Калкулатор по статистика - решение стъпка по стъпка

Въведете числата, разделени със запетаи, интервали или на нов ред. Може да поставите и колона от Excel. Ако числата са с десетична запетая, разделяйте ги с точка и запетая, например: 2,5; 3,75; 4

Изчислете

Използвайте $s$ и $s^2$, когато числата са извадка от по-голяма съвкупност: сумата от квадратите на отклоненията от средното се дели на $n-1$. Използвайте $\sigma$ и $\sigma^2$, когато числата са цялата генерална съвкупност: сумата се дели на $n$.

$Q_1$ и $Q_3$ са медианите на долната и горната половина на подредените числа; при нечетно $n$ самата медиана не влиза в нито една от половините. Така намират квартилите калкулаторите TI и много учебници; функцията QUARTILE.INC в Excel и някои други методи могат да дадат малко по-различни стойности. Екстремни стойности са числата, които са по-малки от $Q_1 - 1{,}5 \cdot \text{IQR}$ или по-големи от $Q_3 + 1{,}5 \cdot \text{IQR}$.

Формули

Нека имаме $n$ на брой числа $\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$.

Средна (аритметична)

Средното аритметично е сборът на числата, разделен на броя им:

$\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$

Медиана

Подредете числата по големина. Ако $n$ е нечетно, медианата е числото в средата. Ако $n$ е четно, медианата е средното аритметично на двете числа в средата. Например медианата на $1, 3, 3, 6, 7, 8, 9$ е $6$, а медианата на $1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9$ е $\dfrac{4 + 5}{2} = 4{,}5$.

Мода

Модата е стойността, която се среща най-често. Може да има няколко моди – например числата $1, 1, 2, 2, 3$ имат моди $1$ и $2$ – а ако никоя стойност не се повтаря, няма мода.

Дисперсия

Дисперсията показва колко са разпръснати числата около средното си аритметично: тя е средната стойност на квадратите на отклоненията $(x_i - \bar{x})^2$. За извадка от по-голяма съвкупност се дели на $n - 1$, а за цялата генерална съвкупност – на $n$:

$s^2 = \dfrac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n - 1} \qquad \sigma^2 = \dfrac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}$

Стандартно отклонение

Стандартното отклонение е корен квадратен от дисперсията, затова се измерва в същите единици като числата:

$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}} \qquad \sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}}$

Квартили и екстремни стойности

Първият квартил $Q_1$ е медианата на долната половина на подредените числа, а третият квартил $Q_3$ е медианата на горната половина; при нечетно $n$ медианата не влиза в нито една от половините. Интерквартилният размах е $\text{IQR} = Q_3 - Q_1$. Число, което е по-малко от $Q_1 - 1{,}5 \cdot \text{IQR}$ или по-голямо от $Q_3 + 1{,}5 \cdot \text{IQR}$, се нарича екстремна стойност.

Пример

Нека $X = \{1, -2, 3, 0, 2, 3, 1, -1, 3, 5\}$. Зареди примера

Броят на числата е $n = 10$, а сборът им е $\sum x_i = 15$, следователно средното аритметично е $\bar{x} = \dfrac{15}{10} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$.

Подредени по големина: $-2, -1, 0, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 5$. Тъй като $n$ е четно, медианата е $\dfrac{1 + 2}{2} = 1{,}5$. Модата е $3$ (среща се 3 пъти), а размахът е $5 - (-2) = 7$.

Отклоненията от средното аритметично и техните квадрати:
$x_i - \bar{x} = -\frac{1}{2}, -\frac{7}{2}, \frac{3}{2}, -\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{5}{2}, \frac{3}{2}, \frac{7}{2}$

$(x_i - \bar{x})^2 = \frac{1}{4}, \frac{49}{4}, \frac{9}{4}, \frac{9}{4}, \frac{1}{4}, \frac{9}{4}, \frac{1}{4}, \frac{25}{4}, \frac{9}{4}, \frac{49}{4}$

$\sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{x})^2 = \dfrac{81}{2}$

Дисперсия и стандартно отклонение на извадката (делим на $n - 1 = 9$):
$s^2 = \dfrac{81}{2 \cdot 9} = \dfrac{81}{18} = \dfrac{9}{2} = 4{,}5 \qquad s = \sqrt{\dfrac{9}{2}} = \dfrac{3}{2}\sqrt{2} \approx 2{,}1213$

Дисперсия и стандартно отклонение на генералната съвкупност (делим на $n = 10$):
$\sigma^2 = \dfrac{81}{2 \cdot 10} = \dfrac{81}{20} = 4{,}05 \qquad \sigma = \sqrt{\dfrac{81}{20}} = \dfrac{9}{10}\sqrt{5} \approx 2{,}0125$

Квартили: долната половина е $-2, -1, 0, 1, 1$, следователно $Q_1 = 0$; горната половина е $2, 3, 3, 3, 5$, следователно $Q_3 = 3$ и $\text{IQR} = 3$. Границите са $0 - 1{,}5 \cdot 3 = -4{,}5$ и $3 + 1{,}5 \cdot 3 = 7{,}5$ и всички числа са между тях, затова няма екстремни стойности.

