Подобни триъгълници

Tриъгълникът е напълно определен с три елемента, от които поне един е линеен. Линейният елемент, обуславя големината на триъгълника. Следователно, ако пренебрегнем линейният елемент, а вземем пред вид ъглите или отношенията на страните, можем да построим безбройно много триъгълници, различни по големина, но с една и съща форма. Това дава възможност да формулираме, следното определение за подобни триъгълници:

Триъгълници, на които ъглите са съответно равни, се наричат подобни.

Ако два триъгълника имат съответно равни ъгли, то те са подобни(знакът за подобие е ~. Тъй като сборът от вътрешните ъгли в триъгълника е равен на 180°, то от определението следва, че два триъгълника са подобни, ако два ъгъла от единия са съответно равни на два ъгъла от другия триъгълник. Върховете на равните ъгли в подобните триъгълници се наричат съответни; страните, които съединяват съответните върхове, също – съответни.

Ако a, b, c и a₁, b₁, c₁ са съответните страни на два подобни триъгълника, имаме

a/а₁ = b/b₁ = c/c₁

Ако два триъгълника са подобни, то съответните им страни са пропорционални.
Ако триъгълник АВС е посдобен на триъгълник А₁В₁С₁, а триъгълник А₁В₁С₁ е подобен на триъгълник А₂В₂С₂ то триъгълник АВС е подобен и на триъгълник А₂В₂С₂
Ако пресечем две от страните на триъгълника или продълженията им с права, успоредна на третата страна, получава се триъгълник подобен на дадения

Признаци за подобие на триъгълници

Първи признак:

Два триъгълника са подобни, ако два ъгъла от единия са съответно равни на два ъгъла от другия

Втори признак:

Два триъгълника са подобни, ако две страни от единия са съответно пропорционални на две страни от другия и ъглите, заключени между тях ца равни.

Трети признак:

Два триъгълника са подобни, ако страните на единия са съответно пропорционални на страните на другия.

Четвърти признак:

Два триъгълника са подобни, ако две страни от единия са съответно пропорционални на две страни от другия и ъглите, лежащи срещу по-големите от тези страни, са равни

Следствия от признаците за подобие

Два равнобедрени триъгълника са подобни ако:
а) ъгъл при основата на единия е равен на ъгъл при основата на другия.
б) ъглите, които лежат срещу основите им, са равни.
в) основата и бедрото на единия триъгълник са съответно пропорционални на основата и бедрото от другия

Всеки два равностранни триъгълника са подобни.

Два правоъгълни триъгълника са подобни ако:
а) остър ъгъл от единия е равен на остър ъгъл от другия.
б) катетите на единия са съответно пропорционални на катетите на другия.
в) катет и хипотенуза от единия са съответно пропорционални на катет и хипотенуза от другия.
Два триъгълника, поотделно подобни на трети, са подобни и помежду си.

Теорема: Ако два триъгълника са подобни, съответните им височини са пропорционални на съответните страни

С₁Н₁/СН = А₁В₁/АВ = В₁С₁/ВС = С₁А₁/СА

АС/А₁С₁ = ВС/В₁С₁ = АВ/А₁В₁

Лицата на два подобни триъгълника се отнасят както квадратите на съответните им страни

S/S₁ = AB²/A₁B₁²

Teорема на Менелай

Ако пресечем две кои да е страни на един триъгълник с произволна права MN то тя ще срещне продължението на третата страна АВ в някоя точка Р. Теоремата на Менелай гласи: АМ.СN.BP = CM.BN.AP т.е. произведението на частите АМ, CN, BP, CM, BN, AP, на които точките М, N, P делят страните, взети през една, е равно на произведението на останалите три части

Теорема на Чева

Нека вземем една произволна точка О вътре в триъгълника АВС и да я съединим с трите му върха, след което да продължим отсечките АО, ВО, СО до пресичането им със страните на триъгълник АВС съответно в точките А₁В₁С₁

АВ₁.СА₁.ВС₁ = СВ₁.ВА₁.АС₁

Теорема на Морли

Под трисектриса на един ъгъл разбираме двете прави, които разделят ъгъла на три равни части, тъй като бисектрисата е права, деляща ъгъла на две равни части. Теоремата на Морли се отнася за трите двойки трисектриси на трите ъгъла на един какъв да е триъгълник АВС и гласи така: Трите пресечни точки Р, Q, R на съседните трисектриси на ъглите на произволен триъгълник образуват винаги един равностранен триъгълник PQR

Знаете ли че: ако O е пресечната точка на трите симетрали в произволен триъгълник, H е пресечната точка на трите височини (ортоцентър), а G, е точката в която се пресичат трите медиани(центъра на тежестта), то трите точки O, H, G, лежат на една права, наречена права на Ойлер.

