Отношения и пропорции

Отношение на две числа е тяхното частно: то показва колко пъти едното число е по-голямо от другото или каква част от другото число е първото. Пропорция е равенство на две отношения. Отношенията и пропорциите са навсякъде около нас: в рецептите, на картите и чертежите, в цените, скоростите и смесите, и с тяхна помощ се решават много текстови задачи.

На тази страница: Отношение · Съкращаване на отношения · Разделяне в дадено отношение · Произведение на отношения · Пропорция · Основно свойство · Средно пропорционално · Непрекъсната пропорция · Свойства на пропорциите · Права и обратна пропорционалност · Решени задачи · Упражнения

Какво е отношение

Отношение на числото $a$ към числото $b$ е частното ${a:b}$. Чете се: „$a$ към $b$“. Отношението може да се запише и като дроб, $\frac{a}{b}$. Числата $a$ и $b$ са членове на отношението: $a$ е първият член, а $b$ – вторият член.

Пример. В една торбичка има 6 сини и 4 оранжеви топчета.

10-те топчета образуват две еднакви групи, във всяка има 3 сини и 2 оранжеви топчета.

• Отношението на броя на сините топчета към броя на оранжевите е ${6:4}$, а след съкращаване – ${3:2}$: на всеки 3 сини топчета се падат 2 оранжеви.
• Отношението на броя на оранжевите топчета към броя на сините е ${4:6=2:3}$. Редът е важен: ${2:3}$ не е същото като ${3:2}$.
• Отношението на броя на сините топчета към броя на всички топчета е ${6:10=3:5}$.

Първите две отношения сравняват части една с друга, а последното – част с цялото. Отношението на част към цялото е дроб от цялото: сините са $\frac{3}{5}$, или 60%, от всички топчета.

Пример. Намерете отношението на 50 см към 2 м. Първо изразяваме двете дължини в сантиметри: 2 м са 200 см. Тогава

${{50:200}={1:4}}$

Втората дължина е 4 пъти по-голяма от първата. Отговорът ${50:2}$ би бил грешен.

Равни отношения и съкращаване

За да съкратите отношение на естествени числа, разделете двата члена на техния най-голям общ делител – както при съкращаване на дроб. Ако членовете са взаимно прости естествени числа, отношението не може да се съкрати повече.

Пример 1. Съкратете отношението ${12:18}$. Най-големият общ делител на 12 и 18 е 6:

${12:18}={(12:6):(18:6)}={2:3}$

Пример 2. Ако членовете на отношението са обикновени дроби, умножете двата члена по общия им знаменател. За да съкратим ${\frac{1}{2}:\frac{2}{3}}$, умножаваме по 6:

${\frac{1}{2}:\frac{2}{3}}={\left(\frac{1}{2}\cdot 6\right):\left(\frac{2}{3}\cdot 6\right)}={3:4}$

Пример 3. Ако членовете на отношението са десетични дроби, умножете ги по 10, 100, … така, че двата члена да станат естествени числа:

${0{,}4:1{,}2}={4:12}={1:3}$

Пример 4. Намерете отношението на 45 минути към 2 часа. 2 часа са 120 минути:

${{45:120}={3:8}}$

Сравняване на отношения

За да сравните две отношения, сравнете стойностите им. Най-бързо става „на кръст“: за положителни числа отношението ${a:b}$ е по-голямо от отношението ${c:d}$ точно когато ${ad\gt bc}$.

Пример. Кое отношение е по-голямо: ${11:9}$ или ${44:35}$?

${{11\cdot 35}={385}}$ и ${{9\cdot 44}={396}}$

Тъй като ${385\lt 396}$, по-голямо е отношението ${44:35}$. Проверка с десетични дроби: ${{11:9}\approx{1{,}222}}$ и ${{44:35}\approx{1{,}257}}$.

