Операции с функции

Числата могат да се събират, изваждат, умножават и делят. Същото може да се прави и с функциите, като резултатът е нова функция. Има и операция, каквато при числата няма: една функция може да се постави вътре в друга. Тази операция се нарича композиция. И така, с функциите можем да извършваме следните операции:

• събиране: ${f+g};$
• изваждане: ${f-g};$
• умножение: ${f\cdot g};$
• деление: $\frac fg;$
• композиция: ${f\circ g}.$

За всяка операция ще покажем как се намира формулата на новата функция и, което е не по-малко важно, нейното дефиниционно множество. Ако искате да си припомните какво е функция и какво е дефиниционно множество, вижте урока „Функции и граници“.

На тази страница: Аритметични операции · Дефиниционно множество · Графика на сбора · Степен на функция · Композиция на функции · Кога е дефинирана композицията · Представяне като композиция · Решени задачи · Чести грешки · Упражнения

Сбор, разлика, произведение и частно на функции

Да вземем две функции: ${f(x)=x^2}$ и ${g(x)=x}.$ За всяко $x$ можем да съберем стойностите им:

$$f(x)+g(x)=x^2+x$$

Така получаваме нова функция. Тя се нарича сбор (сума) на функциите $f$ и $g$ и се означава с ${f+g}.$ Скобите в записа ${(f+g)(x)}$ показват, че ${f+g}$ е името на една функция, а ${(f+g)(x)}$ е нейната стойност при $x.$ По същия начин се определят разликата, произведението и частното на две функции:

Пример 1. При ${f(x)=x^2}$ и ${g(x)=x}\text{:}$

${(f+g)(x)=x^2+x}$

${(f-g)(x)=x^2-x}$

${(f\cdot g)(x)=x^2\cdot x=x^3}$

${\left(\frac fg\right)(x)}={\frac{x^2}{x}}={x,\quad x}\ne{0}$

Условието ${x\ne 0}$ в последния ред не е излишна подробност: ${g(0)=0},$ а на 0 не се дели. Ще се върнем към това в следващия раздел.

Пример 2. Нека ${f(x)=2x+1}$ и ${g(x)=x^2-3}.$ За да намерим стойност на новата функция, първо намираме стойностите на $f$ и $g,$ а след това извършваме с тях съответното действие:

${(f+g)(2)}={f(2)+g(2)}={5+1}={6}$

${(f-g)(-1)}={f(-1)-g(-1)}={-1-(-2)}={1}$

${(f\cdot g)(0)}={f(0)\cdot g(0)}={1\cdot(-3)}={-3}$

${\left(\frac fg\right)(3)=\frac{f(3)}{g(3)}=\frac76}$

Умножение на функция с число. Ако $c$ е число, то ${(cf)(x)=c\cdot f(x)}.$ Например, ако ${f(x)=x^2},$ то ${(3f)(x)=3x^2}.$ Това е произведението на $f$ и постоянната функция ${g(x)=c}.$

Дефиниционно множество на новата функция

За да пресметнем ${f(x)+g(x)},$ са ни нужни и двете стойности $f(x)$ и $g(x).$ Следователно $x$ трябва да принадлежи едновременно на дефиниционното множество на $f$ и на дефиниционното множество на $g.$ При частното има още едно условие: знаменателят $g(x)$ трябва да е различен от 0. Да означим с $D(f)$ дефиниционното множество на $f,$ а с $D(g)$ – дефиниционното множество на $g.$

Пример 3. Нека ${f(x)=1+\sqrt{x-2}}$ и ${g(x)=x-1}.$ Техният сбор е

${(f+g)(x)}={f(x)+g(x)}={\left(1+\sqrt{x-2}\right)+(x-1)}={x+\sqrt{x-2}}$

Да сравним дефиниционните множества на $f,$ $g$ и на техния сбор:

Функция	Дефиниционно множество
${f(x)=1+\sqrt{x-2}}$	${[2;\ +\infty)}$
${g(x)=x-1}$	${(-\infty;\ +\infty)}$
${(f+g)(x)=x+\sqrt{x-2}}$	${[2;\ +\infty)\cap(-\infty;\ +\infty)}$ ${{}=[2;\ +\infty)}$

Пример 4. Нека ${f(x)=\sqrt{x+1}}$ и ${g(x)=x-3}.$ Тогава ${D(f)=[-1;\ +\infty)},$ а $D(g)$ се състои от всички реални числа, затова сечението е ${[-1;\ +\infty)}.$