Задачи за подобни триъгълници

Задача 1 Да се докаже, че произведението на две от страните на триъгълника е равно на произведението на височината към третата му страна и диаметъра на окръжността, описана около триъгълника
Дадено: триъгълник АВС, СН + АВ, СD = 2R (R радиус на описаната окръжност)
Да се докаже: АС.ВС = С D.CH
Доказателство:
В триъгълниците СНВ и САD имаме ъгъл А = ъгъл Н = 90° , ъгъл В = ъгъл D = 0,5 от дъгата АС(като вписани ъгли), т.е. триъгълниците СНВ и САD са подобни. Тогава СН/СА = СВ/СD, откъдето СА.СВ = СD.СН. Ако означим СА = b, CB = a и СН = h_c, полученото равенство добива вида a.b = 2R.h_c

Задача 2 Да се докаже, че отсечката, която съединява основите на кои да са две височини в остроъгълния триъгълник, отсича от него триъгълник, подобен на дадения.
Дадено: триъгълник АВС, СD+AB, AE +BC
Да се докаже триъгълник DBE подобен на триъгълник АВС
Доказателство:
В триъгълниците АВЕ и СDВ ъгъл В е общ, и ъгъл Е = ъгълD = 90° ,следователно те са подобни, откъдето АВ/ВС = ВЕ/DВ. От друга страна, АВ и ВС са страни на триъгълник АВС, ВЕ и DВ са страни на триъгълник DВЕ, а ъгъл В е общ за двата триъгълника и заключен между тези страни. От това следва, че триъгълник DВЕ е подобен на триъгълник АВС

Страните на триъгълник се отнасят както 2:3:4. Триъгълник, подобен на него, има периметър 84,6см. Да се намерят страните му.
Отговор: 18, 8см, 28,2см, 37,6см

Задача 3 Страните на триъгълник АВС са АВ = 15см и АС = 20см Върху тях лежат съответно точките С’ и В’ така,че АС’ = 12см и АВ’ = 9см. Да се докаже, че триъгълник АВС подобен на триъгълник АВ’С’ и , че околоВСС’В’ може да се опише окръжност.

Задача 4 Ъгълът при върха на равнобедрен триъгълник е 72°, а ъгълът при основата на друг равнобедрен триъгълник е 54°. Бедрото на първия триъгълник и периметърът на втория са по 80см. Да се намери основата на първия, ако основата на втория е 20см
Отговор: 53 1/3см

Задача 5 Основата на равнобедрен триъгълник е 3см, а бедрото му е 6см. Построена е права, успоредна на основата, така че отсечката от нея, заключена между бедрата на триъгълника, е равна на частта от бедрото, прилежаща към основата. Да се намери тази отсечка.
Отговор: 2см

Задача 6 Всеки катет на даден правоъгълен триъгълник е по-голям с m см от катет на друг правоъгълен триъгълник. Възможно ли е двата триъгълника да са подобни?
Отговор: да

Задача 7 През допирната точка на две допиращи се окръжности е построена секуща. Получените хорди са 6см и 9см. Да се намерят радиусите на окръжностите, ако централата им е 15см
Отговор: 9см, 6см

Задача 8 Две окръжности с радиуси 36см и 24см са вън една от друга. Общата им вътрешна допирателна разделя тяхната централа на отсечки, чиято разлика е 16см. Да се намери централата.
Отговор: 80см

Задача 9 На две външно допиращи се окръжности с радиуси 3см и 2см са построени общите външни допирателни, които се пресичат в точка М. Да се намери разстоянието от центъра на по-малката окръжност до точка М
Отговор: 10см

Задача 10 От точка Р вън от окръжност k са построени секущата PCA и допирателната РВ. Да се докаже, че триъгълника РВС е подобен на триъгълник РВА

Задача 11 В окръжност с радиус 5см е вписан правоъгълен триъгълник с катет 8см. Да се намери проекцията на този катет върху хипотенузата.
Отговор: 6,4см

Задача 12 Единият диагонал на трапец дели другия в отношение 2:3, а средната отсечка на трапеца е 5см. Да се намерят основите му.
Отговор: 4 см, 6 см

Задача 13 Един трапец се разделя от свой диагонал на два подобни триъгълника. Да се докаже, че този диагонал е среднопропорционален на основите на трапеца.