Ако прибавим едно и също число към двата члена, отношението се променя. Отношенията ${2:3}$ и ${(2+1):(3+1)}$, т.е. ${3:4}$, не са равни: $\frac{2}{3}$ е около 0,67, а $\frac{3}{4}$ е 0,75. Равно отношение се получава само чрез умножаване или делене на двата члена на едно и също число. Нещо повече, ако прибавим към двата члена едно и също положително число, стойността на отношението винаги се приближава към 1: ${5:3}$ е около 1,67, а ${(5+1):(3+1)}$, т.е. ${6:4}$, е равно на 1,5.

Отношение на три и повече числа

Едно отношение може да сравнява и повече от две величини. Бетонът например може да се приготви от цимент, пясък и чакъл в отношение ${1:2:4}$: на 1 кофа цимент се падат 2 кофи пясък и 4 кофи чакъл. Правилата са същите: всички членове могат да се умножат или разделят на едно и също число, затова ${2:4:8}$ е същото отношение като ${1:2:4}$.

Пример. ${a:b=2:3}$ и ${b:c=4:5}$. Намерете ${a:b:c}$.

Решение: В тези отношения на $b$ съответстват различни числа – 3 и 4. Изравняваме ги: най-малкото общо кратно на 3 и 4 е 12, затова умножаваме първото отношение по 4, а второто – по 3:

${a:b=8:12}$ и ${b:c=12:15}$, следователно ${{a:b:c}={8:12:15}}$

Разделяне на число в дадено отношение

Пример 1. Ани и Боби си поделят 60 евро в отношение ${2:3}$. По колко получава всеки от тях?

Решение: Има ${{2+3}=5}$ равни части, а една част е ${{60:5}=12}$ евро. Ани получава ${{2\cdot 12}=24}$ евро, а Боби – ${{3\cdot 12}=36}$ евро.

60 евро са 5 равни части по 12 евро. Ани получава 2 части, а Боби – 3.

Проверка: ${{24+36}=60}$ ✓ и ${24:36=2:3}$ ✓

Пример 2. Колко цимент, пясък и чакъл са нужни за 350 кг суха бетонна смес в отношение ${1:2:4}$?

Решение: Частите са ${{1+2+4}=7}$, а една част е ${{350:7}=50}$ кг. Нужни са 50 кг цимент, ${{2\cdot 50}=100}$ кг пясък и ${{4\cdot 50}=200}$ кг чакъл.

Пример 3. Броят на момчетата и броят на момичетата в един клас се отнасят както ${4:5}$, а момчетата са 12. Колко са момичетата?

Решение: На момчетата се падат 4 части, значи една част е ${{12:4}=3}$ ученици. На момичетата се падат 5 части: ${{5\cdot 3}=15}$ момичета. Целият клас е ${{4+5}=9}$ части, или ${{9\cdot 3}=27}$ ученици.

Произведение на отношения и обратно отношение

Отношенията могат да се умножават. Произведение на отношения е отношението на произведението на първите членове към произведението на вторите членове. Едно отношение може също да се повдигне на квадрат или на куб, от него може да се извади корен или то да се „обърне“:

Название	Отношение	Пример
Произведение на отношенията ${a:b}$ и ${c:d}$	${ac:bd}$	${2:3}$ и ${4:5}$ дават ${8:15}$
Отношение на квадратите	${a^2:b^2}$	за ${2:3}$ е ${4:9}$
Отношение на кубовете	${a^3:b^3}$	за ${2:3}$ е ${8:27}$
Отношение на квадратните корени	${\sqrt{a}:\sqrt{b}}$	за ${4:9}$ е ${2:3}$
Отношение на кубичните корени	${\sqrt[3]{a}:\sqrt[3]{b}}$	за ${8:27}$ е ${2:3}$
Обратно отношение	${b:a}$, т.е. ${\frac{1}{a}:\frac{1}{b}}$	за ${2:3}$ е ${3:2}$

Пример. Намерете произведението на отношението ${2:3}$, отношението на квадратите на числата 3 и 4 и отношението на квадратните корени от числата 64 и 9.

