МенюГраници (интуитивно въведение)
Границата е основното понятие на математическия анализ. Грубо казано, границата на функция в дадена точка е стойността, към която се приближава функцията, когато $x$ се приближава към тази точка. На тази страница ще видим откъде идват границите (от две стари геометрични задачи), как се отгатва граница по таблица или по графика, къде можем да сгрешим при това и какво означават безкрайните граници и границите в безкрайност. Точното пресмятане на границите е обяснено в следващия урок „Граници и методи за пресмятане“.
На тази страница: Две задачи · Допирателни · Лица · Граница по таблица · Едностранни граници · Капани при пресмятанията · Безкрайни граници · Граници в безкрайност · Обобщение · Чести грешки · Задачи
Две задачи, които водят до граници
Задачата за допирателната. Дадени са функция $f$ и точка $P(x_0;\ y_0)$ от графиката ѝ. Да се намери уравнението на допирателната към графиката в точката $P.$
Задачата за лицето. Дадена е функция $f,$ за която ${f(x)\ge0}.$ Да се намери лицето на фигурата между графиката на $f$ и интервала $[a;\ b]$ от оста $x.$
И двете задачи изглеждат прости, но нито една от тях не може да се реши само със средствата на алгебрата и на геометрията на правите и многоъгълниците. И двете се решават с една и съща нова идея: границата.
Задачата за допирателната
При окръжността допирателната се определя лесно: една права е допирателна към окръжност, ако има с нея точно една обща точка. Такава права е перпендикулярна на радиуса, прекаран към допирната точка.
За други криви това определение не върши работа. На първия чертеж по-долу хоризонталната права има с параболата ${x=y^2}$ само една обща точка $P,$ но не е допирателна: тя не се допира до кривата в $P,$ а я пресича. Правата, която се допира до кривата в $P,$ е вертикалната. На втория чертеж правата се допира до кривата в $P$ и е допирателна в тази точка, но има с кривата още две общи точки.
Определение, което върши работа и за други криви, използва секущи. Вземаме втора точка $Q$ от кривата и прекарваме правата $PQ.$ Сега нека $Q$ се движи по кривата към $P.$ Секущата се завърта и когато $Q$ се доближава все повече до $P,$ тя клони към някакво гранично положение, ако такова съществува. Правата в това гранично положение е допирателната в точката $P.$
Пример 1. Намерете допирателната към параболата ${y=x^2}$ в точката $P(1;\ 1).$
Вземаме точка $Q(x;\ x^2)$ от параболата, ${x\ne1}.$ Ъгловият коефициент на секущата $PQ$ е
${m_{PQ}}={\frac{x^2-1}{x-1}}={\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}}={{x+1}.}$
Ето ъгловите коефициенти при точки $Q,$ които се приближават към $P$ от двете страни:
| $Q$ вдясно от $P$ | $Q$ вляво от $P$ | ||
|---|---|---|---|
| $x$ | ${m_{PQ}}$ | $x$ | ${m_{PQ}}$ |
| 3 | 4 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | 0,5 | 1,5 |
| 1,5 | 2,5 | 0,9 | 1,9 |
| 1,1 | 2,1 | 0,99 | 1,99 |
| 1,01 | 2,01 | 0,999 | 1,999 |
| 1,001 | 2,001 | 0,9999 | 1,9999 |
Колкото по-близо е $Q$ до $P,$ толкова по-близо е ъгловият коефициент до $2.$ Казваме, че ъгловият коефициент на допирателната е границата на ъгловите коефициенти на секущите, когато $x$ клони към $1,$ и пишем
$$m=\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=2.$$Допирателната минава през $P(1;\ 1)$ и има ъглов коефициент $2,$ затова уравнението ѝ е ${y-1=2(x-1)},$ т.е. ${y=2x-1}.$ Забележете, че дробта ${\frac{x^2-1}{x-1}}$ не е дефинирана при ${x=1}$ (получава се ${\frac{0}{0}}$). Границата зависи само от стойностите близо до $1$ и никога от стойността в $1.$ Ъгловият коефициент на допирателната в дадена точка се нарича производна на функцията в тази точка.
