Втори и трети признак за еднаквост на триъгълници

Задачи върху първи признак за еднаквост на триъгълници

Втори признак за еднаквост на два триъгълника:

2 признак следствие:

Трети признак за еднаквост на два триъгълника:

Задачи

Задача 1
Дадено:
Триъгълник ABC е равнобедрен.
AM и BN са ъглополовящи.
Докажете, че AM = BN.

Доказателство:
Да разгледаме триъгълници АМВ и ВNА
1. САВ = СВА (ъгли при основата на равнобедрен триъгълник)
2. АВ – обща.
3. МАВ = NВА = ¹/₂ САВ.
Следователно триъгълниците са еднакви по ІІ признак.

Отсечките АМ и ВN са съответни в тези еднакви триъгълници и следователно АМ = ВN.

Задача 2
Дадено:
ABC - триъгълник,
CM - медиана,
AA₁ ⊥ CM и BB₁ ⊥ CM.
Докажете, че АА₁ = ВВ₁.

Доказателство:
Триъгълниците АА₁М и ВВ₁М са еднакви (ІІ признак), защото
1. ВВ₁М = АА₁М = 90°,
2. АМА₁ = ВМB₁ противоположни,
3. АМ = ВМ.

Следователно АА₁ = ВВ₁ като съответни страни в тези два еднакви триъгълника.

Задача 3
Докажете, че перпендикулярите спуснати от произволна точка на ъглополовящата на даден ъгъл към раменете му, отсичат от тях отсечки с равни дължини.

Доказателство:
Нека за АОВ точка М е произволна точка от ъглополовящата му ОL(фиг.40)
Нека МР ОА , а МQ ОВ За да докажем, че ОР = ОQ, достатъчно е да докажем, че △ОРМ △ОQМ . Но △ОРМ △ОQМ(ІІпризнак), защото ОМ = ОМ, QОМ = РОМ (ОL е ъглополовяща), ОQМ = ОРМ = 90°, откъдето следва, че ОР = О

Задача 4
Докажете, че ако в един триъгълник височината и ъглополовящата му, прекарани през един и същи връх съвпадат, то триъгълникът е равнобедрен.

Доказателство:
Нека за △АВС височината и ъглополовящата примерно през върха С съвпадат.
За да докажем, че △АВС е равнобедрен трябва да докажем, че АС = ВС.

Достатъчно е да докажем, че △АPС и △ВPС са еднакви.
Но △АPС △ВPС (по ІІ признак), защото:
1. АСP = ВСP (СP е ъглополовяща);
2. CPА = СPВ = 90° (СP е височина);
3. СD е обща страна.
Тъй като 2-та триъгълника са еднакви следва, че АС = ВС, т.е. триъгълник ABC е равнобедрен.

Задача 5

Дадено:
AB = A₁B₁
BC = B₁C₁
AM = A₁M₁ - медиани
Докажете, че △ABC ≅ △A₁B₁C₁

Доказателство:
Да разгледаме триъгълници ABM и A₁B₁M₁.
1. AB = A₁B₁
2. AM = A₁M₁
3. М е среда на BC ⇒ BM = $\frac{1}{2}$BC
М₁ е среда на B₁C₁ ⇒ B₁M₁ = $\frac{1}{2}$B₁C₁
Тъй като BC = B₁C₁ следва, че
BM = B₁M₁

⇒ △ABM ≅ △A₁B₁M₁(трети признак).
Следователно, ABC = A₁B₁C₁

Нека да разгледаме триъгълници △ABC и △A₁B₁C₁
1. AB = A₁B₁
2. BC = B₁C₁
3. ABC = A₁B₁C₁
Следователно триъгълниците ABC и A₁B₁C₁ са еднакви по първи признак.

Подобни страници:

Задачи върху първи признак за еднаквост на триъгълници

Форум за триъгълници