Стереометрия - определения

Тук са събрани основните понятия от стереометрията – взаимно положение на прави и равнини, ъгли и разстояния в пространството – и формулите за повърхнина и обем на призма, пирамида, цилиндър, конус и кълбо.

На тази страница: Права и равнина · Две прави · Две равнини · Призма · Пирамида · Пресечена пирамида · Цилиндър · Конус · Пресечен конус · Кълбо и сфера

Взаимно положение на права и равнина

Една права и една равнина могат да имат едно от следните три взаимни положения:

правата лежи в равнината – всички точки на правата са точки от равнината;
правата пресича равнината – двете имат точно една обща точка;
правата е успоредна на равнината – двете нямат обща точка.

Кога права лежи в равнина

Правата $a$ лежи в равнината $\alpha,$ ако:

има две общи точки с $\alpha;$
има обща точка с $\alpha$ и е успоредна на права от $\alpha;$
има обща точка с $\alpha$ и е успоредна на права, която е успоредна на $\alpha;$
има обща точка с $\alpha$ и е перпендикулярна на права, която е перпендикулярна на $\alpha;$
има обща точка с $\alpha$ и е перпендикулярна на равнина, която е перпендикулярна на $\alpha.$

Кога права е успоредна на равнина

Ако правата $a$ не лежи в равнината $\alpha$ и е успоредна на някоя права от $\alpha,$ то ${a\parallel\alpha}.$

Правата $a,$ която не лежи в $\alpha,$ е успоредна на $\alpha$ и когато е перпендикулярна на права, перпендикулярна на $\alpha,$ или е перпендикулярна на равнина, перпендикулярна на $\alpha.$

Права, перпендикулярна на равнина

Правата $a$ е перпендикулярна на равнината $\alpha$ (пишем ${a\perp\alpha}$), ако е перпендикулярна на всяка права от $\alpha.$

Признак: ако правата е перпендикулярна на две пресичащи се прави от равнината, тя е перпендикулярна на равнината. Освен това ${a\perp\alpha},$ ако:

$a$ е успоредна на права, която е перпендикулярна на $\alpha;$
$a$ е перпендикулярна на равнина, която е успоредна на $\alpha;$
$a$ лежи в равнина $\beta,$ перпендикулярна на $\alpha,$ и е перпендикулярна на пресечницата на $\alpha$ и $\beta.$

Разстояние и ъгъл между права и равнина

Разстояние от точка до равнина е дължината на перпендикуляра от точката към равнината: на чертежа ${d=AH}.$ Разстоянието между права и успоредна на нея равнина е разстоянието от коя да е точка на правата до равнината.

Ъгъл между права и равнина, които се пресичат, е ъгълът между правата и ортогоналната ѝ проекция върху равнината: на чертежа ${\varphi=\sphericalangle AOH}.$ Ако правата е перпендикулярна на равнината, ъгълът е $90^\circ,$ а ако е успоредна на равнината или лежи в нея, ъгълът е $0^\circ.$

Взаимно положение на две прави в пространството

Две различни прави в пространството могат да бъдат:

пресичащи се – имат точно една обща точка (на чертежа $AB$ и $AA_1$);
успоредни – лежат в една равнина и нямат обща точка ($AB$ и $D_1C_1$);
кръстосани – не съществува равнина, която да съдържа и двете ($AB$ и $CC_1$).

Ъгъл между две кръстосани прави е ъгълът между две пресичащи се прави, които са успоредни съответно на тях. Например $CC_1\parallel BB_1,$ затова ъгълът между $AB$ и $CC_1$ е равен на ${\sphericalangle ABB_1=90^\circ}.$

Две прави са перпендикулярни, ако ъгълът между тях е $90^\circ$ – те могат да се пресичат или да са кръстосани. Ако едната права е перпендикулярна на равнина, в която лежи другата, двете прави са перпендикулярни.

Две прави в пространството са успоредни, ако:

са успоредни на трета права;
са перпендикулярни на една и съща равнина;
са пресечници на две успоредни равнини с трета равнина.

Взаимно положение на две равнини

Две различни равнини или се пресичат по права, която се нарича тяхна пресечница, или са успоредни – нямат обща точка. Две равнини съвпадат, ако имат три общи точки, които не лежат на една права.

