Втори и трети признак за еднаквост на триъгълници

На тази страница решаваме задачи с втория и третия признак за еднаквост и със следствието от втория признак. Задачи върху първия признак има на страницата Задачи върху първи признак за еднаквост, а теорията е на страницата Еднаквост на триъгълници.

Втори признак за еднаквост

Ако страна и двата прилежащи към нея ъгъла от един триъгълник са съответно равни на страна и двата прилежащи към нея ъгъла от друг триъгълник, то триъгълниците са еднакви.

Следствие: два ъгъла и страна

Ако два ъгъла и страна срещу единия от тях от един триъгълник са съответно равни на два ъгъла и съответната страна от друг триъгълник, то триъгълниците са еднакви.

Следствието се получава от втория признак: третите ъгли също са равни, защото сборът от ъглите на всеки триъгълник е ${180^\circ}.$

Трети признак за еднаквост

Ако трите страни на един триъгълник са съответно равни на трите страни на друг триъгълник, то триъгълниците са еднакви.

Задачи

Задача 1

В равнобедрения триъгълник $ABC$ имаме ${AC=BC},$ а $AM$ и $BN$ са ъглополовящите на ъглите при основата. Докажете, че ${AM=BN}.$

Решение. Разглеждаме триъгълниците $ABM$ и $BAN.$

1. $AB$ е обща страна.
2. ${\sphericalangle ABM=\sphericalangle BAN},$ защото ъглите при основата на равнобедрен триъгълник са равни.
3. ${\sphericalangle BAM=\sphericalangle ABN},$ защото всеки от тях е половината от ъгъл при основата.

И в двата триъгълника страната $AB$ е между двата ъгъла, затова по втори признак ${\triangle ABM\cong\triangle BAN}.$ Отсечките $AM$ и $BN$ са съответни страни, затова ${AM=BN}.$

Задача 2

$CM$ е медиана на триъгълника $ABC.$ Отсечките $AA_1$ и $BB_1$ са перпендикулярни на правата $CM$ (точките $A_1$ и $B_1$ лежат на тази права). Докажете, че ${AA_1=BB_1}.$

Решение. Разглеждаме правоъгълните триъгълници $AA_1M$ и $BB_1M.$

1. ${AM=BM},$ защото $CM$ е медиана.
2. ${\sphericalangle AMA_1=\sphericalangle BMB_1}$ като връхни ъгли.
3. ${\sphericalangle AA_1M=\sphericalangle BB_1M=90^\circ}.$

Равните страни $AM$ и $BM$ лежат срещу правите ъгли, затова по следствието от втория признак ${\triangle AA_1M\cong\triangle BB_1M}$ и ${AA_1=BB_1}.$ (Ако ${CM\perp AB},$ точките $A_1,$ $B_1$ и $M$ съвпадат и твърдението е очевидно.)

Задача 3

Докажете, че всяка точка от ъглополовящата на ъгъл е на равни разстояния от раменете на ъгъла.

Решение. Нека $M$ е точка от ъглополовящата $OL$ на ъгъла $AOB,$ а ${MP\perp OA}$ и ${MQ\perp OB}.$ Разглеждаме триъгълниците $OPM$ и $OQM.$

1. $OM$ е обща страна.
2. ${\sphericalangle POM=\sphericalangle QOM},$ защото $OL$ е ъглополовяща.
3. ${\sphericalangle OPM=\sphericalangle OQM=90^\circ}.$

По следствието от втория признак ${\triangle OPM\cong\triangle OQM},$ затова ${MP=MQ}.$ Перпендикулярите отсичат от раменете и равни отсечки: ${OP=OQ}.$

Задача 4

Докажете, че ако височината и ъглополовящата, прекарани от един и същи връх на триъгълник, съвпадат, то триъгълникът е равнобедрен.

Решение. Нека $CP$ е едновременно височина и ъглополовяща от върха $C.$ Разглеждаме триъгълниците $APC$ и $BPC.$

1. $CP$ е обща страна.
2. ${\sphericalangle ACP=\sphericalangle BCP},$ защото $CP$ е ъглополовяща.
3. ${\sphericalangle APC=\sphericalangle BPC=90^\circ},$ защото $CP$ е височина.

Страната $CP$ е между двата ъгъла, затова по втори признак ${\triangle APC\cong\triangle BPC}$ и ${AC=BC}.$ Триъгълникът е равнобедрен.

Задача 5

Докажете, че триъгълник с два равни ъгъла е равнобедрен: ако в триъгълника $ABC$ имаме ${\sphericalangle A=\sphericalangle B},$ то ${AC=BC}.$

Решение. Построяваме ъглополовящата $CD$ на ъгъла при $C.$ Разглеждаме триъгълниците $ACD$ и $BCD.$

1. ${\sphericalangle A=\sphericalangle B}$ (по условие).
2. ${\sphericalangle ACD=\sphericalangle BCD},$ защото $CD$ е ъглополовяща.
3. $CD$ е обща страна.

Страната $CD$ лежи срещу ъгъла $A$ в първия триъгълник и срещу равния му ъгъл $B$ във втория, затова по следствието от втория признак ${\triangle ACD\cong\triangle BCD}.$ Следователно ${AC=BC}.$ Заедно със задача 3 от страницата Задачи върху първи признак това показва, че един триъгълник е равнобедрен точно когато има два равни ъгъла.