• ${\left(\frac fg\right)(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x-3}}\text{:}$ трябва да изключим и ${x=3},$ при което ${g(x)=0}.$ Дефиниционното множество е ${[-1;\ 3)\cup(3;\ +\infty)}.$
• ${\left(\frac gf\right)(x)=\frac{x-3}{\sqrt{x+1}}}\text{:}$ сега знаменателят е $f(x),$ а ${f(x)=0}$ при ${x=-1}.$ Дефиниционното множество е ${(-1;\ +\infty)}.$

Пример 5. Нека ${f(x)=3\sqrt x}$ и ${g(x)=\sqrt x}.$ Тяхното произведение е

${(f\cdot g)(x)}={f(x)\cdot g(x)}={3\sqrt x\cdot\sqrt x}={3x}$

Формулата $3x$ има смисъл за всяко реално $x\text{:}$ естественото дефиниционно множество на $3x$ е ${(-\infty;\ +\infty)}.$ Но произведението ${f\cdot g}$ съществува само там, където са дефинирани и $f,$ и $g\text{:}$

Функция	Дефиниционно множество
${f(x)=3\sqrt x}$	${[0;\ +\infty)}$
${g(x)=\sqrt x}$	${[0;\ +\infty)}$
${(f\cdot g)(x)=3x},$ ${x\ge 0}$	${[0;\ +\infty)\cap[0;\ +\infty)}$ ${{}=[0;\ +\infty)}$

Графиката на ${f\cdot g}$ е само лъчът ${y=3x},$ ${x\ge 0},$ а не цялата права.

Първо намерете дефиниционното множество по функциите $f$ и $g,$ а след това опростете формулата. Опростената формула може да скрие условията, които $f$ и $g$ налагат на $x.$

Графика на сбора

При всяко $x$ стойността на ${f+g}$ е ${f(x)+g(x)}.$ На чертежа това означава, че при всяка абсциса височината (ординатата) на графиката на ${f+g}$ е равна на сбора от височините на графиките на $f$ и $g.$ Ето графиките на ${f(x)=x^2},$ ${g(x)=x}$ и на техния сбор ${(f+g)(x)=x^2+x}\text{:}$

При ${x=2}\text{:}$ ${f(2)+g(2)=4+2=6}.$ При ${x=-2}\text{:}$ ${f(-2)+g(-2)}={4+(-2)}={2.}$ Зелените отсечки показват $g(x)\text{:}$ при ${x=2}$ прибавяме 2 (нагоре), а при ${x=-2}$ прибавяме ${-2}$ (надолу).

Там, където $g(x)$ е положително, графиката на ${f+g}$ лежи над графиката на $f;$ там, където $g(x)$ е отрицателно – под нея. Графиката на ${f-g}$ се построява по същия начин, само че височините се изваждат.

Степен на функция

Произведението на една функция със самата нея се записва като степен:

$$f^2(x)=f(x)\cdot f(x)=\bigl(f(x)\bigr)^2$$

В общия случай, ако $n$ е цяло положително число, то

$$f^n(x)=\underbrace{f(x)\cdot f(x)\cdot\ldots\cdot f(x)}_{n\text{ множителя}}$$

Например ${\sin x\cdot\sin x=(\sin x)^2},$ което накратко се записва като $\sin^2x.$ Ако ${f(x)=x+1},$ то ${f^3(x)=(x+1)^3}.$

${\sin^2x=(\sin x)^2}$ не е същото като $\sin(x^2).$ При ${f(x)=x+1}\text{:}$ ${f^2(x)=(x+1)^2},$ но ${f(x^2)=x^2+1}.$
Показателят ${-1}$ е изключение: ${f^{-1}}$ обикновено означава обратната функция (вижте калкулатора за обратна функция), а не $\frac1f.$

Композиция на функции

Да вземем функциите

$$f(x)=x^3\quad\text{и}\quad g(x)=x+4$$

Ако заместим $g(x)$ на мястото на $x$ във формулата на $f,$ получаваме нова функция:

$$f(g(x))=\bigl(g(x)\bigr)^3=(x+4)^3$$

Представете си две машини една след друга: числото $x$ влиза в машината $g,$ а полученият резултат $g(x)$ влиза в машината $f.$

При ${f(x)=x^3}$ и ${g(x)=x+4}\text{:}$

${(f\circ g)(1)}={f(g(1))}={f(5)}={5^3}={125}$

Формулата дава същия резултат: ${(1+4)^3=125}.$ Пресмятайте отвътре навън: първо $g(1),$ а после $f$ от полученото число.

