МенюНеравенства в триъгълника
Задачи по геометрия с повишена трудност за 9 клас.
Задачите са от сип по математика в ПМГ Стара Загора.
До края в изложението ще приемем, че триъгълникът АВС има лице S , периметър P и полупериметър p , дължините на страните са BC = a; CA = b; AB = c , а големините на ъглите са 
BAC = α; ABC = β; ACB = γ. Радиусите на вписаната и описаната окръжности са с дължини съответно r и R , височините към съответните страни имат дължини ha; hb; hc, медианите към съответните страни са с дължини ma; mb; mc, а ъглополовящите, прекарани към съответните страни, имат дължини la; lb; lc.
1. Установете, че за всеки триъгълник са в сила неравенствата
а) sinα/2 ≤ a/2√bc; sinβ/2 ≤ b/2√ca; sinγ/2 ≤ c/2√ab;
б) tgα/2 ≤ a/2ha; tgβ/2 ≤ b/2hb; tgγ/2 ≤ c/2hc.
2. Докажете, че за всеки триъгълник е в сила r/R ≤ 2(1 - sinα/2)sinα/2.
3. Докажете, че за всеки триъгълник е в сила неравенството R ≥ 2r.
4. Установете, че ако α; β; γ са ъгли в триъгълник, то са изпълнени неравенствата
а) cosα + cosβ + cosγ ≤ 3/2; б) sinα/2 + sinβ/2 + sinγ/2 ≤ 3/2.
5. Докажете, че за всеки триъгълник е в сила равенството r = 4Rsinα/2sinβ/2sinγ/2.
б. Установете, че за всеки триъгълник са изпълнени неравенствата
а) sinα/2sinβ/2sinγ/2 ≤ 1/8
б) cosαcosβcosγ ≤ 1/8.
7. Докажете, че за всеки триъгълник са в сила зависимостите
а) 1/2r < 1/ha + 1/hb < 1/r;
б) 3/4r < 1/ha + 1/hb +1/hc < 3/2r;
в) 1/ha + 1/hb +1/hc = 1/r.
8. Докажете, че за всеки триъгълник са изпълнени зависимостите:
а) S ≤ (a + b + c)2/12√3;
б) S ≤ (a2 + b2 + c2)/4√3.
9. Ако α; β; γ са ъгли в триъгълник, установете, че са в сила зависимостите
a) cotgα + cotgβ + cotgγ ≥ √3;
б) tgα/2 + tgβ/2 + tgγ/2 ≥ 3.
10. Докажете, че за всеки триъгълник е изпълнено неравенството 9r ≤ ha + hb + hc.
11. Установете, че за всеки триъгълник са изпълнени зависимостите
а) ma2 + mb2 + mc2 ≤ 27R2/4;
б) ma + mb + mc ≤ 9R/2.
12. Докажете, че за всеки нетъпоъгълен триъгълник е в сила неравенството 4R ≤ ma + mb + mc.
13. Точката N е вътрешна за 
ABC, а разстоянията от N до страните ВС, СА и АВ са съответно x; y; z. Ако n = a/x + b/y + c/z, да се намери най-малката стойност на n. При кое положение на точката N се получава тази най-малка стойност?
14. Ако за страните на ABC е изпълнено a ≤ b ≤ c, обосновете, че lc ≤ ha. Кога е в сила равенството?
15. Ако в един триъгълник е в сила зависимостта c + hc = a + b, докажете, че:
а) tgα/2 + tgβ/2 = 1;
б) tgα/2tgβ/2 ≤ 1/4
в) tgγ/2 ≥ 3/4