Решение: Отношението на квадратите на 3 и 4 е ${9:16}$, а отношението на квадратните корени от 64 и 9 е ${8:3}$. Умножаваме първите и вторите членове:

${(2\cdot 9\cdot 8):(3\cdot 16\cdot 3)}={144:144}={1:1}$

Отношението на квадратите не е удвоеното отношение. За отношението ${3:1}$ отношението на квадратите е ${9:1}$, а удвоеното отношение е ${6:1}$. По същия начин отношението на кубовете за ${3:1}$ е ${27:1}$, а не ${9:1}$.

Ако вторият член на всяко отношение е равен на първия член на следващото, средните членове се съкращават: произведението на отношенията ${a:b}$, ${b:c}$ и ${c:d}$ е ${a:d}$, защото

$$\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a}{d}$$

Това ще ни трябва по-долу, при непрекъснатата пропорция.

Какво е пропорция

Пропорция е равенство на две отношения:

$$a:b=c:d\qquad\text{или}\qquad\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

Чете се: „$a$ се отнася към $b$, както $c$ се отнася към $d$“. Числата $a$, $b$, $c$ и $d$ са членове на пропорцията: $a$ и $d$ са крайните членове, а $b$ и $c$ – средните членове.

Крайните членове са в краищата на пропорцията, а средните – в средата.

Пример. Образуват ли пропорция числата 12, 8, 15 и 10? Стойностите на отношенията са ${{12:8}={1{,}5}}$ и ${{15:10}={1{,}5}}$. Те са равни, следователно ${12:8=15:10}$ е пропорция.

В ежедневната реч „пропорция“ често означава съотношение, например „смесете боята с вода в пропорция 1 към 3“. В математиката пропорцията е винаги равенство на две отношения.

Основно свойство на пропорциите

Защо е така? Умножаваме двете страни на равенството ${\frac{a}{b}=\frac{c}{d}}$ по $bd$:

${{\frac{a}{b}\cdot bd}={\frac{c}{d}\cdot bd}}$, откъдето ${ad=bc}$.

Това свойство се нарича още правило „на кръст“, защото се умножават числата, които стоят по диагонал едно срещу друго. С него бързо се проверява дали една пропорция е вярна:

${12:8=15:10}$ е вярна пропорция, защото ${{12\cdot 10}={120}}$ и ${{8\cdot 15}={120}}$.

Отношенията ${3:4}$ и ${5:7}$ не образуват пропорция: ${{3\cdot 7}={21}}$, а ${{4\cdot 5}={20}}$.

Вярно е и обратното: ако ${ad=bc}$, от тези четири числа може да се състави пропорция. Множителите от едната страна на равенството стават крайни членове, а множителите от другата страна – средни. Например от равенството ${3\cdot 8=4\cdot 6}$ се получават пропорциите ${3:4=6:8}$ и ${3:6=4:8}$.

Как се решава пропорция

Ако един член на пропорцията е неизвестен, използвайте основното свойство на пропорциите и решете полученото уравнение.

Пример 1. Решете пропорцията ${x:12=5:4}$.

${4x}={12\cdot 5}={60}$, откъдето ${x=15}$

Проверка: ${{15:12}={1{,}25}}$ и ${{5:4}={1{,}25}}$ ✓

Пример 2. Решете пропорцията ${\frac{x+2}{3}=\frac{x-1}{2}}$.

${{2(x+2)}={3(x-1)}}$

${{2x+4}={3x-3}}$, откъдето ${x=7}$

Проверка: ${{\frac{7+2}{3}}={3}}$ и ${{\frac{7-1}{2}}={3}}$ ✓

Ако изразим от равенството ${ad=bc}$ всяка буква, получаваме правилото за намиране на неизвестен член на пропорцията: крайният член е равен на произведението на средните членове, разделено на другия краен член, а средният член е равен на произведението на крайните членове, разделено на другия среден член:

$$a=\frac{bc}{d}\qquad d=\frac{bc}{a}$$ $$b=\frac{ad}{c}\qquad c=\frac{ad}{b}$$

Четвърто, трето и средно пропорционално

Четвърто пропорционално на числата $a$, $b$ и $c$ е числото $x$, за което ${a:b=c:x}$. По основното свойство ${ax=bc}$, затова

$$x=\frac{bc}{a}$$

Пример. Четвъртото пропорционално на числата 4, 6 и 10 е ${{\frac{6\cdot 10}{4}}={15}}$, защото ${4:6=10:15}$.