Редът има значение

При същите две функции композицията в обратен ред е

${(g\circ f)(x)}={g(f(x))}={f(x)+4}={x^3+4}$

Това е друга функция: ${(f\circ g)(1)=125},$ а ${(g\circ f)(1)=1^3+4=5}.$

При някои двойки функции двата реда дават една и съща функция. Например, ако ${f(x)=2x}$ и ${g(x)=3x},$ то ${f(g(x))=2\cdot 3x=6x}$ и ${g(f(x))=3\cdot 2x=6x}.$ Но това е изключение, затова винаги проверявайте коя функция е вътрешната.

Композиция на функция със самата нея. Ако ${f(x)=2x+1},$ то

${(f\circ f)(x)}={f(f(x))}={2(2x+1)+1}={4x+3}$

Не бъркайте $f(f(x))$ с ${f^2(x)}={\bigl(f(x)\bigr)^2}={(2x+1)^2.}$

Дефиниционно множество на композицията

За да пресметнем $f(g(x)),$ първо пресмятаме $g(x),$ затова $x$ трябва да принадлежи на дефиниционното множество на $g.$ След това пресмятаме стойността на $f$ при аргумент $g(x),$ затова $g(x)$ трябва да принадлежи на дефиниционното множество на $f.$

Пример 6. Нека ${f(x)=x^2+3}$ и ${g(x)=\sqrt x}.$ Тогава

${(f\circ g)(x)}={f(g(x))}={\bigl(g(x)\bigr)^2+3}={\left(\sqrt x\right)^2+3}={x+3}$

Да сравним дефиниционните множества на $f,$ $g$ и на тяхната композиция:

Функция	Дефиниционно множество
${f(x)=x^2+3}$	${(-\infty;\ +\infty)}$
${g(x)=\sqrt x}$	${[0;\ +\infty)}$
${(f\circ g)(x)=x+3},$ ${x\ge 0}$	всички $x$ от ${[0;\ +\infty)},$ за които $g(x)$ принадлежи на ${(-\infty;\ +\infty)},$ т.е. ${[0;\ +\infty)}$

Сама по себе си формулата ${x+3}$ би допуснала всяко $x,$ но пресмятането на ${f\circ g}$ започва с $\sqrt x,$ а за него е нужно ${x\ge 0}.$ Затова ${(f\circ g)(x)=x+3}$ само при ${x\ge 0}.$

Пример 7. Нека ${f(x)=\frac1{x-2}}$ и ${g(x)=\sqrt x}.$

• ${(f\circ g)(x)=\frac1{\sqrt x-2}}.$ Трябва да е ${x\ge 0}$ (заради $g$) и ${g(x)\ne 2}$ (заради $f$), т.е. ${\sqrt x\ne 2},$ откъдето ${x\ne 4}.$ Дефиниционното множество е ${[0;\ 4)\cup(4;\ +\infty)}.$
• ${(g\circ f)(x)=\sqrt{\frac1{x-2}}}.$ Трябва да е ${x\ne 2}$ (заради $f$) и ${f(x)\ge 0}$ (заради $g$), т.е. ${\frac1{x-2}\ge 0},$ откъдето ${x-2\gt 0}.$ Дефиниционното множество е ${(2;\ +\infty)}.$

Обърнете внимание, че дефиниционното множество на ${f\circ g}$ не е просто ${D(f)\cap D(g)}\text{:}$ тук ${D(f)\cap D(g)}={[0;\ 2)\cup(2;\ +\infty),}$ но стойността ${x=2}$ е допустима за ${f\circ g}$ (знаменателят ${\sqrt2-2}$ не е 0), а ${x=4}$ – не.

Представяне на функция като композиция

Често се налага да направим обратното: да запишем дадена функция като композиция на по-прости функции. Попитайте се: какво действие се извършва първо върху $x$ (това е вътрешната функция) и кое действие се извършва последно (това е външната функция)?

