Задачи за средна отсечка в триъгълник и трапец

Задача 1
Страните на даден триъгълник имат дължини съответно 5см, 7см, 11см. Намерете дължините на страните на триъгълника, който има за върхове средите на страните на дадения триъгълник. Може ли да се намери периметърът на втория триъгълник ако се знае периметърът на дадения?

Задача 2
Средите на страните на четериъгълник са съединени последователно с отсечки. Определете вида на получения четериъгълник.
Упътване: Начертайте диагоналите на дадения четериъгълник и използувайте знанията си за средна отсечка на триъгълник.

Задача 3
Докажете, че правата tр която минава през средата М на едно от бедрата на трапеца АВСD и е успоредна на осножите разполовява и другото му бедро.
Упътване: Докажете, че t съвпада с правата, върху която леги средната отсечка на трапеца.

Задача 4
Височината през върха на тъпия ъгъл на равнобедрен трапец дели голямата основа на отсечки с дължини 7см и 5см. Докажете, че средната отсечка има дължина 7см,т.е. колкото е дължината на по-голямата от двете отсечки. Докажете, че това е вярно за всеки равнобедрен трапец, като означите дължините на двете основи на трапеца с а, b.

Задача 5
Основите на трапец имат дължини 10см и 4см. Намерете дължината на частта от средната отсечка на трапеца, заключена между диагоналите му. Проверете, че тя е равна на полуразликата от дължините на основите му. Докажете, че това свойство има всеки трапец.

Задача 6
Малката основа на трапец има дължина 4,6см, а дължината на отсечката от средната основа, която е заключена между диагоналите, е 2,2см. Намерете дължината на голямата основа на трапеца.

Задача 7
Дължините на диагоналите на даден четериъгълник са 9,2см и 12см. Намерете периметъра на четериъгълника, който има за върхове средите на страните на дадения четириъгълник. Решете задачата, ако диагоналите имат дължини m и n.

Задача 8
Равнобедрен трапец е описан около окръжност. Докажете, че средната му отсечка е равна на бедрото му.

Задача 9
Да се построи триъгълник, по дадени три точки, които са среди на страните му.

Задача 10
Средните отсечки на триъгълник го разделят на четери триъгълника. Сборът от периметрите на тези триъгълници е 25см. Да се намери периметърът на дадения триъгълник.
Отговор: 12,5см

Задача 11
Страните на триъгълник се отнасят както 2:3:4, а периметърът на триъгълника с върхове средите на страните му е 22,5см. Да се намерят страните на дадения триъгълник.
Отговор: 10см, 15см, 20см

Задача 12
Да се намерят страните на равнобедрен триъгълник с периметър 16см, ако отсечката, която съединява средите на бедрата му, е 3см.

Задача 13
Даден е равнобедрен трапец с остър ъгъл 60° и средна отсечка 15см. Да се намерят страните на трапеца, ако средната му отсечка се разделя от диагоналите на три равни части.
Отговор: 20см, 10см, 10см, 10см

Даден е равнобедрен трапец АВСD с височина СМ и средна отсечка NP. Да се докаже , че АМ = NP и МВ = ЕQ

Задача 14
Даден е трапец с бедра 5см и 6см и средна отсечка 12см. Да се намерят основите на трапеца, ако ъглополовящите на ъглите при голямата му основа се пресичат в точка от малката основа.
Отговор: 13см, 11см

Задача 15
Даден е правоъгълен триъгълник АВС с медиана към хипотенузата СМ = 7см. От средите А₁ и В₁ на АС и ВС са построени прави, успоредни на СМ, които пресичат АВ в точките А₂ и В₂. Да се определи видът и да се намери периметърът на четериъгълника А₁В₁В₂А₂
Отговор: Успоредник, 21см

Задача 16
Даден е триъгълник АВС с медиани АА₁ и ВВ₁. Проекциите на АС и ВС върху АВ са съответно 6см и 4см. Да се намерят проекциите на АА₁ и ВВ₁ върху АВ, ако ъглите ВАС и АВС са остри.
Отговор: 8см, 7см.

По-трудни задачи

Задача 17
Точките А, В, С не лежат на една права.Колко са правите, които са равноотдалечени от А, В, С? Отговор: 3см.

Задача 18
Да се докаже, че всяка медиана на триъгълник е по-малка от:
а) полусбора на двете страни, с които, има общ връх;
б) полупериметъра на триъгълника.

Задача 19
Да се докаже, че сборът от медианите на всеки триъгълник е по-малък от периметъра на триъгълника и по-голям от полупериметъра му.

Задача 20
Даден е триъгълник АВС и точка М. Нека М₁ е симетрична на М спрямо А, М₂ е симетрична на М₁ спрямо В и М₃ е симетричната на М₂ спрямо С. Да се докаже, че средата на отсечката ММ₃ не зависи от избора на точката М

Задача 21
Бедрото на равнобедрен триъгълник е 12см. През средата на височината му е построена права, успоредна на бедрото. Да се намери частта от тази права, която е в триъгълника
Отговор: 9см.