На това се основава старинното тройно правило: по три дадени числа се намира четвърто, като второто число се умножи по третото и се раздели на първото.

Трето пропорционално на числата $a$ и $b$ е числото $x$, за което ${a:b=b:x}$. Тогава ${ax=b^2}$, затова

$$x=\frac{b^2}{a}$$

Пример. Третото пропорционално на числата 4 и 6 е ${{\frac{6^2}{4}}={9}}$, защото ${4:6=6:9}$.

Средно пропорционално на две положителни числа $a$ и $b$ е положителното число $x$, за което ${a:x=x:b}$. Тогава ${x^2=ab}$, затова

$$x=\sqrt{ab}$$

Средното пропорционално се нарича още средно геометрично на $a$ и $b$. То се среща и в геометрията: в правоъгълния триъгълник височината към хипотенузата е средно пропорционална между отсечките, на които тя дели хипотенузата.

Пример. Средното пропорционално на числата 2 и 18 е ${\sqrt{2\cdot 18}}={\sqrt{36}}={6}$, защото ${2:6=6:18}$.

В пропорцията ${4:6=6:9}$ числото 6 е средно пропорционално на 4 и 9, а 9 е трето пропорционално на 4 и 6.

Непрекъсната пропорция

Три или повече числа образуват непрекъсната пропорция, ако отношението на всяко число към следващото е едно и също:

$$a:b=b:c=c:d=\ldots$$

Например числата 64, 32, 16, 8 и 4 образуват непрекъсната пропорция, защото ${64:32}$, ${32:16}$, ${16:8}$ и ${8:4}$ са равни на 2. Всяко число се получава от предходното чрез умножение с едно и също число, тук с $\frac{1}{2}$, затова числата на непрекъснатата пропорция образуват геометрична прогресия.

Пример 1. Образуват ли числата 4, 10 и 25 непрекъсната пропорция? ${{10^2}={100}}$ и ${{4\cdot 25}={100}}$, значи да: ${4:10=10:25}$.

Отношение на първото число към последното

Ако $a$, $b$, $c$ образуват непрекъсната пропорция, то ${{\frac{a}{c}}={\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}}}$, а двата множителя са равни на $\frac{a}{b}$. Затова

$$a:c=a^2:b^2$$

С други думи, първото число се отнася към третото, както квадратът на първото число към квадрата на второто. За четири числа в непрекъсната пропорция ${a:d=a^3:b^3}$ и т.н.: отношението на първото число към последното е равно на общото отношение, повдигнато на степен с единица по-малка от броя на числата. В редицата 64, 32, 16, 8, 4 общото отношение е 2, а числата са пет, затова ${64:4}$ е равно на ${2^4=16}$.

Пример 2. Числата 2, $x$, $y$, 54 образуват непрекъсната пропорция. Намерете $x$ и $y$.

Решение: Всяко число се получава от предходното чрез умножение с едно и също число $q$, затова ${2q^3=54}$. Тогава ${q^3=27}$ и ${q=3}$: това са числата 2, 6, 18 и 54, т.е. ${x=6}$ и ${y=18}$.

Свойства на пропорциите

От една пропорция могат да се получат нови пропорции: членовете могат да се разменят, да се събират, да се изваждат и т.н. Такива пропорции се наричат производни пропорции. В таблицата ${a:b=c:d}$ и нито един член не е нула. Всеки пример е получен от пропорцията ${12:4=6:2}$, в която двете отношения са равни на 3.