Пример 8. Да разгледаме функцията

$$h(x)=(x+1)^2$$

Първо към $x$ прибавяме 1, а след това повдигаме резултата на квадрат. Затова $h$ може да се представи така:

${g(x)}={x+1,\quad f(x)}={x^2,\quad h(x)}={f(g(x))}$

Пример 9. ${\sqrt{3x-5}=f(g(x))},$ където ${g(x)=3x-5}$ и ${f(x)=\sqrt x}.$ Аналогично ${\frac1{x^2+1}=f(g(x))},$ където ${g(x)=x^2+1}$ и ${f(x)=\frac1x}.$

Това представяне не е единствено. Най-естествено е да запишем ${(x^2+1)^{10}}$ като $f(g(x)),$ където ${g(x)=x^2+1}$ и ${f(x)=x^{10}}.$ Но можем да запишем и така:

${(x^2+1)^{10}}={\Bigl[(x^2+1)^2\Bigr]^5}={f(g(x)),\quad g(x)}={(x^2+1)^2,\quad f(x)}={x^5}$

или дори така:

${(x^2+1)^{10}}={\Bigl[(x^2+1)^3\Bigr]^{10/3}}={f(g(x)),\quad g(x)}={(x^2+1)^3,\quad f(x)}={x^{10/3}}$

(Степен с дробен показател, например $x^{10/3},$ се разглежда само при ${x\ge 0}.$ Тук това не е проблем, защото ${g(x)=(x^2+1)^3\ge 1}.$)

Определянето на вътрешната и на външната функция е първата стъпка при пресмятане на производна на сложна функция.

Решени задачи

Задача 1. Нека ${f(x)=x^2-4}$ и ${g(x)=x+2}.$ Намерете ${f+g},$ ${f-g},$ ${f\cdot g}$ и $\frac fg,$ както и техните дефиниционни множества.

Решение: И двете функции $f$ и $g$ са дефинирани за всички реални числа.

${(f+g)(x)}={x^2-4+x+2}={x^2+x-2}$

${(f-g)(x)}={x^2-4-(x+2)}={x^2-x-6}$

${(f\cdot g)(x)}={(x^2-4)(x+2)}={x^3+2x^2-4x-8}$

Дефиниционното множество на тези три функции се състои от всички реални числа. При частното изключваме ${x=-2},$ при което ${g(x)=0}\text{:}$

${\left(\frac fg\right)(x)}={\frac{x^2-4}{x+2}}={\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}}={x-2,\quad x}\ne{-2}$

Дефиниционното множество на частното е ${(-\infty;\ -2)\cup(-2;\ +\infty)}.$

Задача 2. Нека ${f(x)=\sqrt{x-1}}$ и ${g(x)=\sqrt{5-x}}.$ Намерете дефиниционните множества на ${f+g}$ и $\frac fg.$

Решение: ${D(f)=[1;\ +\infty)}$ и ${D(g)=(-\infty;\ 5]}.$ Тяхното сечение $[1;\ 5]$ е дефиниционното множество на ${f+g}.$ При $\frac fg$ изключваме и нулата на $g\text{:}$ ${\sqrt{5-x}=0}$ при ${x=5}.$ Дефиниционното множество на $\frac fg$ е $[1;\ 5).$

Задача 3. Нека ${f(x)=x^2+1}$ и ${g(x)=2x-3}.$ Намерете ${(f\circ g)(x)},$ ${(g\circ f)(x)},$ ${(f\circ g)(2)}$ и ${(g\circ f)(2)}.$

Решение:

${(f\circ g)(x)}={f(2x-3)}={(2x-3)^2+1}={4x^2-12x+10}$

${(g\circ f)(x)}={g(x^2+1)}={2(x^2+1)-3}={2x^2-1}$

${(f\circ g)(2)}={f(g(2))}={f(1)}={2}$ и ${(g\circ f)(2)}={g(f(2))}={g(5)}={7.}$ Същото получаваме и по формулите: ${4\cdot 2^2-12\cdot 2+10=2}$ и ${2\cdot 2^2-1=7}.$

Задача 4. Нека ${f(x)=2x-3}.$ Намерете $f(f(x))$ и $f(f(f(x))).$

Решение:

${f(f(x))}={2(2x-3)-3}={4x-9}$

${f(f(f(x)))}={2(4x-9)-3}={8x-21}$

Задача 5. Нека ${f(x)=\sqrt x}$ и ${g(x)=4-x^2}.$ Намерете ${f\circ g}$ и ${g\circ f},$ както и техните дефиниционни множества.