Две равнини са успоредни, ако:

нямат обща точка;
две пресичащи се прави от едната са съответно успоредни на две пресичащи се прави от другата;
всяка от тях е успоредна на трета равнина;
са перпендикулярни на една и съща права.

През всяка точка, която не лежи в дадена равнина, минава точно една равнина, успоредна на дадената. Всяка права, лежаща в една от две успоредни равнини, е успоредна на другата. Разстоянието между две успоредни равнини е разстоянието от коя да е точка на едната до другата.

Двустенен ъгъл

Фигурата, образувана от две полуравнини с общ контур $l,$ се нарича двустенен ъгъл; полуравнините са неговите стени, а $l$ е ръбът му. Ако от точка $O$ на ръба построим във всяка стена лъч, перпендикулярен на $l,$ двата лъча образуват линейния ъгъл ${\varphi=\sphericalangle AOB}$ на двустенния ъгъл. Големината на линейния ъгъл не зависи от избора на точката $O$ и се приема за големина на двустенния ъгъл.

Две равнини са перпендикулярни, когато образуват прав двустенен ъгъл. Признак: ако едната равнина съдържа права, перпендикулярна на другата, двете равнини са перпендикулярни.

Призма

Многостен, две от стените на който са еднакви $n$-ъгълници в успоредни равнини, а останалите стени са успоредници, се нарича $n$-ъгълна призма.

Двата $n$-ъгълника са основите, а успоредниците – околните стени на призмата.
Права призма – околните ръбове са перпендикулярни на основите; околните стени са правоъгълници.
Правилна призма – права призма, чиято основа е правилен многоъгълник.
Височина $H$ – разстоянието между равнините на основите. При права призма тя е равна на околния ръб.
Перпендикулярно сечение – сечението на призмата с равнина, перпендикулярна на околните ръбове. При права призма то е еднакво с основата.
Околна повърхнина – сборът от лицата на околните стени; пълна повърхнина – сборът от околната повърхнина и лицата на двете основи.

Величина	Формула
Околна повърхнина	${S=P\cdot l},$ $P$ – периметър на перпендикулярното сечение, $l$ – околен ръб; за права призма ${S=P\cdot H},$ $P$ – периметър на основата
Пълна повърхнина	${S_1=S+2B},$ $B$ – лице на една основа
Обем	${V=B\cdot H}$
Правоъгълен паралелепипед с измерения $a,$ $b,$ $c$	${V=abc},$ ${S_1=2(ab+bc+ca)},$ диагонал ${d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
Куб с ръб $a$	${V=a^3},$ ${S_1=6a^2},$ диагонал ${d=a\sqrt3}$

Пирамида

Многостен, една от стените на който е многоъгълник, а останалите стени са триъгълници с общ връх, нележащ в равнината на многоъгълника, се нарича пирамида.

Многоъгълникът е основата, триъгълниците – околните стени, а общият им връх – върхът на пирамидата.
Височина $H$ – перпендикулярът от върха към равнината на основата (на чертежа $EO$).
Правилна пирамида – основата е правилен многоъгълник и околните ръбове са равни. Тогава петата на височината е центърът на основата, а околните стени са еднакви равнобедрени триъгълници.
Апотема $k$ – височината на околна стена на правилна пирамида, спусната от върха (на чертежа $EF$).

Величина	Формула
Околна повърхнина на правилна пирамида	${S=\frac{P\cdot k}{2}},$ $P$ – периметър на основата
Пълна повърхнина	${S_1=S+B},$ $B$ – лице на основата
Обем	${V=\frac{B\cdot H}{3}}$

Пресечена пирамида

Частта от пирамида между основата ѝ и сечение, успоредно на основата, се нарича пресечена пирамида.