Свойство	Правило	Пример
Размяна на средните членове	${{a:c}={b:d}}$	${{12:6}={4:2}}$
Размяна на крайните членове	${{d:b}={c:a}}$	${{2:4}={6:12}}$
Обръщане на отношенията	${{b:a}={d:c}}$	${{4:12}={2:6}}$
Сбор на членовете към втория член	${{(a+b):b}={(c+d):d}}$	${{16:4}={8:2}}$
Разлика на членовете към втория член	${{(a-b):b}={(c-d):d}}$	${{8:4}={4:2}}$
Сбор на членовете към тяхната разлика	${(a+b):(a-b)}={(c+d):(c-d)}$	${{16:8}={8:4}}$
Първият член към разликата на членовете	${{a:(a-b)}={c:(c-d)}}$	${{12:8}={6:4}}$
Сбор на първите към сбора на вторите членове	${{(a+c):(b+d)}={a:b}}$	${{18:6}={12:4}}$
Умножаване на първите (или на вторите) членове с едно и също число	${{ka:b}={kc:d}}$	${{24:4}={12:2}}$
Степени и корени	${{a^n:b^n}={c^n:d^n}}$	${{144:16}={36:4}}$
Умножаване на пропорции	ако и ${{e:f}={g:h}}$, то ${{ae:bf}={cg:dh}}$	с ${{10:5}={8:4}}$: ${{120:20}={48:8}}$

За свойствата „сбор на членовете към тяхната разлика“ и „първият член към разликата на членовете“ трябва още ${a\ne b}$, за да не е нула нито един член.

Защо тези свойства са верни? Означаваме общата стойност на отношенията с $k$: ${\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k}$. Тогава ${a=bk}$ и ${c=dk}$. Заместваме тези изрази в двете страни на съответното равенство. Например за сбора и разликата на членовете:

${\frac{a+b}{a-b}}={\frac{bk+b}{bk-b}}={\frac{k+1}{k-1}}$

${\frac{c+d}{c-d}}={\frac{dk+d}{dk-d}}={\frac{k+1}{k-1}}$

Двете страни са равни на едно и също число, следователно са равни. Същият похват – въвеждане на общ коефициент $k$ – доказва и останалите свойства и помага при задачи за доказване.

Пример. Известно е, че ${\frac{a+b}{a-b}=\frac{7}{3}}$. Намерете ${a:b}$.

Решение: Прилагаме към тази пропорция свойството „сбор на членовете към тяхната разлика“:

${\frac{(a+b)+(a-b)}{(a+b)-(a-b)}}={\frac{7+3}{7-3}}$

${{\frac{2a}{2b}}={\frac{10}{4}}}$, откъдето ${a:b=5:2}$

Проверка: при ${a=5}$ и ${b=2}$ ${{\frac{5+2}{5-2}}={\frac{7}{3}}}$ ✓

Права и обратна пропорционалност

Две величини са правопропорционални, ако отношението им не се променя: когато едната се увеличи няколко пъти, другата се увеличава същия брой пъти. Ако $y$ е правопропорционално на $x$, то

$$\frac{y}{x}=k\qquad\text{или}\qquad y=kx$$

Постоянното число $k$ се нарича коефициент на пропорционалност.

Две величини са обратнопропорционални, ако произведението им не се променя: когато едната се увеличи няколко пъти, другата намалява същия брой пъти. Тогава

$$xy=k\qquad\text{или}\qquad y=\frac{k}{x}$$

Графиката на правата пропорционалност е права през началото на координатната система, а графиката на обратната пропорционалност е хипербола.

	Права пропорционалност	Обратна пропорционалност
Ако $x$ се увеличи 2 пъти	$y$ се увеличава 2 пъти	$y$ намалява 2 пъти
Какво не се променя	отношението $\frac{y}{x}$	произведението $xy$
Формула	${y=kx}$	${y=\frac{k}{x}}$
Две двойки стойности	${{x_1:x_2}={y_1:y_2}}$	${{x_1:x_2}={y_2:y_1}}$
Примери	количеството стока и цената ѝ; времето на движение и изминатият път при постоянна скорост	броят на работниците и времето за свършване на работата; скоростта и времето за един и същ път

Пример 1. 3 кг ябълки струват 7,50 евро. Колко струват 5 кг?

