Калкулатор за триъгълник - решение стъпка по стъпка

Изберете до три елемента на триъгълника, които знаете, въведете стойностите им и изберете какво да се намери. Калкулаторът решава триъгълника стъпка по стъпка, с формулите, които използва, и го чертае в мащаб. Под чертежа можете да включите всяка медиана, височина и ъглополовяща, вписаната окръжност, описаната окръжност и Ойлеровата права.

Примери: две страни и ъгълът между тях ъгъл по трите страни страна и два ъгъла две страни и ъгъл срещу едната от тях (два триъгълника) лицето по трите медиани лицето по трите височини две страни и радиусът на вписаната окръжност страна, височината и медианата към нея лицето, периметърът и един ъгъл разстоянието между центровете на двете окръжности ъгъл, разстоянието от медицентъра до ортоцентъра и ъгълът $AMH$

Как се работи с калкулатора

Във всеки ред „Дадено“ изберете елемент от списъка и въведете стойността му. Ако знаете по-малко от три елемента, оставете реда на „не е дадено“.
Скицата до формата показва всеки даден елемент със стойността му, а търсеният е отбелязан с въпросителен знак. Тя не е в мащаб: в отговора триъгълникът е начертан в мащаб.
Стойността може да е цяло число, десетична дроб, обикновена дроб като 7/2 или корен като sqrt(3) или 2*sqrt(3). Ъглите са в градуси.
В реда „Търси се“ изберете елемента, който ви трябва, или „всичко“, за да получите всички страни и ъгли, периметъра и лицето.
За разстояние между две точки или ъгъл по три точки изберете точките от списъците, които се появяват. Върхът на ъгъла е средната точка: $\sphericalangle AMH$ е ъгълът при $M$.
Адресът на страницата се променя заедно със задачата, така че можете да го копирате и да изпратите решението на някого.

Означения

В триъгълника $ABC$ страната ${a = BC}$ е срещу върха $A$, ${b = AC}$ е срещу $B$, а ${c = AB}$ е срещу $C$. Ъглите при $A$, $B$ и $C$ са $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$.

Означение	Значение
$h_a$, $m_a$, $l_a$	височината, медианата и ъглополовящата от върха $A$ към страната $a$
$S$, $P$, $p$	лицето, периметърът и полупериметърът ${p = \frac{a + b + c}{2}}$
$R$, $r$	радиусите на описаната и на вписаната окръжност
$r_a$	радиусът на външновписаната окръжност, която се допира до страната $a$
$M$, $H$, $O$, $I$	медицентърът (пресечната точка на медианите), ортоцентърът (пресечната точка на височините), центърът на описаната и центърът на вписаната окръжност
$M_a$, $H_a$, $L_a$, $T_a$	върху страната $a$: средата ѝ, петата на височината от $A$, петата на ъглополовящата от $A$ и допирната точка на вписаната окръжност

Как калкулаторът решава триъгълник

Триъгълникът има три степени на свобода, затова три независими елемента, поне един от които е дължина, го определят - понякога по два начина. Калкулаторът работи като ученик с лист с формули.

Формули една след друга. От дадените елементи търси формула, в която всичко освен един елемент е известно, намира този елемент и повтаря, докато стигне до търсеното. Трите страни дават ъгъл по косинусовата теорема; два ъгъла дават третия; страна и височината към нея дават лицето.
Неизвестно и уравнение. Когато никоя формула не дава направо нов елемент - например при две страни и радиуса на вписаната окръжност - калкулаторът означава един елемент с $x$, изразява останалите чрез $x$ и даденият елемент, който е останал, става уравнение за $x$. Уравнението се решава числено.
Координати. За елементи като ъгъла $AMH$ няма готова формула. Калкулаторът поставя триъгълника в координатна система, ${A(0; 0)}$, ${B(c; 0)}$, ${C(b\cos\alpha; b\sin\alpha)}$, намира точките и измерва разстоянието или ъгъла там.

Точни стойности като ${\sqrt{39}}$ или ${\frac{35\sqrt3}{4}}$ се пазят точни, когато е възможно, а всеки отговор се проверява с начертания триъгълник.

Формули за решаване на триъгълник

Страни и ъгли

Име	Формула
Сбор на ъглите	${\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ}$
Синусова теорема	${\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R}$
Косинусова теорема	${a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha}$
Ъгъл по страните	${\cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}}$

Лице

Известно	Формула
Страна и височината към нея	${S = \frac{a h_a}{2}}$
Две страни и ъгълът между тях	${S = \frac{bc\,\sin\alpha}{2}}$
Три страни (Херонова формула)	${S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}}$
Вписаната окръжност	${S = pr}$
Описаната окръжност	${S = \frac{abc}{4R}}$

Височини, медиани и ъглополовящи

Елемент	Формула
Височина	${h_a = \frac{2S}{a} = b\,\sin\gamma = c\,\sin\beta}$
Медиана	${m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}}$
Ъглополовяща	${l_a = \frac{2bc\cos\frac{\alpha}{2}}{b + c}}$
Точката, в която ъглополовящата пресича страната	${BL_a : L_aC = c : b}$

Окръжности и центрове

Елемент	Формула
Радиус на вписаната окръжност	${r = \frac{S}{p} = (p - a)\,\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}}$
Радиус на описаната окръжност	${R = \frac{a}{2\,\sin\alpha} = \frac{abc}{4S}}$
Радиус на външновписана окръжност	${r_a = \frac{S}{p - a}}$
Разстояние между центровете на двете окръжности (формула на Ойлер)	${OI^2 = R^2 - 2Rr}$
Медицентър	${AM = \frac{2}{3}m_a}$
Ортоцентър	${AH = 2R\,\|\cos\alpha\|}$, ${OH^2 = 9R^2 - (a^2 + b^2 + c^2)}$
Ойлерова права	$O$, $M$ и $H$ лежат на една права и ${MH = 2\,OM}$

Кога триъгълникът е определен?

Три страни определят триъгълник, когато всяка е по-малка от сбора на другите две.
Две страни и ъгълът между тях или страна и два ъгъла винаги определят един триъгълник.
Две страни и ъгъл срещу едната от тях могат да дадат два триъгълника, един или нито един: два ъгъла между $0^\circ$ и $180^\circ$ имат един и същ синус. Калкулаторът показва всеки триъгълник, който отговаря на данните.
Три ъгъла определят само формата. За големината е нужна поне една дължина или лицето.
Елементи, които зависят един от друг, например страна, срещулежащият ъгъл и $R$ (защото ${a = 2R\sin\alpha}$), се броят за два. Тогава калкулаторът ви казва, че триъгълникът не е определен, или намира това, което данните определят.

Още по темата

Триъгълници Синусова и косинусова теорема Задачи върху косинусова теорема Формули за лица Височина в триъгълник Медиана в триъгълник Решаване на задачи