Уравнения от първа степен с едно неизвестно

Стойност на неизвестното, за която от даденото уравнение се получава вярно числово равенство, се нарича корен (решение) на уравнението. Две уравнения се наричат равносилни (еквивалентни), когато имат едни и същи корени. Всяко от следните действия превръща уравнението в равносилно на него:

1. замяна на израз с тъждествен на него израз, например ${2(x+3)}$ с ${2x+6}$;
2. прехвърляне на събираемо от едната страна на уравнението в другата с противоположен знак;
3. умножаване или деление на двете страни с едно и също число, различно от нула.

Уравнение, което може да се приведе във вида ${ax+b=0}$, където $a$ и $b$ са дадени числа, се нарича уравнение от първа степен (линейно уравнение) с неизвестно $x$. Следват задачи с подробни решения.

Задача 1

Решете уравнението:

А) ${16x+10-32}={35-10x-5}$
Б) ${y+\frac{3}{2}y+25}={\frac{1}{2}y+\frac{3}{4}y-\frac{5}{2}y+y+37}$
В) ${7u-9-3u+5}={11u-6-4u}$

Решение:

А) Опростяваме двете страни и прехвърляме събираемите:

${{16x-22}={30-10x}}$

${{16x+10x}={30+22}}$, откъдето ${26x=52}$ и ${x=2}$

Б) Събираме членовете с $y$ във всяка страна. Вляво ${1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}}$, а вдясно ${\frac{1}{2}+\frac{3}{4}-\frac{5}{2}+1=-\frac{1}{4}}$:

${{\frac{5}{2}y+25}={-\frac{1}{4}y+37}}$

${{\frac{5}{2}y+\frac{1}{4}y}={37-25}}$, откъдето ${\frac{11}{4}y=12}$ и ${y=\frac{48}{11}}$

В)

${{4u-4}={7u-6}}$

${{6-4}={7u-4u}}$, откъдето ${2=3u}$ и ${u=\frac{2}{3}}$

Задача 2

Решете уравнението:

А) ${7(3x-6)+5(x-3)}-{2(x-7)}={5}$
Б) ${(x-3)(x+4)-2(3x-2)}={(x-4)^2}$
В) ${(x+1)^3-(x-1)^3}={6(x^2+x+1)}$

Решение:

А)

${21x-42+5x-15-2x+14}={5}$

${21x+5x-2x}={5+42+15-14}$, откъдето ${24x=48}$ и ${x=2}$

Б)

${x^2+4x-3x-12-6x+4}={x^2-8x+16}$

${x^2-5x-8}={x^2-8x+16}$

Членовете с ${x^2}$ се унищожават:

${{8x-5x}={16+8}}$, откъдето ${3x=24}$ и ${x=8}$

В)

${x^3+3x^2+3x+1}-{(x^3-3x^2+3x-1)}={6x^2+6x+6}$

${{6x^2+2}={6x^2+6x+6}}$

${{2}={6x+6}}$, откъдето ${6x=-4}$ и ${x=-\frac{2}{3}}$

Задача 3

Решете уравнението:

А) ${{\frac{5x-4}{2}}={\frac{0{,}5x+1}{3}}}$
Б) ${{1-\frac{x-3}{5}}={\frac{-3x+3}{3}}}$
В) ${{\frac{x+1}{3}-\frac{2x+5}{2}}={-3}}$
Г) ${\frac{3(x-1)}{2}+\frac{2(x+2)}{4}}={\frac{3x+4{,}5}{5}}$

Решение:

А) Произведението на крайните членове на пропорцията е равно на произведението на средните:

${{3(5x-4)}={2(0{,}5x+1)}}$

${{15x-12}={x+2}}$, откъдето ${14x=14}$ и ${x=1}$

Б) Дясната страна е ${\frac{3(1-x)}{3}=1-x}$, затова

${{1-\frac{x-3}{5}}={1-x}}$

Изваждаме 1 от двете страни и умножаваме с $-5$:

${{x-3}={5x}}$, откъдето ${-3=4x}$ и ${x=-\frac{3}{4}}$

В) Умножаваме по 6:

${2(x+1)-3(2x+5)}={-18}$

${{2x+2-6x-15}={-18}}$

${{-4x-13}={-18}}$, откъдето ${-4x=-5}$ и ${x=\frac{5}{4}}$

Г) Общият знаменател на 2, 4 и 5 е 20. Умножаваме по 20:

${30(x-1)+10(x+2)}={4(3x+4{,}5)}$

${30x-30+10x+20}={12x+18}$

${{40x-12x}={18+10}}$, откъдето ${28x=28}$ и ${x=1}$

Задача 4

Докажете, че всяко число е корен на уравнението:

А) ${7x-13=-13+7x}$
Б) ${\left(\frac{1}{2}-x\right)^2-\left(\frac{1}{2}+x\right)^2}={-2x}$
В) ${{3x-3x}={26-2(7+6)}}$
Г) ${{\frac{-3x+4x^2}{5}}={(0{,}8x-0{,}6)x}}$

Решение: Едно уравнение е изпълнено за всяко число, ако може да се приведе във вида ${0\cdot x=0}$ или ако двете му страни станат един и същ израз. Тогава всяка стойност на $x$ дава вярно равенство.

А) ${{7x-7x}={-13+13}}$, т.е. ${0\cdot x=0}$, и всяко число е корен.

Б) Разкриваме квадратите:

${\frac{1}{4}-x+x^2-\left(\frac{1}{4}+x+x^2\right)}={-2x}$

${{-2x}={-2x}}$

Двете страни са еднакви, затова всяко число е корен.

В) ${{0\cdot x}={26-2\cdot 13}}$, т.е. ${0\cdot x=0}$, и всяко число е корен.

Г) Умножаваме по 5:

${{-3x+4x^2}={5(0{,}8x-0{,}6)x}}$

${{-3x+4x^2}={4x^2-3x}}$

Двете страни са еднакви, затова всяко число е корен.

Задача 5

Докажете, че уравнението няма корени:

А) ${0\cdot x=34}$
Б) ${5-3x=7-3x}$
В) ${{\frac{x-3}{4}}={\frac{x+5}{4}}}$
Г) ${2(3x-1)-3(2x+1)}={6}$

Решение: Уравнение, което се привежда във вида ${0\cdot x=c}$, където ${c\ne 0}$, няма корени: лявата страна е 0 за всяко $x$, а дясната не е.

А) Лявата страна е 0 за всяко $x$, а дясната е 34. Няма число, за което равенството да е вярно.

Б) ${{-3x+3x}={7-5}}$, т.е. ${0\cdot x=2}$: няма корени.

В) Умножаваме по 4: ${{x-3}={x+5}}$, откъдето ${{x-x}={5+3}}$ и ${0\cdot x=8}$: няма корени.

Г) ${{6x-2-6x-3}={6}}$, т.е. ${0\cdot x=11}$: няма корени.

Задача 6

Решете уравнението:

А) ${2x^2-3(1-x)(x+2)}+{(x-4)(1-5x)+58}={0}$
Б) ${3(x+1)^2-(3x+5)x}={x+3}$
В) ${{x^2-(x-1)(x+1)}={4}}$
Г) ${(x-1)(x^2+x+1)}={(x-1)^3+3x(x-1)}$
Д) ${(3x-1)^2-x(15x+7)}={x(x+1)(x-1)-(x+2)^3}$

Решение: Тези уравнения съдържат квадрати и кубове, но след разкриване на скобите членовете с ${x^2}$ и ${x^3}$ се унищожават и остава уравнение от първа степен.

А)

${2x^2-3(x+2-x^2-2x)}+{x-5x^2-4+20x+58}={0}$

${2x^2-3x-6+3x^2+6x}+{x-5x^2-4+20x+58}={0}$

${{24x+48}={0}}$, откъдето ${24x=-48}$ и ${x=-2}$

Б)

${3x^2+6x+3-3x^2-5x}={x+3}$

${{x+3}={x+3}}$

Двете страни са еднакви, затова всяко число е корен.

В)

${{x^2-(x^2-1)}={4}}$, т.е. ${0\cdot x=3}$: няма корени.

Г)

${x^3+x^2+x-x^2-x-1}={x^3-3x^2+3x-1+3x^2-3x}$

${{x^3-1}={x^3-1}}$

Двете страни са еднакви, затова всяко число е корен.