Решение: Цената е правопропорционална на масата. Чрез свеждане към единица: 1 кг струва ${{7{,}50:3}={2{,}50}}$ евро, значи 5 кг струват ${{5\cdot 2{,}50}={12{,}50}}$ евро. С пропорция: отношението на масите е равно на отношението на цените,

${3:5=7{,}50:x}$, откъдето ${{3x}={37{,}50}}$ и ${x=12{,}50}$ евро

Пример 2. 6 работници боядисват ограда за 10 часа. За колко часа ще боядисат същата ограда 4 работници, ако всички работят еднакво бързо?

Решение: Колкото по-малко са работниците, толкова повече време е нужно. Броят на работниците и времето са обратнопропорционални, затова произведението им не се променя. Цялата работа е ${{6\cdot 10}=60}$ човекочаса, и на 4 работници ще са нужни ${{60:4}=15}$ часа. С пропорция: отношението на броя на работниците е равно на обратното отношение на времената,

${6:4=x:10}$, откъдето ${{4x}={60}}$ и ${x=15}$ часа

Пример 3. Със скорост 60 км/ч едно пътуване трае 3 часа. Колко ще трае със скорост 90 км/ч? Разстоянието е ${{60\cdot 3}=180}$ км, затова със скорост 90 км/ч пътуването ще трае ${{180:90}=2}$ часа.

Не всичко, което расте заедно, е пропорционално. Пътуване с такси струва 3 евро начална такса плюс 2 евро на километър. Тогава 1 км струва 5 евро, а 2 км – 7 евро, а не 10. Цената расте с разстоянието, но не е правопропорционална на него, защото началната такса не се променя: ${5:1}$ не е равно на ${7:2}$.

Чести грешки

Грешно	Вярно
✗ 3 момчета и 5 момичета: отношението на броя на момчетата към броя на момичетата е ${5:3}$	✓ Спазвайте реда на думите: момчета към момичета е ${3:5}$
✗ Отношението на 50 см към 2 м е ${{50:2}={25:1}}$	✓ Изразете дължините в едни и същи единици: ${{50:200}={1:4}}$
✗ 60 евро в отношение ${2:3}$ са ${{60:2}=30}$ и ${{60:3}=20}$ евро	✓ 5 части по 12 евро: 24 и 36 евро
✗ ${2:3}={(2+1):(3+1)}={3:4}$	✓ Умножавайте или делете двата члена: ${{2:3}={4:6}}$
✗ За отношението ${3:1}$ отношението на квадратите е ${6:1}$	✓ То е ${{3^2:1^2}={9:1}}$
✗ ${\frac{x}{2}+1=\frac{5}{4}}$, значи ${4x+1=10}$	✓ Първо запишете всяка страна като една дроб: ${\frac{x+2}{2}=\frac{5}{4}}$, откъдето ${4(x+2)=10}$ и ${x=0{,}5}$
✗ 6 работници свършват работата за 10 часа, значи 4 работници – за ${\frac{4\cdot 10}{6}\approx 6{,}7}$ часа	✓ По-малко работници – повече време: ${\frac{6\cdot 10}{4}=15}$ часа
✗ Средното пропорционално на 4 и 9 е ${\frac{4+9}{2}=6{,}5}$	✓ То е ${\sqrt{4\cdot 9}=6}$, защото ${{4:6}={6:9}}$

Решени задачи

Задача 1. Разделете числото 49 на две части така, че по-голямата част, увеличена с 6, да се отнася към по-малката част, намалена с 11, както 9 към 2.

Решение: Нека по-голямата част е $x$. Тогава по-малката част е ${49-x}$, а намалена с 11 – ${38-x}$:

${{(x+6):(38-x)}={9:2}}$

${{2(x+6)}={9(38-x)}}$

${{2x+12}={342-9x}}$, откъдето ${11x=330}$ и ${x=30}$

Частите са 30 и 19. Проверка: ${36:8=9:2}$ ✓

Задача 2. Кое число трябва да се прибави към всяко от числата 1, 5 и 13, за да образуват получените суми непрекъсната пропорция?