Задачата за лицето
Лицата на някои равнинни фигури могат да се намерят, като ги разрежем на краен брой правоъгълници или триъгълници и съберем лицата на частите: ${A=A_1+A_2}$ на левия чертеж и ${A=A_1+A_2+A_3}$ на десния.
За фигура с крива страна, например фигурата под графиката на $f$ между ${x=a}$ и ${x=b},$ това е невъзможно: никакъв краен брой правоъгълници или триъгълници не може да я запълни точно.
Вместо това намираме лицето приближено. Разделяме $[a;\ b]$ на $n$ равни части и над всяка част построяваме правоъгълник, възможно най-висок, но все още под кривата (вписан правоъгълник). Сборът от лицата на тези правоъгълници е малко по-малък от лицето на фигурата. Когато $n$ расте, правоъгълниците стават по-тесни, празнините между тях и кривата намаляват, а сборовете се приближават към точното лице като към гранична стойност.
Пример 2. Намерете лицето на фигурата под графиката на ${y=x^2}$ между ${x=0}$ и ${x=1}.$
Разделяме $[0;\ 1]$ на $n$ части с ширина ${\frac{1}{n}}.$ Вписаните правоъгълници имат височини ${(k/n)^2}$ при ${k=0},$ $1,$ …, ${n-1}.$ Правоъгълниците, които покриват фигурата, имат височини ${(k/n)^2}$ при ${k=1},$ $2,$ …, $n;$ общото им лице е малко по-голямо от лицето на фигурата. С помощта на формулата
${1^2+2^2+\ldots+m^2}={{\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}},}$
намираме сбора $s_n$ от лицата на вписаните правоъгълници и сбора $S_n$ от лицата на покриващите:
${s_n=\frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}}$ и ${S_n=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}}.$
| $n$ | $s_n$ (под кривата) | $S_n$ (покриващи фигурата) |
|---|---|---|
| 4 | 0,21875 | 0,46875 |
| 10 | 0,285 | 0,385 |
| 100 | 0,32835 | 0,33835 |
| 1000 | 0,3328335 | 0,3338335 |
При всяко $n$ лицето е между $s_n$ и $S_n,$ а и двата сбора клонят към ${\frac{1}{3}}.$ Следователно лицето е точно ${\frac{1}{3}}.$ Число, получено като такава граница на сборове, се нарича (определен) интеграл; тук това е интегралът от $x^2$ от $0$ до $1.$
Отгатване на граница по таблица
Да разгледаме функцията
$$f(x)=\frac{\sin x}{x},$$където $x$ е в радиани. Тази функция не е дефинирана при ${x=0},$ защото там дробта става ${\frac{0}{0}}.$ Какво става с $f(x),$ когато $x$ е близо до $0?$ С калкулатор, настроен на радиани, получаваме:
| $x$ | ${\frac{\sin x}{x}}$ | $x$ | ${\frac{\sin x}{x}}$ |
|---|---|---|---|
| 1,0 | 0,84147 | −1,0 | 0,84147 |
| 0,8 | 0,89670 | −0,8 | 0,89670 |
| 0,6 | 0,94107 | −0,6 | 0,94107 |
| 0,4 | 0,97355 | −0,4 | 0,97355 |
| 0,2 | 0,99335 | −0,2 | 0,99335 |
| 0,01 | 0,99998 | −0,01 | 0,99998 |
Стойностите при $x$ и при $-x$ са равни, защото ${\frac{\sin(-x)}{-x}}={\frac{-\sin x}{-x}}={\frac{\sin x}{x}}.$ Когато $x$ се приближава към $0$ отляво или отдясно, $f(x)$ се приближава към $1.$
Казваме, че границата на $f(x),$ когато $x$ клони към $0,$ е $1,$ и пишем
$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.$$Таблицата само подсказва този резултат; той се доказва в математическия анализ. Това е една от най-важните граници и се нарича „първа забележителна граница“. Забележете, че $f(0)$ не съществува: графиката е „пробита“ в точката $(0;\ 1),$ т.е. тази точка не принадлежи на графиката. Границата описва стойностите на $f$ близо до $0,$ а не в $0.$
Граница (неформално определение). Пишем ${\lim_{x\to a}f(x)=L}$ и казваме „границата на $f(x),$ когато $x$ клони към $a,$ е $L$“, ако стойностите $f(x)$ могат да станат колкото искаме близки до $L,$ стига $x$ да е достатъчно близо до $a$ и различно от $a.$
Функцията дори не е задължително да е дефинирана в $a\text{:}$ достатъчно е да е дефинирана в точките близо до $a.$ А ако е дефинирана и в самата точка, стойността $f(a)$ не играе никаква роля: ако променим $f(a),$ границата не се променя.