Задача 14 Бедрата на трапец са 12см и 8см, а голямата му основа е 27см. Единият диагонал разделя трапеца на два подобни триъгълника. Да се намери този диагонал и малката основа.
Отговор: 18см, и 12см

Задача 15 Основите на два подобни триъгълника са 15см и 6см, а височината към по-голямата основа е 8см. Определете височината към по-малката основа
Отговор: 3,2см

Задача 16 Страните на триъгълник са 26см, 38см и 46см, а а най-малката срана на подобния му триъгълник е 13 см. Определете останалите страни на втория триъгълник
Отговор: 19см,23см

Задача 17 В два подобни триъгълника сборът от две съответни височини е 121мм, а коефициентът на подобие е 1,75. Определете тези височини.
Отговор: 44мм; 77мм

Задача 18 Докажете, че в подобните триъгълници съответните ъглополовящи(медиани), са пропорционални на съответните страни.

Задача 19 В два подобни триъгълника разликата от две съответни ъглополовящи е 1,4см, а отношението между две съответни височини е 0,6. Определете тези ъглополовящи
Отговор: 3,5см; 2,1см

Задача 20 В триъгълник с основа 13см разсточнието от центъра на тежестта на триъгълника до височината към същата основа е 2см. Определете дължините на отсечките, на които височината дели основата.
Отговор: 3,5см, 9,5см

Задача 21 В триъгълника АВС са дадени АС = 30см, ВС = 26см и височината СН = 24см. Определете радиуса на описаната около триъгълника окръжност.
Отговор: 16,25см

Задача 22 В триъгълника АВС е вписан успоредникът АКМР така, че ъгъл А е общ. Да се намерят страните на успоредника, ако АС = 24см, АВ = 36см и КМ/МР = 3/1(К€ АС)
Отговор: 8см и 24см

Задача 23 В триъгълник АВС са построени ъглополовящата АD и през точка D права, успоредна на АВ, която пресича АС в точка Е. Да се намери АВ, ако АЕ = 6см и ЕС = 4см
Отговор: 15см

Задача 24 В остроъгълния триъгълникАВС височините ВD и СЕ се пресичат в точка Н Да се докаже, че ЕН.СН = ВН.DН, АD.СD = BD.HD и АВ.АЕ = АС.АD

Задача 25 Meдианата към страната АС на тиъгълник АВС сключва с АВ ъгъл, равен на ъгълС. Да се докаже, че АС² = 2AB²

Задача 26 Даден е триъгълник АВС със страни с = 9см, а = 12см и b = 6см. На страната АВ е нанесена отсечка АD = 4см. Да се намери СD
Oтговор: 8см

Задача 27 В правоъгълника АВСD, АВ = 10см, АD = 4см. Върху страната СD съществува точка М, от която АВ се вижда под прав ъгъл. Да се намерят DМ и МС
Отговор: 2см, 8см

Задача 28 Височините на успоредник са 6см и 4см, а периметърът му е 30см. Да се намерят страните му.
Отговор: 6см, 9см

Задача 29 Основата на равнобедрен триъгълник е 6см, а бедрото му е 9см. В триъгълника е вписана окръжност. Да се намери разстоянието между допирните точки на окръжността с бедрата.
Отговор: 4см

Задача 30 Основата на равнобедрен триъгълник е 12см, а бедрото му е 9см. В триъгълника е вписана окръжност и към нея е построена допирателната, успоредна на основата. Да се намери отсечката от допирателната, заключена между бедрата на триъгълника.
Отговор: 2,4см

Задача 31 В триъгълник АВС са пазположени два квадрата. Да се намери страната на малкия, ако страната на големия квадрат е 6см и АВ = 9см
Отговор: 4см

Задача 32
От върха А на успоредника АВСD са са спуснати перпендикулярите АМ и АN към правите С D СВ. Да се докаже че триъгълниците АМN и АВС са подобни

Задача 33
Да се докаже, че отсечката, свързваща петите на две височини в триъгълника, отсича триъгълник, подобен на дадения.