Решение: Нека това число е $x$. Сумите ${x+1}$, ${x+5}$ и ${x+13}$ образуват непрекъсната пропорция, ако квадратът на средната сума е равен на произведението на другите две:

${(x+5)^2}={(x+1)(x+13)}$

${x^2+10x+25}={x^2+14x+13}$, откъдето ${4x=12}$ и ${x=3}$

Сумите са 4, 8 и 16, и ${4:8=8:16}$ ✓

Задача 3. Разделете числото 18 на две части, чиито квадрати се отнасят както ${25:16}$.

Решение: Щом квадратите на частите се отнасят както ${25:16}$, самите части се отнасят както квадратните корени от тези числа: ${{\sqrt{25}:\sqrt{16}}={5:4}}$. Делим 18 в отношение ${5:4}$: получават се 9 части по 2, следователно частите са 10 и 8.

Проверка: ${100:64=25:16}$ ✓

Задача 4. Числото 20 е разделено на две части, които се отнасят както квадратите на числата 3 и 1. Намерете средното пропорционално на тези части.

Решение: Квадратите на 3 и 1 се отнасят както ${9:1}$. Делим 20 в отношение ${9:1}$: получават се 10 части по 2, следователно частите са 18 и 2. Тяхното средно пропорционално е

${\sqrt{18\cdot 2}}={\sqrt{36}}={6}$

Задача 5. Две числа се отнасят както ${3:2}$. Ако към по-голямото число се прибави 6, а от по-малкото се извади 6, резултатите ще се отнасят както ${3:1}$. Намерете числата.

Решение: Записваме числата като $3k$ и $2k$:

${(3k+6):(2k-6)}={3:1}$

${3k+6}={3(2k-6)}={6k-18}$, откъдето ${3k=24}$ и ${k=8}$

Това са числата 24 и 16. Проверка: ${30:10=3:1}$ ✓

Задача 6. Две положителни числа се отнасят както квадратите на числата 4 и 3, а средното им пропорционално е 24. Намерете числата.

Решение: Квадратите на 4 и 3 се отнасят както ${16:9}$, затова записваме числата като $16k$ и $9k$, където ${k\gt 0}$. Произведението им е равно на квадрата на средното пропорционално:

${{16k\cdot 9k}={24^2}}$, откъдето ${144k^2=576}$, ${k^2=4}$ и ${k=2}$

Това са числата 32 и 18. Проверка: двете отношения ${32:24}$ и ${24:18}$ са равни на $\frac{4}{3}$ ✓

Задача 7. Произведението на две числа е 135, а разликата на квадратите им се отнася към квадрата на разликата им както 4 към 1. Намерете числата.

Решение: Означаваме числата с $a$ и $b$. Тъй като ${a^2-b^2}={(a+b)(a-b)}$, условието означава, че

${\frac{(a+b)(a-b)}{(a-b)^2}}={\frac{a+b}{a-b}}={\frac{4}{1}}$

По свойството „сбор на членовете към тяхната разлика“ ${{\frac{2a}{2b}}={\frac{4+1}{4-1}}}$, откъдето ${a:b=5:3}$. Записваме ${a=5k}$ и ${b=3k}$:

${{5k\cdot 3k}={135}}$, откъдето ${k^2=9}$ и ${k=\pm 3}$

Това са числата 15 и 9 или −15 и −9. Проверка: ${{15\cdot 9}={135}}$ и ${(225-81):36}={144:36}={4:1}$ ✓

Задача 8. Решете уравнението ${\frac{\sqrt{x+5}+\sqrt{x-5}}{\sqrt{x+5}-\sqrt{x-5}}=3}$.