Д)

${9x^2-6x+1-15x^2-7x}={x^3-x-(x^3+6x^2+12x+8)}$

${-6x^2-13x+1}={-6x^2-13x-8}$

${0\cdot x=-9}$: няма корени.

Задача 7

Решете уравнението:

А) ${\frac{6x-1}{5}-\frac{1-2x}{2}}={\frac{12x+49}{10}}$
Б) ${\frac{x-3}{2}+\frac{2x-2}{4}}={\frac{7x-6}{3}}$

Решение:

А) Умножаваме по 10:

${2(6x-1)-5(1-2x)}={12x+49}$

${12x-2-5+10x}={12x+49}$

${{10x}={56}}$, откъдето ${x=5{,}6}$

Б) Тъй като ${\frac{2x-2}{4}=\frac{x-1}{2}}$, лявата страна е ${\frac{x-3+x-1}{2}=\frac{2x-4}{2}}$:

${{\frac{2x-4}{2}}={\frac{7x-6}{3}}}$

${{3(2x-4)}={2(7x-6)}}$

${{6x-12}={14x-12}}$, откъдето ${0=8x}$ и ${x=0}$

Задача 8

Дадена е функцията ${f(x)=x+4}$. Решете уравнението

${{\frac{3f(x-2)}{f(0)}+4}={f(2x+1)}}$

Решение: Първо намираме стойностите на $f$, които участват в уравнението:

${f(0)=0+4=4}$, ${f(x-2)=x-2+4=x+2}$, ${f(2x+1)=2x+1+4=2x+5}$

Уравнението придобива вида

${{\frac{3(x+2)}{4}+4}={2x+5}}$

Умножаваме по 4:

${3(x+2)+16}={4(2x+5)}$

${{3x+22}={8x+20}}$, откъдето ${2=5x}$ и ${x=0{,}4}$

Задача 9

Решете уравнението

${(2x-1)^2-x(10x+1)}={x(1-x)(1+x)-(2-x)^3}$

Решение: Опростяваме всяка от страните:

${4x^2-4x+1-10x^2-x}={x-x^3-(8-12x+6x^2-x^3)}$

${-6x^2-5x+1}={-6x^2+13x-8}$

${{9}={18x}}$, откъдето ${x=\frac{1}{2}}$

Задача 10

Решете уравнението

${(2x+3)^2-x(1+2x)(1-2x)}={(2x-1)^2+4x^3-1}$

Решение:

${4x^2+12x+9-x(1-4x^2)}={4x^2-4x+1+4x^3-1}$

${4x^3+4x^2+11x+9}={4x^3+4x^2-4x}$

${{11x+9}={-4x}}$, откъдето ${15x=-9}$ и ${x=-\frac{3}{5}}$

Задача 11

Решете уравнението

${(2x-1)^3+2x(2x-3)(3-2x)}-{(3x-1)^2}={3x^2-2}$

Решение: Тъй като ${3-2x=-(2x-3)}$, средното събираемо е ${-2x(2x-3)^2}$. Използваме формулите за ${(a-b)^3}$ и ${(a-b)^2}$:

${8x^3-12x^2+6x-1}-{2x(4x^2-12x+9)}-{(9x^2-6x+1)}={3x^2-2}$

${8x^3-12x^2+6x-1}-{8x^3}+{24x^2-18x}-{9x^2}+{6x-1}={3x^2-2}$

${{3x^2-6x-2}={3x^2-2}}$, откъдето ${-6x=0}$ и ${x=0}$

Задача 12

Решете уравнението

${\left(2x-\frac{1}{2}\right)^2-(2x-3)(2x+3)}={x+\frac{1}{4}}$

Решение:

${4x^2-2x+\frac{1}{4}-(4x^2-9)}={x+\frac{1}{4}}$

${{-2x+\frac{1}{4}+9}={x+\frac{1}{4}}}$

${{9}={3x}}$, откъдето ${x=3}$

Задача 13

Докажете, че двете уравнения са равносилни:

А) ${\frac{x-5}{2}+\frac{x-1}{8}}={\frac{1{,}5x-10}{4}}$ и ${\frac{x+6}{2}-\frac{5{,}5-0{,}5x}{3}}={1{,}5}$
Б) ${x-\frac{8x+7}{6}+\frac{x}{3}}={-\frac{7}{6}}$ и ${{2x-\frac{6-x}{3}-\frac{7}{3}x}={-2}}$

Решение: Две уравнения са равносилни, ако имат едни и същи корени, затова решаваме всяко от тях.

