МенюЗадачи за вектори
Решени задачи
Задача 1. Докажете, че всеки четириъгълник, чиито диагонали се разполовяват от пресечната си точка, е успоредник.
Решение. Нека $O$ е пресечната точка на диагоналите на четириъгълника $ABCD$. По условие ${\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}}$ и ${\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{DO}}$. Събираме почленно двете равенства:
${\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}}={\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{DO}}={\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OC}}$, т.е. ${\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}}$.
Следователно отсечките $AB$ и $DC$ са успоредни и равни, т.е. $ABCD$ е успоредник.
Задача 2. Дадени са векторите $\overrightarrow{MN}$ и $\overrightarrow{PQ}$. Постройте вектор, равен на: а) ${3\overrightarrow{MN}+2\overrightarrow{PQ}}$; б) ${3\overrightarrow{MN}-2\overrightarrow{PQ}}$.
Решение. а) От произволна точка $O$ нанасяме вектора ${\overrightarrow{OA}=3\overrightarrow{MN}}$, а от точката $A$ – вектора ${\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{PQ}}$. Векторът $\overrightarrow{OB}$ е търсеният: ${\overrightarrow{OB}=3\overrightarrow{MN}+2\overrightarrow{PQ}}$.
б) От точка $O$ нанасяме ${\overrightarrow{OA}=3\overrightarrow{MN}}$, а от точката $A$ – вектора ${\overrightarrow{AB}=-2\overrightarrow{PQ}}$. Тогава ${\overrightarrow{OB}=3\overrightarrow{MN}-2\overrightarrow{PQ}}$.
Задача 3. Дадени са векторите $\overrightarrow{MN}$ и $\overrightarrow{PQ}$. Проверете геометрически тъждеството ${(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ})}+{(\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{PQ})}={2\overrightarrow{MN}}$.
Решение. От произволна точка $O$ нанасяме ${\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{MN}}$, а от $A$ – вектора ${\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{PQ}}$; тогава ${\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ}}$. След това от $B$ нанасяме ${\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{MN}}$, а от $C$ – вектора ${\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{PQ}}$; тогава ${\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{PQ}}$.
Четириъгълникът $ABCD$ е успоредник, защото ${\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{DC}}$. Затова ${\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{MN}}$ и
${\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BD}}={\overrightarrow{OD}}={\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}}={2\overrightarrow{MN}}$,
т.е. ${(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ})}+{(\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{PQ})}={2\overrightarrow{MN}}$.
Задача 4. Точката $O$ е среда на отсечката $AB$, а $M$ е произволна точка. Докажете, че ${\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MO}}$.
Решение. Построяваме успоредника $MACB$. В него ${\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}}$ (правило на успоредника). Диагоналите на успоредника се разполовяват, затова $O$ е среда и на $MC$, т.е. ${\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MO}}$. Следователно ${\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MO}}$.
Друго решение. ${\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}}$ и ${\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}}$. Векторите $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ са противоположни, затова сборът им е $\vec{0}$ и ${\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MO}}$. Това решение е вярно и когато $M$ лежи на правата $AB$.
Задача 5. Докажете, че съществува триъгълник, чиито страни са равни и успоредни на медианите на даден триъгълник $ABC$.
Решение. Нека $A_1$, $B_1$ и $C_1$ са средите на страните $BC$, $CA$ и $AB$. Тогава
${\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}}$, ${\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}}$, ${\overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}}$.
Събираме почленно и използваме, че ${\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\vec{0}}$:
${\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1}}={\frac{3}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\right)}={\vec{0}}$.
Нанасяме последователно вектори, равни на $\overrightarrow{AA_1}$, $\overrightarrow{BB_1}$ и $\overrightarrow{CC_1}$. Сборът им е $\vec{0}$, затова краят на третия съвпада с началото на първия. Никои две медиани не са успоредни (те се пресичат в медицентъра), затова се получава триъгълник, чиито страни са равни и успоредни на медианите.
Задачи за упражнение
1. Върху векторите $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AD}$ е построен успоредникът $ABCD$. Изразете диагоналите му чрез $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AD}$.
${\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}}$ (правило на успоредника) и ${\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}}$ (разлика на векторите с общо начало $A$).
2. Нека ${\vec{a}=\overrightarrow{AB}}$ и ${\vec{b}=\overrightarrow{CD}}$. Проверете геометрически тъждествата: а) ${(\vec{a}+\vec{b})-(\vec{a}-\vec{b})}={2\vec{b}}$; б) ${\vec{a}+(\vec{b}-\vec{a})=\vec{b}}$; в) ${\frac{1}{2}(\vec{a}-\vec{b})+\vec{b}}={\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})}$.