Решение: ${(f\circ g)(x)=\sqrt{4-x^2}}.$ Трябва да е ${4-x^2\ge 0},$ т.е. ${x^2\le 4},$ затова дефиниционното множество е ${[-2;\ 2]}.$
${(g\circ f)(x)}={4-\left(\sqrt x\right)^2}={4-x.}$ Формулата ${4-x}$ има смисъл за всички реални числа, но първо пресмятаме $\sqrt x,$ затова дефиниционното множество е ${[0;\ +\infty)}.$

Задача 6. Функциите $f$ и $g$ са зададени с таблица. Намерете $f(g(1)),$ $g(f(1)),$ $f(f(2))$ и ${(f+g)(3)}.$

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f(x)$	$3$	$1$	$4$	$2$
$g(x)$	$2$	$4$	$1$	$3$

Решение: Пресмятаме отвътре навън. ${f(g(1))=f(2)=1};$   ${g(f(1))=g(3)=1};$   ${f(f(2))=f(1)=3};$   ${(f+g)(3)}={f(3)+g(3)}={4+1}={5.}$

Задача 7. Запишете във вида $f(g(x))\text{:}$ а) ${h(x)=\sqrt{x^2+9}};$   б) ${k(x)=\frac1{(x+5)^2}}.$

Решение: а) Първо се пресмята ${x^2+9},$ а след това се извлича квадратен корен: ${g(x)=x^2+9},$ ${f(x)=\sqrt x}.$
б) Първо се пресмята ${x+5},$ а след това $\frac1{(\ldots)^2}\text{:}$ ${g(x)=x+5},$ ${f(x)=\frac1{x^2}}.$

Задача 8. Нека ${f(x)=x+3}.$ Намерете такава функция $g,$ че ${(f\circ g)(x)=x^2+1}.$

Решение: ${(f\circ g)(x)}={f(g(x))}={g(x)+3.}$ Следователно ${g(x)+3=x^2+1},$ откъдето ${g(x)=x^2-2}.$

Задача 9. Нека ${f(x)=x^2}$ и ${g(x)=\sin x}.$ Намерете ${(f\circ g)(x)}$ и ${(g\circ f)(x)}.$

Решение: ${(f\circ g)(x)}={f(\sin x)}={(\sin x)^2}={\sin^2x,}$ а ${(g\circ f)(x)}={g(x^2)}={\sin(x^2).}$ Това са две различни функции.

Задача 10. Нека ${f(x)=x^2-2x}$ и ${g(x)=x+1}.$ Решете уравнението ${f(g(x))=0}.$

Решение:

${f(g(x))}={(x+1)^2-2(x+1)}={x^2+2x+1-2x-2}={x^2-1}$

От ${x^2-1=0}$ получаваме ${x=1}$ или ${x=-1}.$

Чести грешки

Грешка	Грешно	Вярно
Произведението ${f\cdot g}$ е объркано с композицията	${f(x)=x+1},$ ${g(x)=x^2}\text{:}$ ${(f\cdot g)(x)=x^2+1}$	${(f\cdot g)(x)}={(x+1)x^2}={x^3+x^2}$
Редът на функциите в композицията е разменен	${f(x)=x^3},$ ${g(x)=x+4}\text{:}$ ${(f\circ g)(x)=x^3+4}$	${(f\circ g)(x)}={f(g(x))}={(x+4)^3}$
Изваждане без скоби	${f(x)=x^2},$ ${g(x)=x-3}\text{:}$ ${(f-g)(x)=x^2-x-3}$	${(f-g)(x)}={x^2-(x-3)}={x^2-x+3}$
Нулите на $g$ са оставени в дефиниционното множество на $\frac fg$	${f(x)=x},$ ${g(x)=x-2}\text{:}$ дефиниционното множество на $\frac fg$ се състои от всички реални числа	Всички реални числа с изключение на 2
Дефиниционното множество е намерено по опростената формула	${3\sqrt x\cdot\sqrt x=3x},$ значи дефиниционното множество се състои от всички реални числа	Дефиниционното множество е ${[0;\ +\infty)}$
Дефиниционното множество на ${f\circ g}$ е намерено по крайната формула	${f(x)=x^2+3},$ ${g(x)=\sqrt x}\text{:}$ ${f(g(x))=x+3},$ дефиниционно множество – всички реални числа	Дефиниционното множество е ${[0;\ +\infty)}$
$\sin^2x$ е прочетено като $\sin(x^2)$	${\sin^2x=\sin(x^2)}$	${\sin^2x=(\sin x)^2}$

Упражнения

Опитайте сами и след това отворете отговора.

