x-3)}\ne{0,}$ затова дефиниционното множество е ${(-\infty;\ 2)\cup(2;\ 3)\cup(3;\ +\infty).}$

7. Намерете дефиниционното множество на ${y=\frac{1}{\sqrt{x-1}}}.$

Коренът изисква ${x-1\ge 0},$ а знаменателят изисква ${\sqrt{x-1}\ne 0},$ затова ${x-1\gt 0}.$ Дефиниционното множество е ${(1;\ +\infty)}.$

8. Намерете множеството от стойности на ${y=4-x^2}.$

${x^2\ge 0},$ затова ${4-x^2\le 4},$ и всяко ${y\le 4}$ се получава при ${x=\sqrt{4-y}}.$ Множеството от стойности е ${(-\infty;\ 4]}.$

9. Намерете множеството от стойности на ${y=\frac{x}{x-2}}.$

От ${y(x-2)=x}$ получаваме ${x(y-1)=2y}.$ При ${y\ne 1}\text{:}$ ${x=\frac{2y}{y-1}}$ (никога не е 2, защото ${2y=2y-2}$ е невъзможно); при ${y=1}\text{:}$ ${0=2},$ няма решение. Множеството от стойности е ${(-\infty;\ 1)\cup(1;\ +\infty)}.$

10. Намерете ${f(-2)},$ $f(0)$ и $f(3),$ ако $f(x)=\begin{cases}x^2, & x\lt 0\\ x+1, & x\ge 0\end{cases}$

${f(-2)=(-2)^2=4},$ ${f(0)=0+1=1},$ ${f(3)=3+1=4}.$

11. Намерете ${\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}}.$

При ${x\ne 1}\text{:}$ ${\frac{x^2-1}{x-1}}={\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}}={x+1,}$ което клони към 2. Границата е 2.

12. Нека ${f(x)=2x+3}.$ Опростете ${\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$ при ${h\ne 0}.$

${\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac{(2(x+h)+3)-(2x+3)}{h}}={\frac{2h}{h}}={2.}$

Следващ урок: Операции с функции. Още за функциите (графика, монотонност, четност, обратна функция): Функции: определение, графика и свойства. Начертайте графиката на всяка функция с програмата за графики на функции.