Едностранни и двустранни граници
Понякога е важно от коя страна $x$ се приближава към $a.$ Ако $x$ се приближава към $a,$ като приема стойности, по-големи от $a$ (отдясно), пишем ${x\to a+0}.$ Ако $x$ се приближава към $a,$ като приема стойности, по-малки от $a$ (отляво), пишем ${x\to a-0}.$
| Означение | Как се чете записът |
|---|---|
| ${\lim_{x\to a+0}f(x)=L_1}$ | Границата на $f(x),$ когато $x$ клони към $a$ отдясно, е $L_1$ (дясна граница) |
| ${\lim_{x\to a-0}f(x)=L_2}$ | Границата на $f(x),$ когато $x$ клони към $a$ отляво, е $L_2$ (лява граница) |
| ${\lim_{x\to a}f(x)=L}$ | Границата на $f(x),$ когато $x$ клони към $a,$ е $L$ (двустранна граница) |
За функцията по-горе таблицата подсказва, че ${\lim_{x\to+0}\frac{\sin x}{x}=1}$ (дясна граница) и ${\lim_{x\to-0}\frac{\sin x}{x}=1}$ (лява граница).
Двустранната граница ${\lim_{x\to a}f(x)}$ съществува и е равна на $L$ тогава и само тогава, когато двете едностранни граници съществуват и са равни на $L.$
Пример 3. Нека ${f(x)=\frac{|x|}{x}}.$ При ${x\gt0}$ имаме ${|x|=x},$ затова ${f(x)=1}.$ При ${x\lt0}$ имаме ${|x|=-x},$ затова ${f(x)=-1}.$ Следователно
${\lim_{x\to+0}\frac{|x|}{x}=1},$ ${\lim_{x\to-0}\frac{|x|}{x}=-1}.$
Едностранните граници са различни, затова границата ${\lim_{x\to0}\frac{|x|}{x}}$ не съществува. В $0$ графиката прави „скок“.
Капани при числените пресмятания
Таблицата със стойности може само да подскаже каква е границата, а може да подскаже и грешна граница. Да разгледаме
$$f(x)=\sin\frac{\pi}{x}.$$При ${x=1};$ $0{,}1;$ $0{,}01;$ … числото ${\frac{\pi}{x}}$ е $\pi,$ $10\pi,$ $100\pi,$ …, т.е. кратно на $\pi,$ а синусът на такова число е $0\text{:}$
| $x$ | $f(x)$ | $x$ | $f(x)$ |
|---|---|---|---|
| 1 | 0 | −1 | 0 |
| 0,1 | 0 | −0,1 | 0 |
| 0,01 | 0 | −0,01 | 0 |
| 0,001 | 0 | −0,001 | 0 |
| 0,0001 | 0 | −0,0001 | 0 |
Таблицата подсказва, че ${\lim_{x\to0}\sin\frac{\pi}{x}=0}.$ Това е грешно. При ${x=\frac{2}{5}},$ ${\frac{2}{9}},$ ${\frac{2}{13}},$ …, т.е. при ${x=\frac{2}{4k+1}},$ получаваме ${\frac{\pi}{x}}={\frac{\pi}{2}+2k\pi},$ а синусът на това число е $1.$ Тези стойности на $x$ (${k=1},$ $2,$ $3,$ …) също се приближават колкото искаме до $0.$ Същото става и вляво от $0\text{:}$ при ${x=-\frac{2}{4k+3}}$ (${-\frac{2}{3}},$ ${-\frac{2}{7}},$ …) получаваме ${\frac{\pi}{x}}={-\frac{3\pi}{2}-2k\pi}$ и синусът отново е $1.$ Значи близо до $0$ функцията приема стойността $0$ и стойността $1$ (а също и $-1$) отново и отново: графиката ѝ се колебае между $-1$ и $1$ безброй много пъти. Стойностите не се приближават към никое определено число, затова ${\lim_{x\to+0}\sin\frac{\pi}{x}},$ ${\lim_{x\to-0}\sin\frac{\pi}{x}}$ и ${\lim_{x\to0}\sin\frac{\pi}{x}}$ не съществуват.