Задача 6

За триъгълниците $ABC$ и $A_1B_1C_1$ е известно, че ${AB=A_1B_1},$ ${BC=B_1C_1},$ а медианите $AM$ и $A_1M_1$ към страните $BC$ и $B_1C_1$ са равни. Докажете, че ${\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1}.$

Решение. $M$ и $M_1$ са среди на страните, затова ${BM}={\frac12\,BC}={\frac12\,B_1C_1}={B_1M_1}.$ За триъгълниците $ABM$ и $A_1B_1M_1$ имаме:

1. ${AB=A_1B_1};$
2. ${BM=B_1M_1};$
3. ${AM=A_1M_1}.$

По трети признак ${\triangle ABM\cong\triangle A_1B_1M_1},$ затова ${\sphericalangle B=\sphericalangle B_1}.$ Сега триъгълниците $ABC$ и $A_1B_1C_1$ имат ${AB=A_1B_1},$ ${\sphericalangle B=\sphericalangle B_1}$ и ${BC=B_1C_1},$ така че по първи признак ${\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1}.$

Задача 7

В равнобедрения триъгълник $ABC$ имаме ${AC=BC},$ а $M$ е средата на основата $AB.$ Докажете, че ${CM\perp AB}$ и че $CM$ разполовява ъгъла при $C.$

Решение. За триъгълниците $AMC$ и $BMC$ имаме ${AC=BC},$ ${AM=BM}$ и обща страна $CM.$ По трети признак ${\triangle AMC\cong\triangle BMC}.$ Затова ${\sphericalangle ACM=\sphericalangle BCM}$ и ${\sphericalangle AMC=\sphericalangle BMC}.$ Последните два ъгъла са съседни със сбор ${180^\circ},$ затова всеки от тях е ${90^\circ}.$

Задача 8

В изпъкналия четириъгълник $ABCD$ срещуположните страни са равни: ${AB=CD}$ и ${BC=DA}.$ Докажете, че ${\sphericalangle B=\sphericalangle D}$ и ${AB\parallel CD}.$

Решение. Построяваме диагонала $AC.$ За триъгълниците $ABC$ и $CDA$ имаме ${AB=CD},$ ${BC=DA}$ и обща страна $AC.$ По трети признак ${\triangle ABC\cong\triangle CDA}.$

Затова ${\sphericalangle B=\sphericalangle D},$ а също и ${\sphericalangle BAC=\sphericalangle DCA}.$ Това са кръстни ъгли при правите $AB$ и $CD$ и пресечницата $AC,$ затова ${AB\parallel CD}.$ По същия начин ${BC\parallel AD}:$ четириъгълникът е успоредник.

Задача 9

В четириъгълника $ABCD$ (делтоид) ${AB=AD}$ и ${CB=CD}.$ Докажете, че диагоналът $AC$ разполовява ъглите при $A$ и при $C.$

Решение. За триъгълниците $ABC$ и $ADC$ имаме ${AB=AD},$ ${CB=CD}$ и обща страна $AC.$ По трети признак ${\triangle ABC\cong\triangle ADC},$ затова ${\sphericalangle BAC=\sphericalangle DAC}$ и ${\sphericalangle BCA=\sphericalangle DCA}.$

Задача 10

Отсечките $AB$ и $CD$ се пресичат в точката $O,$ която е среда на $AB,$ като ${AC\parallel BD}.$ Докажете, че $O$ е среда и на $CD.$

Решение. Разглеждаме триъгълниците $AOC$ и $BOD.$

1. ${AO=BO},$ защото $O$ е средата на $AB.$
2. ${\sphericalangle OAC=\sphericalangle OBD}$ като кръстни ъгли при успоредните прави $AC$ и $BD$ и пресечницата $AB.$
3. ${\sphericalangle AOC=\sphericalangle BOD}$ като връхни ъгли.

Страната $AO$ е между ъглите при $A$ и $O,$ а $BO$ – между ъглите при $B$ и $O.$ По втори признак ${\triangle AOC\cong\triangle BOD},$ затова ${OC=OD}.$

Задачи за упражнение

Решете ги сами, след това отворете решението.

1. Докажете, че в равнобедрен триъгълник височините към бедрата са равни.

Нека ${AC=BC},$ а $AA_1$ и $BB_1$ са височините към бедрата. Правоъгълните триъгълници $ABA_1$ и $BAB_1$ имат обща хипотенуза $AB$ и равни ъгли ${\sphericalangle ABA_1=\sphericalangle BAB_1}.$ По следствието от втория признак те са еднакви, затова ${AA_1=BB_1}.$

2. Докажете, че в еднакви триъгълници медианите към съответните страни са равни.

Ако ${\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1},$ а $M$ и $M_1$ са средите на $BC$ и $B_1C_1,$ то ${AB=A_1B_1},$ ${\sphericalangle B=\sphericalangle B_1}$ и ${BM=B_1M_1}.$ По първи признак ${\triangle ABM\cong\triangle A_1B_1M_1},$ затова ${AM=A_1M_1}.$

3. Точката $M$ е на равни разстояния от краищата на отсечката $AB,$ ${MA=MB}.$ Докажете, че $M$ лежи на симетралата на $AB.$

Нека $O$ е средата на $AB.$ Триъгълниците $MOA$ и $MOB$ имат ${MA=MB},$ ${OA=OB}$ и обща страна $MO.$ По трети признак те са еднакви, затова равните съседни ъгли $MOA$ и $MOB$ са прави: $MO$ е симетралата.

4. За триъгълниците $ABC$ и $DEF$ е известно, че ${\sphericalangle A=\sphericalangle D},$ ${\sphericalangle C=\sphericalangle F}$ и ${AB=DE}.$ Еднакви ли са триъгълниците?

Да, по следствието от втория признак: страните $AB$ и $DE$ лежат срещу равните ъгли $C$ и $F.$