Задача 34
Основите АВ и СD на трапеца АВСD се отнасят както 5 : 1, а диагоналът АС = 22см. На какви части се разделя АС от права, която минава през В и средата на АD
Отговор: 10см, 12см

По-трудни задачи за подобни триъгълници

Задача 35
В триъгълник с основа 13 см разстоянието от центъра на тежестта до височината към основата му е 2см. Да се намерят отсечките, на които петата на височината дели основата.
Отговор: 3,5см и 9,5см

Задача 35
Петата на височината разделя основата на триъгълник на отсечки с дължини 4см и 16см. Да се намери разцтоянието от центъра на тежестта на триъгълника до височината към основата му.
Отговор: 4см

Задача 36
Основата на равнобедрен триъгълник е 6см, а височината му е 9см. Да се намерят страните на вписания в триъгълника правоъгълник, ако диагоналите му са успоредни на бедрата.
Отговор: 2см, 6см

Задача 37
Отсечките DP и DQ от черт. са височини на успоредника АВСD. AM : MN : NC = 1 : 2 : 3
a) да се докаже, че АВ = ВD;
б) да се намери отношението АР : РВ
Отговор: 1 : 4

Задача 38
Равнобедрен трапец с основи 10см и 6см е описан около окръжност. Да се намерят :а)отсечките с които трябва да се продължат бедрата му до пресичането им. б) отсечката, определена от допирните точки на бедрата на трапеца с окръжността.
Отговор: 12см, 7,5см

Задача 39
СD е височина на триъгълник АВС . Да се докаже, че ако СD² = 2AD.DB, то ортоцентърът на триъгълника разполовява СD и обратно

Задача 40
В окръжност са построени два взаимноперпендикулярни диаметъра АВ и CD. Хордата AF пресича СD в точка К така, че СК:КD = 2:1. Хордата СF пресича АВ в точка М. Да се докаже, че АМ : МВ = 3 : 1

Задачи от подобни триъгълници с приложен характер

Задача 41
Да се определи височината на електрически стълб, намиращ се в наклонена равнинна местност, ако в даден момент вертикален прът с дължини 1,5м хвърля сянка с дължина 2,2м, а дължината на сянката на стълба е 17,2м

От подобието на триъгълниците АВС и А₁В₁С₁ имаме АС : А₁С₁ = АВ : А₁В₁ откъдето поради А₁С₁ = 1,5м , АВ = 17,2м и А₁В₁ = 2,2м , за височината на стълба получаваме 11,73м или приблизително 12м

Задача 42
Да се намери височината АВ на теливизионната кула в София, ако
1) измерването е извършено съгласно чертежа, при което А₁В₁ = b = 0,78м, АD = a 100м и DD₁ = l = 1,5м
2) измерването е извършено с висотомер А₁В₁, съгласно чертежа, при което А₁В₁ = h = 1м АС = а = 49,65м и А₁С = b = 0,95м

Решение:
От подобието на триъгълник ВАС и В₁А₁С имаме АВ : А₁В₁ = АС : А₁С, а от теоремата на Талес, приложена за ъгъла DАС, пресечен с успоредните прави D₁A₁ и DС, имаме АС:А₁С = АD:D₁D, откъдето АВ:А₁В₁ = АD:D₁D т.е. АВ = А₁В₁.АD/D₁D или АВ = 100.0,78/1,5 = 52м
2) От подобието на триъгълник АВС и А₁В₁С имаме АВ : А₁В₁ = АС : А₁С т.е.
АВ = А₁В₁.АС/А₁С или х = 1.49,65/0,95 = 52,3м

Задача 43
Да се изчисли разстоянието АХ между достъпната точка А и недостъпната точка Х, ако АВ = а =200м, МВ = b = 30м, МN = m = 15м и ъгъл М = ъгъл А

Решение:
От подобието на триъгълниците ВМN и BAX имаме АХ : МN = AB : MB т.е.
АХ = АВ.MN/MB или 15.200/30 = 100м

Още за триъгълници във форума

Още подобни във форума за математика