Задачи върху първи признак за еднаквост на триъгълници

Първи признак. Ако две страни и ъгълът между тях от един триъгълник са съответно равни на две страни и ъгъла между тях от друг триъгълник, то триъгълниците са еднакви.

Във всяка задача назоваваме двата триъгълника, изброяваме три двойки равни елементи с обосновка и проверяваме дали ъгълът е между двете страни. Теорията е на страницата Еднаквост на триъгълници, а задачи върху другите признаци – на страницата Втори и трети признак за еднаквост.

Задача 1

В равнобедрения триъгълник $ABC$ имаме ${AC=BC},$ а $CD$ е ъглополовящата на ъгъла при $C$ (точката $D$ лежи на $AB$). Докажете, че ${\triangle ACD\cong\triangle BCD}.$

Решение. За триъгълниците $ACD$ и $BCD$ имаме:

1. ${AC=BC},$ защото триъгълникът е равнобедрен;
2. ${\sphericalangle ACD=\sphericalangle BCD},$ защото $CD$ е ъглополовяща;
3. $CD$ е обща страна.

Ъгълът $ACD$ е между страните $AC$ и $CD,$ а ъгълът $BCD$ – между $BC$ и $CD.$ По първи признак ${\triangle ACD\cong\triangle BCD}.$

Задача 2

Докажете, че в равнобедрен триъгълник ъглополовящата на ъгъла при върха е и медиана, и височина към основата.

Решение. Използваме чертежа и резултата от задача 1: ${\triangle ACD\cong\triangle BCD}.$

• Страните $AD$ и $BD$ са съответни, затова ${AD=BD}:$ точката $D$ е средата на $AB,$ т.е. $CD$ е медиана.
• Ъглите $ADC$ и $BDC$ са съответни, затова са равни. Те са и съседни ъгли със сбор ${180^\circ},$ затова всеки от тях е ${90^\circ}:$ $CD$ е височина.

От един връх излизат само една ъглополовяща, една медиана и една височина, затова в равнобедрения триъгълник тези три отсечки към основата съвпадат.

Задача 3

Докажете, че ъглите при основата на равнобедрен триъгълник са равни.

Решение. Построяваме ъглополовящата $CD$ на ъгъла при върха. Според задача 1 ${\triangle ACD\cong\triangle BCD}.$ Ъглите при $A$ и $B$ са съответни ъгли в тези триъгълници, затова ${\sphericalangle A=\sphericalangle B}.$

Задача 4

В равнобедрения триъгълник $ABC$ имаме ${AC=BC},$ а $D$ е средата на основата $AB.$ Периметърът на триъгълника $ADC$ е 18 см и ${CD=6}$ см. Намерете периметъра на триъгълника $ABC.$

Решение. Периметърът на $ADC$ е ${AC+CD+AD=18},$ затова ${AC+AD=18-6=12}$ см. Тъй като ${BC=AC}$ и ${DB=AD},$ периметърът на $ABC$ е

${AC+BC+AD+DB}={2\,(AC+AD)}={2\cdot 12}={24}$ см.

Задача 5

Права отсича от раменете на ъгъла $AOB$ равни отсечки ${OC=OD}.$ Докажете, че правата е перпендикулярна на ъглополовящата на ъгъла.

Решение. Нека правата ${\ell=CD}$ пресича ъглополовящата $OL$ в точката $F.$ Триъгълникът $OCD$ е равнобедрен, защото ${OC=OD},$ а $OF$ е ъглополовящата на ъгъла при върха му. Според задача 2 отсечката $OF$ е и височина към основата $CD,$ затова ${CD\perp OL}.$

Задача 6

Диагоналите на четириъгълника $ABCD$ се пресичат в точка $O$ и се разполовяват от нея. Докажете, че срещуположните му страни са равни.

Решение. За триъгълниците $AOD$ и $COB$ имаме:

1. ${AO=CO}$ и ${OD=OB},$ защото диагоналите се разполовяват;
2. ${\sphericalangle AOD=\sphericalangle COB}$ като връхни ъгли.

По първи признак ${\triangle AOD\cong\triangle COB},$ затова ${AD=CB}.$ По същия начин ${\triangle AOB\cong\triangle COD},$ затова ${AB=CD}.$

От еднаквостта следва още, че ${\sphericalangle OAD=\sphericalangle OCB}.$ Това са кръстни ъгли при правите $AD$ и $BC$ и пресечницата $AC,$ затова ${AD\parallel BC};$ по същия начин ${AB\parallel CD}.$ Значи четириъгълник, чиито диагонали се разполовяват, е успоредник.