В червените точки (${x=\pm1},$ ${\pm\frac{1}{2}},$ ${\pm\frac{1}{3}},$ ${\pm\frac{1}{10}}$) имаме ${f(x)=0},$ както в таблицата; в зелените точки ${f(x)=1}.$ Близо до $0$ колебанията са твърде гъсти, за да бъдат начертани.
Таблица, калкулатор или компютърна графика могат да ни подведат. Предположението, направено по таблица, трябва да се провери алгебрично или с внимателно изследване на функцията.
Безкрайни граници
Да разгледаме ${f(x)=\frac{1}{(x-2)^2}}.$ Когато $x$ е близо до $2,$ от която и да е страна, ${(x-2)^2}$ е малко положително число, затова $f(x)$ е голямо положително число. Например ${f(2{,}01)}={f(1{,}99)}={10\,000}$ и ${f(2{,}001)}={1\,000\,000}.$ Стойностите растат неограничено и пишем
${\lim_{x\to2-0}f(x)}={\lim_{x\to2+0}f(x)}={\lim_{x\to2}f(x)}={{+\infty}.}$
Аналогично, за ${g(x)=-\frac{1}{(x-2)^2}}$ стойностите намаляват неограничено от двете страни на $2$ и ${\lim_{x\to2}g(x)=-\infty}.$
Функцията ${h(x)=\frac{1}{x-2}}$ се държи различно от двете страни. Когато $x$ е малко по-голямо от $2,$ ${x-2}$ е малко положително число и $h(x)$ е голямо положително число. Когато $x$ е малко по-малко от $2,$ ${x-2}$ е отрицателно число, близко до нула, и $h(x)$ е отрицателно число с голям модул:
${\lim_{x\to2-0}h(x)=-\infty},$ ${\lim_{x\to2+0}h(x)=+\infty}.$
Символите $+\infty$ и $-\infty$ не са числа. Записът ${\lim_{x\to2}f(x)=+\infty}$ не означава, че границата съществува; той показва как тя не съществува: стойностите стават по-големи от всяко число. За $h$ едностранните граници са различни, затова ${\lim_{x\to2}h(x)}$ не е нито $+\infty,$ нито $-\infty;$ казваме само, че тя не съществува.
И на трите чертежа пунктирната права ${x=2}$ е вертикална асимптота. В общия случай правата ${x=a}$ е вертикална асимптота на графиката на $f,$ ако поне една от едностранните граници на $f$ в $a$ е $+\infty$ или $-\infty.$
Граници в безкрайност
Можем да се запитаме и какво става с $f(x),$ когато $x$ расте неограничено (${x\to+\infty}$) или намалява неограничено (${x\to-\infty}$). Пишем ${\lim_{x\to+\infty}f(x)=L},$ ако $f(x)$ може да стане колкото искаме близо до $L,$ стига $x$ да е достатъчно голямо, и аналогично за ${x\to-\infty}.$ Тогава правата ${y=L}$ е хоризонтална асимптота на графиката.
Пример 4. За функцията на чертежа по-долу
${\lim_{x\to-\infty}f(x)=-1},$ ${\lim_{x\to+\infty}f(x)=4}.$
И двете граници съществуват. Те са различни, но това не е проблем: те описват двата края на графиката. Правите ${y=-1}$ и ${y=4}$ са хоризонтални асимптоти.