Коя средна стойност да използвам?

Средното аритметично използва всички числа, затова описва данните най-добре, когато числата са разпределени равномерно. Едно много голямо или много малко число обаче силно го измества. Медианата зависи само от средата на подредените числа, затова няколко крайни стойности почти не я променят. Модата е единствената средна стойност, която има смисъл и за данни, които изобщо не са числа – например най-предпочитания цвят.

Например деветима служители в малка фирма получават месечно (в хиляди евро) $2;\ 2;\ 2;\ 2{,}5;\ 3;\ 3{,}5;\ 4;\ 4{,}5$ и $20$. Средното аритметично е $\dfrac{43{,}5}{9} \approx 4{,}83$ – повече, отколкото получават осем от деветимата. Медианата, $3$, описва типичната заплата много по-добре, а модата, $2$, е най-честата заплата. Когато данните са толкова несиметрични, посочвайте медианата.

Защо делим на $n - 1$?

Когато числата са извадка, средното им аритметично $\bar{x}$ също е пресметнато от извадката, а числата от извадката средно са по-близо до $\bar{x}$, отколкото до истинското средно на генералната съвкупност. Затова сборът $\sum (x_i - \bar{x})^2$ излиза малко по-малък, а делението на $n - 1$ вместо на $n$ поправя това: средната стойност на $s^2$ е точно дисперсията на генералната съвкупност. Тази поправка се нарича поправка на Бесел.

Може да се погледне и така: отклоненията $x_i - \bar{x}$ винаги имат сбор $0$, затова, щом знаем $n - 1$ от тях, последното е определено. Свободни са само $n - 1$ отклонения – казваме, че извадката има $n - 1$ степени на свобода. За цялата генерална съвкупност няма какво да оценяваме, затова делим на $n$.

Задачи за упражнение

1. Намерете средното аритметично, медианата и модата на числата $3, 7, 7, 2, 9, 7, 4$.
   Решение

   Подредени: $2, 3, 4, 7, 7, 7, 9$. Средното аритметично е $\dfrac{39}{7} \approx 5{,}57$, медианата е четвъртото число, $7$, а модата е $7$ (среща се 3 пъти).
2. Средното аритметично на пет числа е $12$. Четири от тях са $10$, $15$, $8$ и $14$. Намерете петото число.
   Решение

   Сборът на петте числа е $5 \cdot 12 = 60$, а сборът на четирите известни е $10 + 15 + 8 + 14 = 47$, следователно петото число е $60 - 47 = 13$.
3. Намерете стандартното отклонение на извадката и на генералната съвкупност за числата $4, 8, 6, 2$.
   Решение

   $\bar{x} = \dfrac{20}{4} = 5$. Отклоненията са $-1, 3, 1, -3$, а сборът от квадратите им е $1 + 9 + 1 + 9 = 20$. Следователно $s = \sqrt{\dfrac{20}{3}} \approx 2{,}58$ и $\sigma = \sqrt{\dfrac{20}{4}} = \sqrt{5} \approx 2{,}24$.
4. Намерете квартилите и интерквартилния размах на числата $1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 12, 15$. Има ли екстремни стойности?
   Решение

   $n = 9$ е нечетно, затова пропускаме медианата $7$. От долната половина $1, 3, 4, 6$ получаваме $Q_1 = \dfrac{3 + 4}{2} = 3{,}5$, а от горната половина $8, 10, 12, 15$ получаваме $Q_3 = \dfrac{10 + 12}{2} = 11$, следователно $\text{IQR} = 7{,}5$. Границите са $3{,}5 - 1{,}5 \cdot 7{,}5 = -7{,}75$ и $11 + 1{,}5 \cdot 7{,}5 = 22{,}25$; няма числа извън тях, значи няма екстремни стойности.
5. Петима ученици решили един тест съответно за $12$, $14$, $13$, $15$ и $61$ минути. Кое описва по-добре типичното време – средното аритметично или медианата?
   Решение

   Средното аритметично е $\dfrac{115}{5} = 23$ минути – повече от времето на четирима от петимата, заради единия бавен ученик. Медианата, $14$ минути, описва типичното време по-добре.

Проверете отговорите с калкулатора в началото на страницата.