1. Нека ${f(x)=3x+2}$ и ${g(x)=x^2}.$ Намерете ${(f+g)(x)},$ ${(f-g)(x)}$ и ${(f\cdot g)(x)}.$

${(f+g)(x)=x^2+3x+2},$ ${(f-g)(x)}={-x^2+3x+2,}$ ${(f\cdot g)(x)=3x^3+2x^2}.$

2. Нека ${f(x)=x+5}$ и ${g(x)=x-1}.$ Намерете ${(f+g)(2)},$ ${(f\cdot g)(-1)}$ и $\left(\frac fg\right)(3).$

${(f+g)(2)=7+1=8},$ ${(f\cdot g)(-1)}={4\cdot(-2)}={-8,}$ ${\left(\frac fg\right)(3)=\frac82=4}.$

3. Намерете дефиниционното множество на $\frac fg,$ ако ${f(x)=x+1}$ и ${g(x)=x^2-4}.$

${g(x)=0}$ при ${x=2}$ и ${x=-2}.$ Дефиниционното множество е ${(-\infty;\ -2)\cup(-2;\ 2)\cup}$ ${(2;\ +\infty)}.$

4. Намерете дефиниционното множество на ${f+g},$ ако ${f(x)=\sqrt x}$ и ${g(x)=\frac1{x-3}}.$

${D(f)=[0;\ +\infty)},$ а $D(g)$ се състои от всички реални числа с изключение на 3. Дефиниционното множество е ${[0;\ 3)\cup(3;\ +\infty)}.$

5. Нека ${f(x)=x^2}$ и ${g(x)=x-5}.$ Намерете ${(f\circ g)(x)}$ и ${(g\circ f)(x)}.$

${(f\circ g)(x)}={(x-5)^2}={x^2-10x+25,}$ ${(g\circ f)(x)=x^2-5}.$

6. Нека ${f(x)=2x-1}$ и ${g(x)=x^2+3}.$ Намерете ${(f\circ g)(1)}$ и ${(g\circ f)(1)}.$

${(f\circ g)(1)=f(4)=7},$ ${(g\circ f)(1)=g(1)=4}.$

7. Нека ${f(x)=x+2}$ и ${g(x)=x-5}.$ Вярно ли е, че ${f\circ g=g\circ f}?$

Да: ${f(g(x))}={(x-5)+2}={x-3}$ и ${g(f(x))}={(x+2)-5}={x-3.}$

8. Нека ${f(x)=3x-2}.$ Намерете ${(f\circ f)(x)}.$

${(f\circ f)(x)}={3(3x-2)-2}={9x-8.}$

9. Намерете дефиниционното множество на ${f\circ g},$ ако ${f(x)=\sqrt x}$ и ${g(x)=x-7}.$

${(f\circ g)(x)=\sqrt{x-7}},$ затова трябва да е ${x-7\ge 0}.$ Дефиниционното множество е ${[7;\ +\infty)}.$

10. Намерете дефиниционното множество на ${f\circ g},$ ако ${f(x)=\frac1x}$ и ${g(x)=x^2-9}.$

${(f\circ g)(x)=\frac1{x^2-9}},$ затова трябва да е ${g(x)\ne 0},$ т.е. ${x\ne 3}$ и ${x\ne -3}.$ Дефиниционното множество е ${(-\infty;\ -3)\cup(-3;\ 3)\cup}$ ${(3;\ +\infty)}.$

11. Запишете ${h(x)=(5x+2)^4}$ и ${k(x)=\frac1{x^2+4}}$ във вида $f(g(x)).$

$h\text{:}$ ${g(x)=5x+2},$ ${f(x)=x^4}.$   $k\text{:}$ ${g(x)=x^2+4},$ ${f(x)=\frac1x}.$

12. Нека ${f(x)=2x+3}.$ Намерете $g,$ ако ${(f\circ g)(x)=6x-1}.$

${2g(x)+3=6x-1},$ откъдето ${g(x)=3x-2}.$

Предишен урок: Функции и граници. Начертайте $f,$ $g$ и новите функции с програмата за графики на функции.