Задачи по геометрия за 9 клас

Част I

Задачите са от сип на ПМГ Стара Загора.

Задачите са с повишена трудност и са подходящи за подготовка на кандидат-студенти.

1. В триъгълник са дадени страна a, срещулежащ за нея ъгъл α и височина h към дадената страна. Да се намери сумата на другите две страни на триъгълника. Отг.√a² + 2ahcotgα/2

2. В триъгълника ABC са дадени A = α, C = γ (α > γ; α, γ < 90^o). Отсечките BD(D AC) и BE (E AC) са съответно височина и медиана в дадения триъгълник. Да се намери лицето на триъгълника BDE, ако лицето на триъгълника ABC е равно на S.
        Отг. [Ssin(α - γ)]/[2sin(α + γ)].

3. Бедрата на трапец имат съответно дължини p и q(p < q), а голямата му основа – дължина a. Ъглите при голямата основа на трапеца се отнасят както 2:1. Да се намери малката основа на трапеца.
        Отг. (p² + ap - q²)/p

4. Медианата BD(D AC) и ъглополовящата CE(E AB) на триъгълника ABC се пресичат в точката K. Да се намери отношението CK:KE, ако A = α и B = β.
        Отг.[{2sin(alpha; + β)/2}.{cos(alpha; - β)/2}]/sinα

5. Страните на успоредник се отнасят както p : q, а диагоналите му се отнасят както n : m(n > m). Да се намери косинуса на острия ъгъл на успоредника.
        Отг.(p² + q²)(n² - m²)/2pq(n² + m²)

6. В равнобедрен триъгълник с основа a и прилежащ към основата ъгъл α е вписана окръжност. Втора окръжност се допира до първата и до бедрата на триъгълника. Да се намери радиуса на втората окръжност.
        Отг.(a/2).tg³α/2

7. Диагоналите на четириъгълник имат дължини съответно √7 и 4 и разделят четириъгълника на четири триъгълника, чиито лица образуват аритметична прогресия. Да се намери лицето на четириъгълника, ако е известно, че ъгълът между по-големия диагонал и най-малката страна е 30^o .
        Oтг.3√3

8. Продълженията на страните KN и LM на изпъкналия четириъгълник KLMN се пресичат в точката P, а продълженията на страните KL и LM - в точката Q. Отсечката PQ и ъглополовящата на KQN са перпендикулярни. Да се намери KL, ако KQ = 12;NQ = 8 и S_KLMN = S_LQM .
        Отг. 4

9. Окръжност с радиус R минава през върха B на равнобедрения триъгълник ABC(AB = BC), допира се до правата AC в точката A и пресича отсечката BC в точката D. Да се намери AB, ако BD/DC = k.
        Отг. R√(4k + 3)/(k + 1).

10. Да се докаже, че за изпъкнал четириъгълник със страни a; b; c; d и лице S е вярно неравенството 4S ≤ a² + b² + c² + d².

Задачи по геометрия – част II

1. Нека AA₁ и CC₁ са височини в остроъгълния ABC. Лицата на триъгълниците АВС и BA₁C₁ са равни съответно на 18 и 2, а дължината на A₁C₁ е 2√2.Да се намери радиусът на описаната около ABC окръжност.

2. Радиусът на описаната около ABC окръжност има дължина R, ъглите на триъгълника α; β; γ образуват аритметична прогресия, α = 45^o и Н е ортоцентърът му. Точките L, M и N са симетрични на точката Н съответно относно страните ВС, АС и АВ. да се намери периметърът на шестоъгълника ANBLCM. (ТУ - София и УАСГ - София, 1991 г.)

3. Точката Н е ортоцентър на остроъгълния ABC. Лицето на ABH е √6. Разстоянията от центъра на окръжността описана около ABC до страните АС и ВС са равни съответно на √2 и 1.
    а) да се докаже, че АСВ = 60^o.
    6) да се пресметнат страните на ABC.

4. В ABC ъглополовящите АК и BL се пресичат в точка М. Отсечката KL има дължина 1, а точката С лежи на окръжността описана около KLM. Да се намерят страните и ъглите на KLM. (УАСГ - София, 1990 г.)

5. Разстоянията от центъра на вписаната в ABC окръжност до върховете A и B са равни съответно на √7 и √21 и ACB = 120^o. Да се намерят страните на ACB. (Университети, Педагогически и Технически ВУЗ, 1986 г.)

6. В ABC със страни АВ = 21,ВС = 20 и АС = 28, АК и CL са ъглополовящите съответно на ВАС и АСВ. да се намери отношението на лицата на триъгълниците АВС и ALK.

7. Нека AM, BN и СР са медиани в ABC(AC ≠ BC). Ако AM/AC = BN/BC, да се докаже, че:
    а) AM/AC = BN/BC = CP/AB = √3/2;
    6) правата, свързваща медицентъра и центъра на описаната окръжност около ABC е перпендикулярна на СР.

8. В правоъгълния триъгълник ABC(c = 90^o), CD е височината към АВ. Ако разстоянието между центровете на вписаните в ADC и CDB окръжности е √2‚ да се пресметне дължината на радиуса на вписаната в ABC окръжност.

9. Ортоцентърът на равнобедрен триъгълник лежи върху вписаната окръжност. Да се намери отношението, в което той дели височината към основата.

10. Да се намери страната на равностранен триъгълник, чийто върхове лежат на три успоредни прави, ако тези прави лежат в една равнина и средната от тях е на разстояния a и b от другите две.

11. Даден е ABC с ВАС = 120^o и радиуси на вписаната и описаната окръжности съответно r = √3 и R = 14√3/3. Да се пресметнат дължините на страните на триъгълника (СУ, 1992 г.)

12. В ABC, ВАС = 75^o, АВ = с и АС = b. Точката М лежи върху описаната около триъгълника окръжност, като ВАМ = 30^o, и САМ = 45^o. Да се пресметне дължината на отсечката АМ.

13. Да се намери отношението на страните на триъгълник, ако вписаната окръжност разделя една от медианите му на три равни части.

14. В ABC, ВАС - АВС = 90^o, ВС = а и СА = b. Да се намерят R, c, S, h_c и l_c.

15. Страните на ABC образуват аритметична прогресия с разлика d.
а) Ако c е дължината на средната по големина страна на ABC, да се докаже, че c² - 4d² = 12r²;
6) Да се намерят ъглите на триъгълника, ако лицето му се отнася към лицето на равностранен триъгълник със същия периметър, както 3:5. (УНСС - София, 1992 г.)

16. В четириъгълника ABCD диагоналите АС и ВD се пресичат в точка О. Да се докаже, че AB² + CD² = BC² + AD² - 2AC.BDcosAOB.

17. В четириъгълника АВСD, вписан в окръжност, ъглополовящите на ъглите при върховете А и В се пресичат в точка Е от страната СD.
а) Да се докаже, че АD + ВС = СD.
б) Ако CD/BC = m, да се намери отношението на лицата на ADE и BCE.

18. Окръжност с център във вътрешността на прав ъгъл се допира до едното му рамо, пресича другото му рамо в точките A и B и пресича ъглополовящата на правия ъгъл в точките C и D. Да се намери радиусът на окръжността, ако AB = √6 и CD = √7.

19. Да се докаже, че във всеки триъгълник е вярно равенството sinγ/2 = h_ah_b/l_c(h_a + h_b).

20. Да се докаже, че във всеки триъгълник е вярно равенството ab + bc + ca = p² + r² + 4Rr.