Нанасяме от точка $O$ векторите ${\overrightarrow{OX}=\vec{a}}$ и ${\overrightarrow{OY}=\vec{b}}$ и построяваме успоредника $OXZY$. Тогава ${\overrightarrow{OZ}=\vec{a}+\vec{b}}$ и ${\overrightarrow{YX}=\vec{a}-\vec{b}}$.
а) От $Z$ нанасяме ${\overrightarrow{ZW}}={\overrightarrow{XY}}={-(\vec{a}-\vec{b})}$; тогава ${\overrightarrow{OW}}={(\vec{a}+\vec{b})-(\vec{a}-\vec{b})}$. Понеже ${\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{ZW}}$, четириъгълникът $XYWZ$ е успоредник и ${\overrightarrow{YW}=\overrightarrow{XZ}=\vec{b}}$. Следователно ${\overrightarrow{OW}=\overrightarrow{OY}+\overrightarrow{YW}=2\vec{b}}$.
б) По определението за разлика ${\vec{b}-\vec{a}}$ е векторът, който, събран с $\vec{a}$, дава $\vec{b}$: в построението ${\overrightarrow{OX}+\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{OY}}$.
в) Нека $S$ е пресечната точка на диагоналите на успоредника $OXZY$. Тогава ${\overrightarrow{YS}}={\frac{1}{2}\overrightarrow{YX}}={\frac{1}{2}(\vec{a}-\vec{b})}$ и ${\overrightarrow{OS}}={\frac{1}{2}\overrightarrow{OZ}}={\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})}$, а равенството ${\overrightarrow{OY}+\overrightarrow{YS}=\overrightarrow{OS}}$ е точно даденото тъждество.
3. В успоредника $ABCD$ точката $O$ е пресечната точка на диагоналите, а $M$ е произволна точка. Докажете, че ${\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}}+{\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}}={4\overrightarrow{MO}}$.
$O$ е среда на $AC$ и на $BD$, затова по решената задача 4 ${\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MO}}$ и ${\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MO}}$. Събираме двете равенства.
4. Докажете, че ако $M$ е медицентърът (центърът на тежестта) на триъгълника $ABC$, то ${\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}}$.
Нека $A_1$ е средата на $BC$. По решената задача 4 ${\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MA_1}}$. Медицентърът дели медианата $AA_1$ в отношение ${2:1}$, считано от върха, затова ${\overrightarrow{MA}=-2\overrightarrow{MA_1}}$. Следователно ${\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}}={-2\overrightarrow{MA_1}+2\overrightarrow{MA_1}}={\vec{0}}$.
5. Докажете, че ако съединим последователно средите на страните на произволен четириъгълник, получаваме успоредник.
Нека $K$, $L$, $M$ и $N$ са средите на страните $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ на четириъгълника $ABCD$. Тогава
${\overrightarrow{KL}}={\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}}={\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}}$ и ${\overrightarrow{NM}}={\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}}={\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}}$.
Следователно ${\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{NM}}$ и $KLMN$ е успоредник.
6. Върху оста $x$ са дадени точките ${A(a)}$ и ${B(b)}$. Намерете абсцисите на средата на отсечката $AB$ и на точките, които делят $AB$ на три равни части. Решете задачата при ${a=+15}$ и ${b=-9}$.
Ако $M(x)$ е средата на $AB$, то ${\overline{AM}=\overline{MB}}$ и по теорема 2 ${x-a=b-x}$, откъдето ${x=\frac{a+b}{2}}$. Точката $P(p)$, която дели $AB$ на три равни части и е по-близо до $A$, удовлетворява ${\overline{AP}=\frac{1}{3}\overline{AB}}$, т.е. ${p-a=\frac{b-a}{3}}$, откъдето ${p=\frac{2a+b}{3}}$. Аналогично другата точка има абсциса ${\frac{a+2b}{3}}$.
При ${a=15}$ и ${b=-9}$: средата е ${\frac{15-9}{2}=3}$, а точките на делене са ${\frac{30-9}{3}=7}$ и ${\frac{15-18}{3}=-1}$.
Още за векторите: Вектори · Вектори – определения · Равенство на вектори · Сбор и разлика на вектори · Произведение на вектор с число