Пример 5. За функцията по-долу при ${x\to-\infty}$ имаме ${f(x)\to+\infty},$ т.е. ${\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty}.$ При ${x\to+\infty}$ графиката се колебае около правата ${y=-2},$ но размахът на колебанията става все по-малък, затова $f(x)$ се приближава към $-2\text{:}$
${\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty},$ ${\lim_{x\to+\infty}f(x)=-2}.$
Правата ${y=-2}$ е хоризонтална асимптота, въпреки че графиката я пресича отново и отново.
Пример 6. За функцията по-долу при ${x\to-\infty}$ имаме ${f(x)\to-\infty}.$ При ${x\to+\infty}$ стойностите $f(x)$ продължават да се колебаят между $-3$ и $3$ и не се приближават към никое число. Следователно ${\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty},$ а ${\lim_{x\to+\infty}f(x)}$ не съществува (тя не е нито $+\infty,$ нито $-\infty$). Тази графика няма хоризонтална асимптота.
Обобщение на означенията
| Означение | Значение |
|---|---|
| ${\lim_{x\to a}f(x)=L}$ | $f(x)$ е колкото искаме близо до $L$ при всички ${x\ne a},$ достатъчно близки до $a$ |
| ${\lim_{x\to a+0}f(x)=L}$ | същото, но само при ${x\gt a}$ |
| ${\lim_{x\to a-0}f(x)=L}$ | същото, но само при ${x\lt a}$ |
| ${\lim_{x\to a}f(x)=+\infty}$ | $f(x)$ е по-голямо от всяко дадено число при всички ${x\ne a},$ достатъчно близки до $a$ |
| ${\lim_{x\to a}f(x)=-\infty}$ | $f(x)$ е по-малко от всяко дадено число при всички ${x\ne a},$ достатъчно близки до $a$ |
| ${\lim_{x\to+\infty}f(x)=L}$ | $f(x)$ е колкото искаме близо до $L$ при всички достатъчно големи $x$ |
| ${\lim_{x\to-\infty}f(x)=L}$ | $f(x)$ е колкото искаме близо до $L$ при всички отрицателни $x$ с достатъчно голямо $|x|$ |
Чести грешки
| Грешка | Грешно | Вярно |
|---|---|---|
| Границата е объркана със стойността в точката | Дробта ${\frac{\sin x}{x}}$ не е дефинирана в $0,$ значи ${\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}}$ не съществува | ${\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1}\text{:}$ границата зависи от стойностите близо до $0,$ а не от стойността в $0$ |
| Сляпо доверие в таблицата | ${\sin\frac{\pi}{x}=0}$ при ${x=0{,}1};$ $0{,}01;$ $0{,}001,$ значи границата в $0$ е $0$ | Границата не съществува: при ${x=\frac{2}{4k+1}}$ стойността е $1$ |
| Разгледана е само едната страна | ${\lim_{x\to+0}\frac{|x|}{x}=1},$ значи ${\lim_{x\to0}\frac{|x|}{x}=1}$ | Лявата граница е $-1,$ затова двустранната граница не съществува |
| Записано е $\infty$ при различни едностранни граници | ${\lim_{x\to2}\frac{1}{x-2}=\infty}$ | Едностранните граници са $-\infty$ и $+\infty;$ границата не съществува |
| „Графиката никога не пресича асимптотата си“ | Графиката на $f$ пресича ${y=-2},$ значи ${\lim_{x\to+\infty}f(x)\ne-2}$ | Графиката може да пресича хоризонталната си асимптота, дори безброй много пъти (пример 5) |
| Градуси вместо радиани | В режим на градуси калкулаторът показва ${\frac{\sin x}{x}\approx0{,}01745}$ близо до $0,$ значи границата не е $1$ | ${\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1}$ е вярно за $x$ в радиани; в градуси границата е ${\frac{\pi}{180}\approx0{,}01745}$ |
Задачи за упражнение
1. С калкулатор, настроен на радиани, отгатнете ${\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}}$ по стойностите при ${x=0{,}5};$ $0{,}1$ и $0{,}01.$
Отговор
Стойностите са приблизително $0{,}489670;$ $0{,}499583$ и $0{,}499996$ (същите и за $-x$). Изглежда, че границата е ${\frac{1}{2}},$ и наистина е така.
