Обратна функция - калкулатор с решение стъпка по стъпка

Въведете функция на $x$. Калкулаторът намира обратната ѝ функция $f^{-1}(x)$, показва стъпка по стъпка как се решава уравнението ${y = f(x)}$ и намира дефиниционното множество и множеството от стойности на двете функции. Ако функцията не е обратима, той намира обратната функция във всяка част от дефиниционното множество, в която тя е обратима.

Как се въвежда функцията

• Степените се записват с ^: x^2 е $x^2$, e^(2x) е $e^{2x}$, а 2^x е $2^x$.
• Знакът за умножение може да се пропусне: 2x, 3(x+1), 2sin(3x). Може да пишете и 2*x.
• (2x+1)/(x-3) е $\frac{2x+1}{x-3}$: поставете числителя и знаменателя в скоби.
• sqrt(x) е $\sqrt{x}$, cbrt(x) или x^(1/3) е $\sqrt[3]{x}$, а root(x, 4) е $\sqrt[4]{x}$.
• ln(x) е натуралният логаритъм, lg(x) и log(x) са десетичният логаритъм, а log_2(x) е $\log_2 x$.
• sin(x), cos(x), tg(x), cotg(x), arcsin(x), arccos(x), arctg(x), sh(x), ch(x), th(x).
• |x| е модулът (абсолютната стойност), pi е $\pi$, а e е числото $e$.
• Може да въведете и f(x) = ... или y = .... Функцията може да съдържа само една буква – променливата си.

Примери: $2x + 3$ $\frac{2x + 1}{x - 3}$ $x^2 - 4x + 1$ $\sqrt{x - 1}$ $3e^{2x - 1} + 4$ $\log_2(x + 3)$ $\frac{e^x - 1}{e^x + 1}$

Как се намира обратна функция

Обратната функция $f^{-1}$ отменя действието на $f$: ако ${f(a) = b}$, то ${f^{-1}(b) = a}$. За да я намерим:

1. Заменяме $f(x)$ с $y$.
2. Разменяме $x$ и $y$.
3. Решаваме уравнението спрямо $y$.
4. Заменяме $y$ с $f^{-1}(x)$.

За ${f(x) = 2x + 3}$ тези стъпки дават ${x = 2y + 3}$, после ${2y = x - 3}$, следователно ${f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}}$. Може първо да решим ${y = f(x)}$ спрямо $x$ и накрая да разменим буквите: обратната функция е същата.

Кога функцията има обратна?

Обратна функция има само обратимата функция: всяка нейна стойност трябва да се получава при точно едно $x$. Функция, която е растяща в цялото си дефиниционно множество или е намаляваща в него, е обратима. Всяка хоризонтална права пресича графиката на обратима функция най-много в една точка.

${f(x) = x^2}$ не е обратима, защото ${f(-2) = f(2) = 4}$. Разгледана при ${x \geq 0}$, тя е обратима и обратната ѝ функция е $\sqrt{x}$; при ${x \leq 0}$ обратната функция е $-\sqrt{x}$. Калкулаторът сам намира тези части от дефиниционното множество. За тригонометричните функции той дава обратната функция в интервала на главните стойности, както $\arcsin$, $\arccos$ и $\operatorname{arctg}$.

Дефиниционното множество на $f^{-1}$ е множеството от стойности на $f$, а множеството от стойности на $f^{-1}$ е дефиниционното множество на $f$. Графиката на $f^{-1}$ е симетрична на графиката на $f$ относно правата ${y = x}$.

Обратни функции на основните функции

Методи с примери

Калкулаторът решава ${y = f(x)}$ така, както се прави в учебниците. Щракнете върху пример, за да видите метода.

1. Линейни функции. Действията се отменят в обратен ред: изваждаме, после делим.
   ${y = ax + b} \;\Rightarrow\; {x = \frac{y - b}{a}}$
   Пример: $5x - 7$
2. Дробно-линейни функции. Умножаваме двете страни по знаменателя, събираме членовете с $x$ в едната страна и изнасяме $x$ пред скоби.
   ${y = \frac{ax + b}{cx + d}} \;\Rightarrow\; {x = \frac{b - dy}{cy - a}}$
   Примери: $\frac{2x + 1}{x - 3}$, $\frac{x}{x + 1}$
3. Квадратни функции. Допълваме до точен квадрат и извличаме квадратен корен от двете страни. Квадратната функция не е обратима: обратната ѝ функция е със знак + от едната страна на върха на параболата и със знак − от другата. Функция като ${x + \frac{1}{x}}$ също води до квадратно уравнение.
   ${ax^2 + bx + c} = {a(x - h)^2 + k}$
   Примери: $x^2 - 4x + 1$, $2x^2 + 8x - 5$, $x + \frac{1}{x}$
4. Степени и корени. Степента се отменя с корен, а коренът – със степен. Квадратният корен никога не е отрицателен, затова обратната функция на $\sqrt{x - 1}$ е ${x^2 + 1}$ само при ${x \geq 0}$.
   ${\sqrt[3]{x} = y} \;\Rightarrow\; {x = y^3}$
   Примери: $\sqrt{2x + 3} - 4$, $(x - 1)^3 + 4$
5. Показателни и логаритмични функции. Логаритмуваме двете страни или записваме логаритъма като степен.
   ${a^x = y} \;\Leftrightarrow\; {x = \log_a y}$
   Примери: $3e^{2x - 1} + 4$, $\log_2(x + 3)$, $2^{x - 1} + 3$
6. Тригонометрични функции. Прилагаме обратната тригонометрична функция. Тя дава главната стойност, затова се получава обратната функция на $f$, разгледана в интервал.
   ${\sin x = y},\; {-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}} \;\Rightarrow\; {x = \arcsin y}$
   Примери: $2\sin 3x + 1$, $\operatorname{arctg} 2x$
7. Полагане. Когато $x$ се среща няколко пъти, но винаги в един и същ израз, като $e^x$ или $\sqrt{x}$, полагаме този израз равен на $u$, решаваме спрямо $u$ и после спрямо $x$. Примери: $\frac{e^x - 1}{e^x + 1}$, $e^{2x} - 2e^x$

Още по темата

Прави и обратни функции Логаритъм, log, lg, ln Координатни системи и графики на функции Програма за чертаене на графики на функции