Синусова, косинусова, тангенсова теорема

Синусова теорема

Лицето на триъгълник ABC се измерва чрез формулите:

$S = \frac{a\cdot c \cdot \sin(B)}{2} = \frac{b \cdot c \cdot \sin(A)}{2} = \frac{a \cdot b \cdot \sin(C)}{2}$

$a\cdot c \cdot \sin(B) = b\cdot c \cdot \sin(A) = a \cdot b \cdot \sin(C)$

разделяме на a.b.c, и получаваме синусова теорема

$\frac{a}{\sin(A)}=\frac{b}{\sin(B)}=\frac{c}{\sin(C)}$

Нека R е радиуса на кръга описан около триъгълник ABC

Нека B' е секущата на правата BO и кръга. Ъгъл B' в триъгълник BB'C е равен на A, и BB'C е правоъгълен триъгълник
=> a = 2Rsin(B') = 2Rsin(A) =>:

$\frac{a}{\sin(A)}=\frac{b}{\sin(B)}=\frac{c}{\sin(C)}=2R$

Косинусова теорема

a² = b² + c² - 2b.c.cos(∠A)
b² = c² + a² - 2c.a.cos(∠B)
c² = a² + b² - 2a.b.cos(∠C)

a, b, c са дължините на страните

Тангенсова теорема

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{ \text{tg}\left[\frac{1}{2}(A - B)\right] }{ \text{tg}\left[\frac{1}{2}(A + B)\right] }$

$\frac{b-c}{b+c}=\frac{ \text{tg}\left[\frac{1}{2}(B - C)\right] }{ \text{tg}\left[\frac{1}{2}(B + C)\right] }$

$\frac{a-c}{a+c}=\frac{ \text{tg}\left[\frac{1}{2}(A - C)\right] }{ \text{tg}\left[\frac{1}{2}(A + C)\right] }$

a, b, c са дължините на страните, а A, B и C са ъглите в триъгълник ABC.

Задача от синусова теорема

Дължината на окръжността,описана около равнобедрен триъгълник, е два пътипо-голяма от дължината нa вписаната в него окръжност.Намерете мерките на ъглите на триъгълника

Решение
На фигурата е начертан даденият триъгълник ABC(AC = BC). Oписаната около него окръжност има дължина 2πR, а вписаната 2πr, като 2πR / 2πr = R/r = 2, т.е R = 2r. За да намерим ъглите α, β, γ на триъгълника АВС, трябва да изразим R и r чрез тях. Начертаваме ъглополовящите на триъгълник АВС, като CD е и медиана. Те се пресичат в центъра О на вписаната окръжност.

От триъгълник АDO получаваме OD/AD = tg(α/2), т.е. r = (c/2)(tgα/2) Стремим се с и α да изразим чрез R:
c/sinγ = 2R, γ = 180α - 2.α,
R = c/[2sin(180 - 2α) ] = c/2sin2α От R = 2r получаваме с/2sin2α = 2.(с/2)tg(α/2) = 1 <=> 4sinα.cosα.tg(α/2) = 1 е тригонометрично уравнение за α.
Ще го решим, като изразим sinα и cosα чрез tg(α/2):
sinα = (2tg(α/2))/(1 + tg²(α/2))
cosα = (1 - tg²(α/2))/(1 + tg²(α/2))
4tg(α/2).[2tg(α/2)/(1 + tg²(α/2))][(1 - tg²(α/2))/(1 + tg²(α/2))] = 1
Полагаме tg(α/2) = u и получаваме: 8u²(1 – u²) = 1 + u⁴ + 2u² <=> 9u⁴ - 6u² + 1 = 0 <=> (3u² - 1)² = 0
u² = 1/3, u = ± 1/√3, tg(α/2) = ± 1/√3. Но α/2 е остър и следователно α/2 = 30°, α = 60°
β = γ = 60°

Още за синусова и косинусова теореми във форума

Още синусова във форума за математика