Задачи за вектори

1. Да се докаже, че всеки четериъгълник, чийто диагонали се разполовяват от пресечната им точка, е успоредник.

Решение:
По условие имаме вектор AO = вектор OC и вектор OB = вектор DO
Като съберем почленно равенствата, получаваме

вектор AO + вектор OB = вектор DO + вектор OC т.е. вектор AB = вектор DC
Следователно четериъгълникът АВСD е успоредник.

2. Дадени са векторите вектор MN и вектор PQ . Да се построи вектор, равен на:
3 + 2
3 - 2

Решение:
От произволна точка О построяваме вектор OA = 3 вектор MN , а от точка А построяваме вектор вектор AB = 2 вектор PQ ; векторът вектор OB е търсеният,т.е. = 3 + 2

От точка О построяваме вектор вектор OA = 3 вектор MN , а от точка А построяваме вектор вектор AB = -2 вектор PQ ; векторът вектор OB е търсеният, т.е. = 3 - 2

3. Дадени са векторите вектор MN и вектор PQ . Да се провери геометрически верността на тъждеството( + ) +( - ) = 2
Решение:

Построяваме с начало произволна точка О вектор вектор OA = вектор MN и с начало точка А – вектор вектор AB = вектор PQ Векторът вектор OB = + След това построяваме с начало В – вектора вектор BC = и с начало С – вектора вектор CD = - .
Векторът вектор BD = вектор MN - . От успоредника АDCB имаме вектор AD = = Следователно, вектор OB + = вектор OD = вектор OA + = 2,
т.е.( + вектор PQ ) + ( - ) = 2

4. Точката О е среда на отсечката АВ, а М – произволна точка. Да се докаже, че вектор MA + вектор MB = 2 вектор MO

Решение:
Построяваме успоредника МАСВ, в който вектор MA + вектор MB = вектор MC . Но тъй като диагоналите в успоредника се разполовяват, имаме = 2 вектор MO , откъдето + = 2

5.Да се докаже, че е възможно да построим триъгълник, на който страните са равни и успоредни на медианите на даден триъгълник АВС

Решение:
Да означим с А₁, В₁,С₁ средите на страните ВС, АС, и АВ, а с вектор AA1 , вектор BB1 , вектор CC1 - векторите, които съвпадат съответно с медианите АА₁,ВВ₁,СС₁; тогава

вектор AA1 = вектор AB + вектор BC / 2; вектор CC1 = вектор CA + /2; вектор BB1 = + / 2
като съберем почленно тези равенства, получаваме:
+ + = + /2 + + / 2 + + /2 =
3/2( + +) = 0
т.е.
вектор AA1 + + = 0,
следователно векторите , , и вектор CC1 образуват триъгълник

Задачи за упражнения:

1. Върху векторите вектор AB и вектор AD е построен успоредникътАВСD. Намерете диагоналите на успоредника
Отг. вектор AC = + , вектор DB = -

2. Проверете геометрически верността на тъждествата:
( вектор AB + вектор CD ) – ( - );
+ ( - ) = ;
(-)/2 + = ( + )/2

3. В успоредника АВСD О е пресечна точка на диагоналите, а М е произволна точка от равнината на успоредника. Докажете равенството:
вектор MA + вектор MB + вектор MC + вектор MD = 4 вектор MO

4. Докажете, че ако M е център на тежестта на триъгълника АВС, то
вектор MA + вектор MB + вектор MC = 0

5. Докажете, че ако съединим последователно средите на страните на произволен четириъгълник получаваме успоредник.

6. Върху оста Х са дадени точките А(а) и В(b). Намерете абсцисите на средата на отсечката АВ и на точките, които разделят АВ на три равни части. Решете задачата при а = +15, b = -9
Отг. +3; -1; +7

Вектори
Вектори - определения
Равенство на вектори
Произведение на вектор с число
Сбор и разлика на вектори
Задачи за вектори

Още за вектори във форума

Форум за вектори

Още вектор във форума за математика