Сбор и разлика на вектори

Сбор на вектори

Нека са дадени векторите $\overrightarrow{MN}$, $\overrightarrow{PQ}$, $\overrightarrow{RS}$ и $\overrightarrow{TU}$. Построяваме с начало произволна точка $O$ вектора ${\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{MN}}$, след това с начало $A$ – вектора ${\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{PQ}}$, с начало $B$ – вектора ${\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{RS}}$ и с начало $C$ – вектора ${\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{TU}}$.

Векторът $\overrightarrow{OD}$ с начало – началото $O$ на първия вектор, и с край – края $D$ на последния вектор, както и всеки равен на него вектор, се нарича сбор (резултанта) на векторите $\overrightarrow{MN}$, $\overrightarrow{PQ}$, $\overrightarrow{RS}$ и $\overrightarrow{TU}$, а те се наричат негови събираеми (компоненти).

${\overrightarrow{OD}}={\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}}+{\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}}={\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ}}+{\overrightarrow{RS}+\overrightarrow{TU}}$

Това е правилото на многоъгълника. При две събираеми то е правилото на триъгълника: ${\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}}$ (вижте също правилото на успоредника).

До същата резултанта стигаме, ако изберем за начало друга точка $O'$, както и ако променим реда на събираемите (разместителен закон). На чертежа с пунктир е разменен редът на второто и третото събираемо: ${\overrightarrow{AB_1}=\overrightarrow{RS}}$ и ${\overrightarrow{B_1C}=\overrightarrow{PQ}}$. Резултантата е същата: по построение ${\overrightarrow{AB_1}=\overrightarrow{RS}=\overrightarrow{BC}}$, затова четириъгълникът $ABCB_1$ е успоредник и ${\overrightarrow{B_1C}=\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{PQ}}$, т.е. пунктирният път също завършва в точката $C$.

Събирането е и съдружително: ${(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}}={\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})}$, затова при сбор на няколко вектора скоби не са нужни.

Ако краят на последното събираемо съвпадне с началото на първото, резултантата е нулевият вектор. Например при ${F\equiv A}$

${\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}}+{\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EF}}={\overrightarrow{AF}}={\overrightarrow{AA}}={\vec{0}}$.

Разлика на два вектора

Нека $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ са вектори. Търсим вектор $\overrightarrow{XY}$, за който ${\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{CD}}$.

Векторът $\overrightarrow{XY}$, както и всеки равен на него вектор, се нарича разлика на векторите $\overrightarrow{CD}$ и $\overrightarrow{AB}$. Пишем ${\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{AB}}$.

Разликата се построява, като от обща точка $O$ нанесем векторите ${\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{AB}}$ и ${\overrightarrow{OY}=\overrightarrow{CD}}$. Векторът $\overrightarrow{XY}$ има желаното свойство, защото по определението за сбор ${\overrightarrow{OX}+\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{OY}}$, т.е. ${\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{CD}}$.

Разликата може да се построи и като сбор: ${\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{AB}}={\overrightarrow{CD}+(-\overrightarrow{AB})}$, където $-\overrightarrow{AB}$ е векторът, противоположен на $\overrightarrow{AB}$.

Сегменти върху ос

Теорема 1. Релативната мярка на сбора от два сегмента, взети последователно върху една ос, е равна на сбора от релативните им мерки: ${\overline{AB}+\overline{BC}=\overline{AC}}$.

Нека на оста е избрана начална точка $O$. Абсциса на точката $A$ е релативната мярка ${x_A=\overline{OA}}$.

Теорема 2. Релативната мярка на сегмент върху ос е равна на разликата от абсцисите на края и на началото му: ако точките $A$ и $B$ имат абсциси $x_A$ и $x_B$, то ${\overline{AB}=x_B-x_A}$.

Наистина, по теорема 1 ${\overline{OA}+\overline{AB}=\overline{OB}}$, т.е. ${x_A+\overline{AB}=x_B}$.

Например, ако ${x_A=2}$ и ${x_B=-3}$, то ${\overline{AB}=-3-2=-5}$: сегментът има дължина 5 и е противопосочен на оста.

Още за векторите: Вектори · Вектори – определения · Равенство на вектори · Произведение на вектор с число · Задачи за вектори