Асимптоти на функция - калкулатор с решение стъпка по стъпка

Въведете функция на $x$. Калкулаторът намира вертикалните, хоризонталните и наклонените асимптоти на функцията, показва стъпка по стъпка как се намират границите, които ги определят, и чертае графиката на функцията заедно с асимптотите.

Как се въвежда функцията

• Степените се записват с ^: x^2 е $x^2$, e^(2x) е $e^{2x}$, а 2^x е $2^x$.
• Знакът за умножение може да се пропусне: 2x, 3(x+1), x e^(1/x). Може да пишете и 2*x.
• (x^2+1)/(x-2) е $\frac{x^2+1}{x-2}$: поставете числителя и знаменателя в скоби.
• sqrt(x) е $\sqrt{x}$, cbrt(x) или x^(1/3) е $\sqrt[3]{x}$, а root(x, 4) е $\sqrt[4]{x}$.
• ln(x) е натуралният логаритъм, lg(x) и log(x) са десетичният логаритъм, а log_2(x) е $\log_2 x$.
• sin(x), cos(x), tg(x), cotg(x), arcsin(x), arccos(x), arctg(x), sh(x), ch(x), th(x).
• |x| е модулът (абсолютната стойност), pi е $\pi$, а e е числото $e$.
• Може да въведете и f(x) = ... или y = .... Функцията може да съдържа само една буква – променливата си.

Примери: $\frac{x^2 + 1}{x - 2}$ $\frac{2x^2 - 3x}{x^2 - 4}$ $\frac{x^3}{x^2 - 1}$ $\sqrt{x^2 + 2x}$ $x e^{\frac{1}{x}}$ $\frac{\ln x}{x}$ $\operatorname{arctg} x$ $\operatorname{tg} x$

Как се намират асимптотите на функция

Асимптота на функция е права, до която графиката на функцията се доближава неограничено, когато графиката се отдалечава към безкрайност. Асимптотите са три вида и всеки вид се намира с граници.

Вертикални асимптоти

Правата ${x = a}$ е вертикална асимптота на $f$, когато поне една от едностранните граници на $f$ в точката $a$ е безкрайна:

Такава точка не принадлежи на дефиниционното множество на $f$, затова проверяваме краищата му: нулите на знаменател, точките, в които аргументът на логаритъм клони към 0, точките, в които $\operatorname{tg} x$ не е дефиниран. Ако границата в такава точка е крайна, правата не е асимптота: функцията ${f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}}$ има отстранимо прекъсване при ${x = 1}$, защото ${\frac{x^2 - 1}{x - 1} = x + 1}$ при ${x \neq 1}$.

Хоризонтални асимптоти

Правата ${y = b}$ е хоризонтална асимптота при ${x \to +\infty}$, когато ${\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = b}$, и при ${x \to -\infty}$, когато ${\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = b}$. Двете могат да са различни: $\operatorname{arctg} x$ има хоризонтална асимптота ${y = \frac{\pi}{2}}$ вдясно и ${y = -\frac{\pi}{2}}$ вляво, а $e^x$ има асимптота ${y = 0}$ само вляво.

Наклонени асимптоти

Правата ${y = kx + b}$ с ${k \neq 0}$ е наклонена асимптота при ${x \to +\infty}$, когато ${f(x) - (kx + b) \to 0}$. Ъгловият ѝ коефициент и свободният ѝ член се намират с две граници:

И двете граници трябва да са крайни. Същото важи и при ${x \to -\infty}$. Хоризонталната асимптота е случаят ${k = 0}$, затова във всяка от двете посоки функцията има или хоризонтална асимптота, или наклонена, или нито една от тях.

Асимптоти на дробно-рационални функции

За дробно-рационалната функция ${f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}}$ първо съкращаваме общите множители на $P$ и $Q$. След това:

• всяка нула $a$ на знаменателя дава вертикална асимптота ${x = a}$;
• ако степента на $P$ е по-малка от степента на $Q$, хоризонталната асимптота е ${y = 0}$;
• ако степените са равни, хоризонталната асимптота е ${y = \frac{a}{b}}$, където $a$ и $b$ са старшите коефициенти на $P$ и $Q$;
• ако степента на $P$ е с 1 по-голяма от степента на $Q$, делим $P$ на $Q$: частното ${kx + b}$ дава наклонената асимптота ${y = kx + b}$;
• ако степента на $P$ е с повече от 1 по-голяма, няма хоризонтални и наклонени асимптоти.

Например ${\frac{x^2 + 1}{x - 2} = x + 2 + \frac{5}{x - 2}}$, затова асимптотите са ${x = 2}$ и ${y = x + 2}$. Дробно-рационалната функция има една и съща хоризонтална или наклонена асимптота при ${x \to +\infty}$ и при ${x \to -\infty}$.

Примери според вида на функцията

Щракнете върху пример, за да видите решението.

1. Дробно-рационални функции. Нулите на знаменателя, степените, делението. Примери: $\frac{2x^2 - 3x}{x^2 - 4}$, $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$, $\frac{x^3 + 2}{x^2 - 1}$
2. Ирационални функции. Тъй като ${\sqrt{x^2} = |x|}$, коренът може да има една асимптота при ${x \to +\infty}$ и друга при ${x \to -\infty}$.
   ${\sqrt{x^2 + 2x} = |x| \sqrt{1 + \frac{2}{x}}}$
   Примери: $\sqrt{x^2 + 2x}$, $\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$, $x - \sqrt{x^2 - 4}$
3. Показателни функции. ${e^x \to 0}$ при ${x \to -\infty}$, а при ${x \to +\infty}$ расте по-бързо от всяка степен на $x$. Примери: $\frac{e^x}{x}$, $\frac{1}{1 + e^x}$, $x e^{\frac{1}{x}}$
4. Логаритмични функции. ${\ln x \to -\infty}$ при ${x \to +0}$, а при ${x \to +\infty}$ расте по-бавно от всяка степен на $x$. Примери: $\frac{\ln x}{x}$, $\ln\frac{x + 1}{x - 1}$, $\frac{1}{\ln x}$
5. Тригонометрични функции. $\operatorname{tg} x$ има вертикални асимптоти ${x = \frac{\pi}{2} + k\pi}$, а $\operatorname{arctg} x$ – хоризонтални асимптоти ${y = \pm\frac{\pi}{2}}$. Функция, която осцилира, като $\sin x$, няма граница в безкрайност. Примери: $\operatorname{tg} x$, $x \operatorname{arctg} x$, $\frac{\sin x}{x}$

Още по темата

Програма за чертаене на графики на функции Координатни системи и графики на функции Функции Деление на многочлени - калкулатор