МенюПроизведение на вектор с число
Ако $k$ е число, а $\overrightarrow{AB}$ е ненулев вектор, произведение на $\overrightarrow{AB}$ с $k$ се нарича всеки вектор $\overrightarrow{CD}$, който
- лежи на директрисата на $\overrightarrow{AB}$ или на успоредна на нея права;
- има дължина ${|\overrightarrow{CD}|=|k|\cdot|\overrightarrow{AB}|}$;
- е еднопосочен с $\overrightarrow{AB}$ при ${k\gt 0}$ и противопосочен при ${k\lt 0}$.
Пишем ${\overrightarrow{CD}=k\cdot\overrightarrow{AB}}$. Ако ${k=0}$ или $\overrightarrow{AB}$ е нулевият вектор, произведението е нулевият вектор.
На чертежа ${\overrightarrow{CD}=1{,}5\cdot\overrightarrow{AB}}$, а ${\overrightarrow{EF}=-1{,}5\cdot\overrightarrow{AB}}$: двата вектора са 1,5 пъти по-дълги от $\overrightarrow{AB}$, но $\overrightarrow{EF}$ е противопосочен на него.
Свойства
За произволни вектори $\vec{a}$, $\vec{b}$ и числа $k$, $l$:
- ${1\cdot\vec{a}=\vec{a}}$ и ${(-1)\cdot\vec{a}=-\vec{a}}$;
- ${k(l\vec{a})=(kl)\vec{a}}$;
- ${(k+l)\vec{a}=k\vec{a}+l\vec{a}}$;
- ${k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}}$.
Отношение на два вектора
Нека векторите $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ лежат на една права или на успоредни прави и ${\overrightarrow{CD}\ne\vec{0}}$. Отношение на векторите е числото ${\overrightarrow{AB}:\overrightarrow{CD}}$, чиято абсолютна стойност е ${|\overrightarrow{AB}|:|\overrightarrow{CD}|}$, а знакът е „+“, ако векторите са еднопосочни, и „−“, ако са противопосочни.
Отношението на два вектора е реално число – положително, отрицателно или нула. Обратно, ако $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ лежат на една права или на успоредни прави и ${\overrightarrow{AB}\ne\vec{0}}$, то $\overrightarrow{CD}$ е произведение на $\overrightarrow{AB}$ с числото ${k=\overrightarrow{CD}:\overrightarrow{AB}}$, т.е. ${\overrightarrow{CD}=k\cdot\overrightarrow{AB}}$.
Пример. На оста $x$ са дадени точките $A$, $B$, $D$, $E$ и $C$, като, измерени с единичния сегмент, ${AB=3}$, ${DE=2}$, ${EC=3}$ и ${AD=DC=5}$.
Векторът $\overrightarrow{CD}$ е противопосочен на $\overrightarrow{AB}$, а $\overrightarrow{DE}$ е еднопосочен с него, затова
${\overrightarrow{AB}:\overrightarrow{CD}=-\frac{3}{5}}$, т.е. ${\overrightarrow{AB}=-\frac{3}{5}\,\overrightarrow{CD}}$;
${\overrightarrow{AB}:\overrightarrow{DE}=+\frac{3}{2}}$, т.е. ${\overrightarrow{AB}=\frac{3}{2}\,\overrightarrow{DE}}$.
Ако отношението на два вектора е +1, те са равни, а ако е −1, векторите се наричат противоположни (право противоположни). Противоположните вектори имат равни дължини и противоположни посоки.
На чертежа ${\overrightarrow{AB}:\overrightarrow{EC}=+1}$, т.е. ${\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{EC}}$, и ${\overrightarrow{AD}:\overrightarrow{CD}=-1}$, т.е. ${\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{CD}}$. В частност ${\overrightarrow{AB}:\overrightarrow{BA}=-1}$, т.е. ${\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}}$. Върху ос с единичен сегмент $\vec{i}$ релативната мярка на всеки сегмент е отношението му към $\vec{i}$: ${\overline{AB}=\overrightarrow{AB}:\vec{i}}$. Затова ${\overline{AB}=-\overline{BA}}$, равните сегменти върху една ос имат равни релативни мерки, а противоположните – противоположни.
И така, всяко от равенствата
${\overrightarrow{AB}:\overrightarrow{CD}=k}$, ${\overrightarrow{CD}:\overrightarrow{AB}=\frac{1}{k}}$, ${\overrightarrow{AB}=k\cdot\overrightarrow{CD}}$, ${\overrightarrow{CD}=\frac{1}{k}\cdot\overrightarrow{AB}}$,
където $k$ е ненулево число, показва, че:
- правите $AB$ и $CD$ са успоредни или съвпадат;
- отношението на дължините на отсечките $AB$ и $CD$ е $|k|$;
- векторите $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ са еднопосочни при ${k\gt 0}$ и противопосочни при ${k\lt 0}$.
Още за векторите: Вектори · Вектори – определения · Равенство на вектори · Сбор и разлика на вектори · Задачи за вектори