Основите ѝ са подобни многоъгълници в успоредни равнини, а височината $H$ е разстоянието между равнините на основите (на чертежа $OO_1$). Пресечената пирамида, получена от правилна пирамида, е правилна: основите ѝ са правилни многоъгълници, околните ръбове са равни, а околните стени са еднакви равнобедрени трапеци. Височината на околна стена се нарича апотема $k.$

Величина	Формула
Околна повърхнина на правилна пресечена пирамида	${S=\frac{(P+P_1)\cdot k}{2}},$ $P$ и $P_1$ – периметри на основите
Пълна повърхнина	${S_1=S+B+B_1},$ $B$ и $B_1$ – лица на основите
Обем	${V}={\frac{H}{3}\left(B+B_1+\sqrt{B\cdot B_1}\right)}$

Цилиндър

Прав кръгов цилиндър е тялото, което се получава при завъртане на правоъгълник около права, съдържаща негова страна.

Основи – два еднакви кръга с радиус $r$ в успоредни равнини.
Ос – отсечката $OO_1$ между центровете на основите. При правия цилиндър тя е перпендикулярна на основите и е равна на височината $h.$
Образувателна $l$ – отсечка от околната повърхнина, успоредна на оста, с краища върху окръжностите на двете основи; при правия цилиндър ${l=h}.$
Около всеки прав кръгов цилиндър може да се опише сфера; центърът ѝ е средата на оста.

Величина	Формула
Лице на основата	${B=\pi r^2}$
Околна повърхнина	${S=2\pi rh}$
Пълна повърхнина	${S_1}={S+2B}={2\pi r(r+h)}$
Обем	${V=\pi r^2h}$

Конус

Прав кръгов конус е тялото, което се получава при завъртане на правоъгълен триъгълник около права, съдържаща негов катет.

Връх $C$ и основа – кръг с център $O$ и радиус $r.$
Височина $h$ – разстоянието от върха до равнината на основата. При правия конус височината съвпада с оста $CO$ – отсечката от върха до центъра на основата.
Образувателна $l$ – отсечка между върха и точка от окръжността на основата; ${l^2=r^2+h^2}.$

Величина	Формула
Лице на основата	${B=\pi r^2}$
Околна повърхнина	${S=\pi rl}$
Пълна повърхнина	${S_1=S+B=\pi r(r+l)}$
Обем	${V=\frac{B\cdot h}{3}=\frac{\pi r^2h}{3}}$

Пресечен конус

Частта от прав кръгов конус между основата му и сечение, успоредно на основата, се нарича прав пресечен конус.

Основите му са кръгове с радиуси $r$ и $r_1,$ оста е отсечката $OO_1$ между центровете им, а височината $h$ е разстоянието между равнините на основите. Правият пресечен конус се получава и при завъртане на правоъгълен трапец около бедрото, перпендикулярно на основите. За образувателната $l$ е вярно ${l^2=h^2+(r-r_1)^2}.$

Величина	Формула
Околна повърхнина	${S=\pi(r+r_1)l}$
Пълна повърхнина	${S_1=S+\pi r^2+\pi r_1^2}$
Обем	${V=\frac{\pi h}{3}\left(r^2+rr_1+r_1^2\right)}$

Кълбо и сфера

Сфера с център $O$ и радиус $R$ е множеството от точките в пространството, които са на разстояние $R$ от $O.$ Кълбо е сферата заедно с всички вътрешни за нея точки.

Хорда на сферата е отсечка, която свързва две нейни точки; диаметър е хорда през центъра и има дължина $2R.$
Сферата се получава при завъртане на полуокръжност около диаметъра ѝ, а кълбото – при завъртане на полукръг около диаметъра му.
Равнина на разстояние $d$ от центъра при ${d\lt R}$ пресича сферата по окръжност с радиус $\sqrt{R^2-d^2},$ при ${d=R}$ се допира до сферата, а при ${d\gt R}$ няма общи точки с нея. Сечението с равнина през центъра е голяма окръжност.
Равнина, която пресича сферата, я разделя на два сферични сегмента, а кълбото – на два кълбовидни сегмента. Височината на сегмента е ${h=PQ},$ където $Q$ е центърът на сечението, а $P$ е точката от сегмента, най-отдалечена от равнината.

Величина	Формула
Лице на сферата	${S=4\pi R^2}$
Обем на кълбото	${V=\frac{4}{3}\pi R^3}$
Лице на сферичен сегмент	${S=2\pi Rh}$
Обем на кълбовиден сегмент	${V=\frac{\pi h^2}{3}(3R-h)}$