Задача 22
Даден е равнобедрен трапец АВСD с основи АВ и СD.Ъглополовящите на ъглите при АD се пресичат в точка М, а ъглополовящите на ъглите при ВС – в точка К. Да се намери сборът на основите на трапеца, ако ВС = 10см и МК = 4см
Отговор: 28см или 12см

Задача 23
Даден е трапец, на който сборът от ъглите при голямата основа е 90°. Да се докаже, че отсечката, свързваща средите на двете основи, е равна на полуразликата им.

Задача 24
Даден е триъгълник АВС с медиана СМ. През А и средата на СМ е построена права, която пресича ВС в точка Р. Да се намерят отсечките ВР и СР, ако ВС = 8,7см
Отговор: 5,8см, 2,9 см.

Задача 25
Дадени са ъгъл и точка между раменете му. Да се построи отсечка с краища върху ъгъла, която се разполовява от дадената точка.

Задача 26
Да се докаже, че всяка средна отсечка на триъгълник отсича от него триъгълник с четири пъти по-малко лице.

Задача 27
Даден е четириъгълник и точка М. Да се докаже, че точките, симетрични на М спрямо средите на страните на четириъгълника, са върхове на успоредник

Задача 28
Да се намерят основите на трапец, ако средната му отсечка е 9см, а частта от нея, заключена между диагоналите му, е 1см
Отговор: 10см, 8см

Задача 29
Даден е равнобедрен трапец с периметър 78 см и отношение на основите 11:5. Да се намери средната отсечка на трапеца, ако диагоналът му разполовява един от неговите ъгли
Отговор: 24см или 16 8/19см

Задача 30
Единият диагонал и едната основа на правоъгълен трапец са по 14см, а единият от ъглите му е 120 градуса. Да се намери средната отсечка на трапеца.
Отговор: 10,5см

Задача 31
Основите на трапец са 10,8см и 5,4см. Едното от бедрата му е разделено на три равни части и през точките на деление са прекарани прави, успоредни на основите. Да се намерят отсечките от тези прави, заключени между бедрата на трапеца и частите, на които се разделят те от неговите диагонали
Отговор: 9см, 7,2см, 1,8см, 5,4см, 1,8см, 3,6см, 3,6см

Задача 32
Дадени са триъгълник и права, която не пресича страните му. Да се намери разстоянието от медицентъра на триъгълника до правата, ако разстоянията от върховете му до нея са 5см, 10см и 12см.
Отговор: 9см.

Задача 33
Диагоналите на четериъгълник са 1 и 2. Да се намери лицето му, ако отсечките, които свързват средите на срещуположните му страни, са равни
Отговор: 1

Най-трудни задачи

Задача 34
Даден е четериъгълникът АВСD Да се построи образът А₁С₁D₁ на триъгълник АСD при транслация, определена от DB и да се докаже, че диагоналите на четериъгълника АА₁С₁С са два пъти по-големи от средните отсечки на дадения четериъгълник.

Задача 35
Да се построи четериъгълник АВСD по дадени диагонали АС = d1 ВD = d2, страни АD = a и ВС = b и отсечка МК = m, където М и К са средите на АВ и СD.

Задача 36
Да се построи петоъгълник по дадени среди на страните му.

Задача 37
Даден е триъгълник АВС и точка О от страната му АВ. Да се построи правоъгълен триъгълник КМN така, че О да е среда на катета му КМ, катетът КN да лежи на правата АС и средата на хипотенузата MN да лежи на правата ВС.

Задача 38
Точките Р и N разделят страната ВС на >АВС на три равни части, а М е средата на АВ. Да се докаже, че ако СВ = 3СА, то МР + МN

Задача 39
Диагоналите АС и ВD на равнобедрения трапец АВСD се пресичат в точка О. Да се докаже, че ако АВ е голямата му основа и ъгъл АОВ = 60° , средите на отсечките АО, DO и ВС са върхове на равностранен триъгълник.

Задача 40
Даден е триъгълник АВС, в който АС>АВ. Върху АС точка М е такава, че СМ = АВ. Точките Р и К са среди съответно на АМ и ВС. Да се намери ъгъл СРК, ако ъгъл ВАС = α.
Отговор: α/2

Задача 41
Даден е триъгълник АВС и права q. Да се намери разстоянието от медицентъра на триъгълника до q, ако разстоянията от А, В, и С до нея са съотвено а, b, с
Отговор: (а + b + c)/3 или (a + b - c)/3 или (а - b + c)/3 или (-а + b + c)/3

Още във форума за средна отсечка

Още средна отсечка във форума за математика