Задача 7

${\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1}.$ Точките $M$ и $M_1$ лежат съответно на страните $AB$ и $A_1B_1,$ като ${AM=A_1M_1}.$ Докажете, че ${CM=C_1M_1}$ и ${\sphericalangle BMC=\sphericalangle B_1M_1C_1}.$

Решение. От еднаквостта на триъгълниците следва, че ${AC=A_1C_1}$ и ${\sphericalangle A=\sphericalangle A_1}.$ За триъгълниците $AMC$ и $A_1M_1C_1$ имаме:

1. ${AM=A_1M_1}$ (по условие);
2. ${\sphericalangle A=\sphericalangle A_1};$
3. ${AC=A_1C_1}.$

По първи признак ${\triangle AMC\cong\triangle A_1M_1C_1},$ затова ${CM=C_1M_1}$ и ${\sphericalangle AMC=\sphericalangle A_1M_1C_1}.$ Ъглите $BMC$ и $B_1M_1C_1$ са съседни на тези равни ъгли, затова ${\sphericalangle BMC}={180^\circ-\sphericalangle AMC}={180^\circ-\sphericalangle A_1M_1C_1}={\sphericalangle B_1M_1C_1}.$

Задача 8

Точките $D$ и $E$ лежат на основата $AB$ на равнобедрения триъгълник $ABC$ (${AC=BC}$), като ${AD=BE}.$ Докажете, че ${CD=CE}.$

Решение. За триъгълниците $ADC$ и $BEC$ имаме:

1. ${AD=BE}$ (по условие);
2. ${\sphericalangle A=\sphericalangle B}$ – ъглите при основата (задача 3);
3. ${AC=BC}.$

По първи признак ${\triangle ADC\cong\triangle BEC},$ затова ${CD=CE}.$

Задача 9

В равнобедрения триъгълник $ABC$ (${AC=BC}$) отсечките $AA_1$ и $BB_1$ са медианите към бедрата. Докажете, че ${AA_1=BB_1}.$

Решение. За триъгълниците $ABB_1$ и $BAA_1$ имаме:

1. $AB$ е обща страна;
2. ${\sphericalangle BAB_1=\sphericalangle ABA_1}$ – ъглите при основата;
3. ${AB_1}={\frac12\,AC}={\frac12\,BC}={BA_1}.$

По първи признак ${\triangle ABB_1\cong\triangle BAA_1},$ затова ${BB_1=AA_1}.$

Задача 10

Върху страните $BC$ и $CA$ на триъгълника $ABC,$ чийто ъгъл $\gamma$ при върха $C$ е остър, външно са построени квадратите $BMNC$ и $CPQA.$ Докажете, че ${AN=BP}.$

Решение. Разглеждаме триъгълниците $NCA$ и $BCP$ (с пунктир на чертежа).

1. ${CN=CB}$ като страни на квадрата $BMNC;$
2. ${CA=CP}$ като страни на квадрата $CPQA;$
3. ${\sphericalangle NCA=90^\circ+\gamma}$ и ${\sphericalangle BCP=\gamma+90^\circ},$ затова ${\sphericalangle NCA=\sphericalangle BCP}.$

По първи признак ${\triangle NCA\cong\triangle BCP},$ затова ${AN=BP}.$

Нещо повече: завъртането на ${90^\circ}$ около $C,$ при което $N$ отива в $B,$ премества $A$ в $P.$ Значи то премества отсечката $NA$ в $BP,$ откъдето и ${AN\perp BP}.$ Това разсъждение не зависи от големината на $\gamma,$ така че ${AN=BP}$ и при тъп ъгъл при $C.$

Задачи за упражнение

Решете ги сами, след това отворете решението.

1. Точките $A$ и $C$ лежат на едното рамо на ъгъл с връх $O,$ а $B$ и $D$ – на другото, като ${OA=OB}$ и ${OC=OD}.$ Докажете, че ${AD=BC}.$

За триъгълниците $OAD$ и $OBC\text{:}$ ${OA=OB},$ ъгълът $O$ е общ и ${OD=OC}.$ По първи признак те са еднакви, затова ${AD=BC}.$

2. $ABCD$ е квадрат, $M$ е средата на $AB,$ а $N$ е средата на $AD.$ Докажете, че ${CM=CN}.$

За триъгълниците $CBM$ и $CDN\text{:}$ ${CB=CD},$ ${\sphericalangle B=\sphericalangle D=90^\circ}$ и ${BM=DN}$ (половини на равни страни). По първи признак те са еднакви, затова ${CM=CN}.$

3. В триъгълника $ABC$ имаме ${AB=AC}.$ Точките $D$ от $AB$ и $E$ от $AC$ са такива, че ${AD=AE}.$ Докажете, че ${BE=CD}.$

За триъгълниците $ABE$ и $ACD\text{:}$ ${AB=AC},$ ъгълът $A$ е общ и ${AE=AD}.$ По първи признак те са еднакви, затова ${BE=CD}.$

4. Точките $D,$ $E$ и $F$ лежат съответно на страните $AB,$ $BC$ и $CA$ на равностранния триъгълник $ABC,$ като ${AD=BE=CF}.$ Докажете, че триъгълникът $DEF$ е равностранен.

Отсечките ${BD=AB-AD},$ ${CE=BC-BE}$ и ${AF=CA-CF}$ също са равни. Всеки от триъгълниците $ADF,$ $BED$ и $CFE$ има ъгъл от ${60^\circ}$ между две страни с тези равни дължини, затова по първи признак те са еднакви. Следователно ${DF=ED=FE}.$

Още: Еднаквост на триъгълници · Задачи върху втори и трети признак · Триъгълници