2. С помощта на секущи намерете ъгловия коефициент на допирателната към ${y=x^2}$ в точката $P(3;\ 9)$ и уравнението на допирателната.
Отговор
При ${x\ne3}$ ъгловият коефициент на $PQ$ е ${\frac{x^2-9}{x-3}}={x+3},$ което клони към $6$ при ${x\to3}.$ Уравнението на допирателната е ${y-9=6(x-3)},$ т.е. ${y=6x-9}.$
3. Намерете приближено лицето на фигурата под графиката на ${y=x}$ между ${x=0}$ и ${x=1}$ с $n$ вписани правоъгълника. Общото им лице е ${\frac{n-1}{2n}}.$ Пресметнете го при ${n=10},$ $100,$ $1000.$ Каква е границата?
Отговор
$0{,}45;$ $0{,}495;$ $0{,}4995.$ Границата е ${\frac{1}{2}},$ т.е. лицето на правоъгълния триъгълник с катети $1$ и $1.$
4. Нека ${f(x)=\frac{x^2-x}{|x-1|}}.$ Намерете ${\lim_{x\to1+0}f(x)}$ и ${\lim_{x\to1-0}f(x)}.$ Съществува ли ${\lim_{x\to1}f(x)}?$
Отговор
${x^2-x=x(x-1)}.$ При ${x\gt1}\text{:}$ ${f(x)=x},$ което клони към $1.$ При ${x\lt1}\text{:}$ ${f(x)=-x},$ което клони към $-1.$ Едностранните граници са $1$ и $-1,$ затова границата не съществува.
5. Функцията $g$ е зададена така: ${g(x)=x+1}$ при ${x\lt2},$ ${g(x)=5-x}$ при ${x\gt2}$ и ${g(2)=7}.$ Намерете ${\lim_{x\to2-0}g(x)},$ ${\lim_{x\to2+0}g(x)},$ ${\lim_{x\to2}g(x)}$ и $g(2).$
Отговор
$3,$ $3,$ $3$ и $7.$ Границата съществува и е равна на $3,$ въпреки че ${g(2)=7}\text{:}$ стойността в самата точка няма значение.
6. Намерете ${\lim_{x\to3-0}\frac{1}{x-3}},$ ${\lim_{x\to3+0}\frac{1}{x-3}}$ и ${\lim_{x\to3}\frac{1}{(x-3)^2}}.$
Отговор
$-\infty,$ $+\infty$ и $+\infty.$ Правата ${x=3}$ е вертикална асимптота и на двете графики.
7. Намерете ${\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}}$ и ${\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}}.$ Коя права е хоризонтална асимптота на графиката на ${y=\frac{1}{x}}?$
Отговор
И двете граници са равни на $0$ (например ${\frac{1}{1000}=0{,}001}$ и ${\frac{1}{-1000}=-0{,}001}$). Хоризонталната асимптота е оста $x,$ т.е. правата ${y=0}.$
8. Отгатнете ${\lim_{x\to+\infty}\frac{2x+1}{x}}$ по стойностите при ${x=10},$ $100,$ $1000,$ а след това обяснете резултата.
Отговор
$2{,}1;$ $2{,}01;$ $2{,}001\text{:}$ границата е $2,$ защото ${\frac{2x+1}{x}}={2+\frac{1}{x}},$ а ${\frac{1}{x}}$ клони към $0.$
9. Съществува ли ${\lim_{x\to0}\cos\frac{\pi}{x}}?$
Отговор
Не. При ${x=\frac{1}{2k}}$ стойността е ${\cos2k\pi=1},$ а при ${x=\frac{1}{2k+1}}$ тя е ${\cos(2k+1)\pi=-1}.$ И двата вида стойности на $x$ се приближават колкото искаме до $0,$ затова стойностите на функцията не се приближават към едно определено число.
Следващ урок: „Граници и методи за пресмятане“, в който границите се пресмятат точно с помощта на свойствата на границите. Границата на редица е обяснена в урока „Граница на редица“.
Граници на функции