Решение: Записваме 3 като $\frac{3}{1}$ и прилагаме свойството „сбор на членовете към тяхната разлика“. Сборът и разликата на корените се превръщат в отделни корени:

${\frac{2\sqrt{x+5}}{2\sqrt{x-5}}}={\frac{3+1}{3-1}}={2}$

${{\sqrt{x+5}}={2\sqrt{x-5}}}$, откъдето ${{x+5}={4(x-5)}}$, ${3x=25}$ и ${x=\frac{25}{3}}$

Проверка: ${{x+5}={\frac{40}{3}}}$ е 4 пъти по-голямо от ${{x-5}={\frac{10}{3}}}$, затова ${{\sqrt{x+5}}={2\sqrt{x-5}}}$, а лявата страна е равна на ${{\frac{2+1}{2-1}}={3}}$ ✓

Упражнения

Решете всяка задача и след това я отворете, за да проверите отговора си.

1. Съкратете отношението ${24:36}$.

Най-големият общ делител е 12: ${{24:36}={2:3}}$

2. Съкратете отношението ${\frac{3}{4}:\frac{5}{6}}$.

Умножаваме двата члена по 12: ${{\frac{3}{4}:\frac{5}{6}}={9:10}}$

3. Кое отношение е по-голямо: ${7:9}$ или ${10:13}$?

${{7\cdot 13}={91}}$ и ${{9\cdot 10}={90}}$. Тъй като ${91\gt 90}$, по-голямо е отношението ${7:9}$.

4. Разделете 96 евро в отношение ${3:5}$.

8 части по 12 евро: 36 и 60 евро.

5. Две числа се отнасят както ${5:3}$, а разликата им е 14. Намерете числата.

Разликата е ${{5-3}=2}$ части, значи една част е 7. Това са числата 35 и 21.

6. ${a:b=3:4}$ и ${b:c=6:7}$. Намерете ${a:b:c}$.

Правим $b$ равно на 12 и в двете отношения: ${a:b=9:12}$ и ${b:c=12:14}$, следователно ${{a:b:c}={9:12:14}}$.

7. Решете пропорцията ${(x-1):6=5:3}$.

${{3(x-1)}={30}}$, откъдето ${x-1=10}$ и ${x=11}$.

8. Намерете третото пропорционално на числата 9 и 12 и средното пропорционално на числата 8 и 18.

Третото пропорционално е ${{\frac{12^2}{9}}={16}}$, защото ${9:12=12:16}$. Средното пропорционално е ${{\sqrt{8\cdot 18}}={12}}$, защото ${8:12=12:18}$.

9. Намерете произведението на отношението ${7:5}$, отношението на квадратите на числата 4 и 9 и отношението на кубовете на числата 3 и 2.

${(7\cdot 16\cdot 27):(5\cdot 81\cdot 8)}={3024:3240}={14:15}$

10. Известно е, че ${(a+2b):(a-2b)=9:5}$. Намерете ${a:b}$.

По свойството „сбор на членовете към тяхната разлика“ ${{\frac{2a}{4b}}={\frac{14}{4}}}$, затова ${\frac{a}{b}=7}$ и ${a:b=7:1}$.

11. Докажете, че ако ${a:b=c:d}$, то ${(a^2+b^2):(c^2+d^2)=ab:cd}$.

Заместваме ${a=bk}$ и ${c=dk}$. Лявата страна е ${\frac{b^2k^2+b^2}{d^2k^2+d^2}}={\frac{b^2(k^2+1)}{d^2(k^2+1)}}={\frac{b^2}{d^2}}$, а дясната страна е ${\frac{bk\cdot b}{dk\cdot d}}={\frac{b^2}{d^2}}$. Те са равни.

12. Мащабът на една карта е ${1:50\,000}$. Разстоянието между две села на картата е 7,4 см. Колко е разстоянието между тях в действителност?

${7{,}4\cdot 50\,000}={370\,000}$ см, т.е. 3700 м, или 3,7 км.

13. 4 тръби напълват басейн за 9 часа. За колко часа ще го напълнят 6 такива тръби?

Броят на тръбите и времето са обратнопропорционални: ${{4\cdot 9}={36}}$ и ${{36:6}={6}}$ часа.

Още задачи, всеки път с нови числа (на английски език): коя пропорция дава цената?