А) Умножаваме първото уравнение по 8:

${4(x-5)+x-1}={2(1{,}5x-10)}$

${{4x-20+x-1}={3x-20}}$

${{5x-3x}={-20+21}}$, откъдето ${2x=1}$ и ${x=\frac{1}{2}}$

Умножаваме второто уравнение по 6:

${3(x+6)-2(5{,}5-0{,}5x)}={9}$

${{3x+18-11+x}={9}}$, откъдето ${4x=2}$ и ${x=\frac{1}{2}}$

Двете уравнения имат единствен корен ${\frac{1}{2}}$, следователно са равносилни.

Б) Умножаваме първото уравнение по 6:

${{6x-(8x+7)+2x}={-7}}$, т.е. ${-7=-7}$

Умножаваме второто уравнение по 3:

${{6x-(6-x)-7x}={-6}}$, т.е. ${-6=-6}$

И двете равенства са верни за всяко $x$. Всяко число е корен и на двете уравнения, следователно те са равносилни.

Задача 14

Решете уравнението:

А) ${(2x+1)^2-x(1-2x)(1+2x)}={(2x-1)^2+4x^3-3}$
Б) ${(2x-1)^2+(x-2)^3}={x^2(x-2)+8x-7}$
В) ${(x+2)(x^2-2x+4)}+{x(1-x)(1+x)}={x-4}$
Г) ${\frac{8x+5}{4}-\frac{1}{2}\left[2-\frac{3-x}{3}\right]}={2x+\frac{5}{6}}$
Д) ${\frac{x}{3}-\frac{x+3}{4}}={x-\frac{1}{3}\left[1-\frac{3-24x}{8}\right]}$
Е) ${\frac{x}{5}-\frac{(2x-3)^2}{3}}={\frac{1}{5}\left[5-\frac{20x^2-43x}{3}\right]}$

Решение:

А)

${4x^2+4x+1-x(1-4x^2)}={4x^2-4x+1+4x^3-3}$

${4x^3+4x^2+3x+1}={4x^3+4x^2-4x-2}$

${{3x+1}={-4x-2}}$, откъдето ${7x=-3}$ и ${x=-\frac{3}{7}}$

Б)

${4x^2-4x+1}+{x^3-6x^2+12x-8}={x^3-2x^2+8x-7}$

${x^3-2x^2+8x-7}={x^3-2x^2+8x-7}$

Двете страни са еднакви, затова всяко число е корен.

В)

${{x^3+8+x-x^3}={x-4}}$

${{x+8}={x-4}}$, т.е. ${0\cdot x=-12}$: няма корени.

Г) Разкриваме квадратните скоби:

${\frac{8x+5}{4}-1+\frac{3-x}{6}}={2x+\frac{5}{6}}$

Умножаваме по 12:

${3(8x+5)-12+2(3-x)}={24x+10}$

${24x+15-12+6-2x}={24x+10}$

${{22x+9}={24x+10}}$, откъдето ${-1=2x}$ и ${x=-\frac{1}{2}}$

Д) Разкриваме квадратните скоби:

${\frac{x}{3}-\frac{x+3}{4}}={x-\frac{1}{3}+\frac{3-24x}{24}}$

Умножаваме по 24:

${8x-6(x+3)}={24x-8+3-24x}$

${{2x-18}={-5}}$, откъдето ${2x=13}$ и ${x=6{,}5}$

Е) Разкриваме квадратните скоби:

${\frac{x}{5}-\frac{(2x-3)^2}{3}}={1-\frac{20x^2-43x}{15}}$

Умножаваме по 15:

${3x-5(4x^2-12x+9)}={15-(20x^2-43x)}$

${3x-20x^2+60x-45}={15-20x^2+43x}$

${{63x-45}={15+43x}}$, откъдето ${20x=60}$ и ${x=3}$

Още за уравненията: Уравнения от вида (a₁x + b₁)(a₂x + b₂) = 0 · Линейни уравнения с параметър · Уравнения с модул