Уравнения от първа степен с едно неизвестно

Стойност на неизвестното, за която от даденото уравнение се получава вярно числово равенство, се нарича корен на това уравнение. Две уравнения се наричат равносилни( еквивалентни), когато множествата от корените им съвпадат, т.е.корените на първото уравнение са корени и на второто уравнение и обратно. В сила са следните правила:
1. Ако в дадено уравнение един израз се замени с тъждествен на него израз, получава се уравнение, равносилно на даденото.
2. Ако в дадено уравнение някакъв израз се прехвърли от едната му страна в другата с противоположен знак, получава се уравнение, което е равносилно на даденото.
3. Ако двете страни на едно уравнение се разделят или умножат с едно и също число, различно от нула, получаваме уравнение, равносилно на даденото.
Уравнение от вида ax + b = 0, където a, b са дадени числа, се нарича уравнение от първа степен по отношение на неизвестното х.

1 задача Решете уравнението:
А) 16x + 10 – 32 = 35 – 10x - 5
Б) y + 3/2y + 25 = 1/2y + 3/4y – 5/2y + y + 37
В) 7u – 9 – 3u + 5 = 11u – 6 – 4u

Решение:

A) извършваме някои от означените действия и получаваме
16х – 22 = 30 – 10х.
След използуване на правило 2 намираме 16х + 10х = 30 + 22
След извършване на действие събиране получаваме 26х = 52
Неизвестен множител намираме като произведението разделим на другият множител.
Затова х = 52/26
Следователно х = 2

Б) аналогично на разглежданията в А) намираме:
y(1 + 3/2) + 25 = y(1/2 + 3/4 – 5/2 + 1) + 37 <=>
5/2y + 25 = -1/4y + 37 <=> 5/2y + 1/4y = 37 - 25 <=>
11/4y = 12 <=> y = 12.4/11 <=> y = 48/11

В) 4u – 4 = 7u – 6 <=> 6 – 4 = 7u – 4u <=> 2 = 3u <=> u = 2/3

2 задача Решете уравнението:
А) 7(3x – 6) + 5(x - 3) - 2(x - 7) = 5
Б) (x -3)(x + 4) - 2(3x - 2) = (x - 4)²
В) (x + 1)³ – (x - 1)³ = 6(x² + x + 1)

Решение:

A) 21x - 42 + 5x - 15 - 2x + 14 = 5<=>
21x + 5x - 2x = 5 + 42 + 15 - 14<=>
24x = 48 <=> x = 2

Б) x² + 4x - 3x - 12 - 6x + 4 = x² - 8x + 16 <=>
x² - 5x – x² + 8x = 16 + 12 – 4 <=>
3x = 24 <=> x = 8

В) x³ + 3x² + 3x + 1 – (x³ - 3x² + 3x - 1) = 6x² + 6x + 6 <=>
x³ + 3x² + 3x + 1 – x³ + 3x² + 1 = 6x² + 6x + 6 <=>
2 = 6x + 6 <=> 6x = -4 <=> x = -2/3

3 задача Решете уравнението:
A) ( 5x - 4)/2 = (0,5x + 1)/3
Б) 1 –[(x - 3)/5] = ( -3x + 3)/3
В) (x + 1)/3 – (2x + 5)/2 = -3
Г) [3.(x - 1)]/2 + [2(x + 2)]/4 = (3x + 4,5)/5

Решение:

А) (5x - 4)/2 – (0,5x + 1)/3 <=>
3(5x - 4) = 2(0,5x + 1) <=>
15x -12 = x + 2 <=>
15x – x = 12 + 2<=>
14x = 14 <=> x = 1

Б) 1 – [(x - 3)/5] = 3.(1 - x)/3<=>
1 –[(x - 3)/5] = 1 – x<=>
-x + 3 = - 5x <=>
5x – x = - 3 <=>
x = - 3/4

В) [3.(x - 1)]/2 + [2(x + 2)]/4 = (3x + 4,5)/5 <=>
[2(x + 1) - 3(2x + 5)]/6 = - 3 <=>
(2x + 2 - 6x -15) / 6 = - 3 <=>
-4x - 13 = -18 <=>
-4x = -18 + 13 <=>
-4x = -5 <=> x = 5/4

Г) Привеждаме към най-малък общ знаменател, който за 2, 4 и 5 е 20
[3.(x - 1)] / 2 + [2(x + 2)] / 4 = (3x + 4,5) / 5 <=>
30(x - 1) + 10(x + 2) = 4(3x + 4,5) <=>
30x - 30 + 10x + 20 = 12x + 18 <=>
40x - 12x = 18 + 10 <=>
28x = 28 <=> x = 1

4 задача Докажете че всяка стойност на неизвестното е корен на уравнението:
А) 7х - 13 = - 13 + 7х
Б) (1/2 – х)² – (1/2 + х)² = - 2х
В) 3х - 3х = 26 - 2(7 + 6)
Г) (-3x + 4x²)/5 = (0,8x - 0,6)x

Решение: За едно линейно уравнение с неизвестно x всяко x е решение, ако то се свежда до решаване на следното еквивалентно на него уравнение 0.х = 0 или се превръща в тъждество а = а. Действително, в ляво произволна стойност за x, щом умножаваме с нула, ще се получи нула, т.е. дясната страна, или стойността на x няма да влияе на лявата и дясната страна в тъждеството.

A) 7x - 7x = -13 + 13 <=> 0.x = 0 <=> всяко х е решение.

Б) 1/4 - x + x² –(1/4 + x + x²) = - 2x <=>
1/4 - x + x² -1/4 – x – x² = - 2x <=>
-2x = -2x <=>
-2x + 2x = 0 <=>
0.x = 0 <=> Следователно всяко х е решение

В) 0.x = 26 - 2.13 <=>
0.x = 26 – 26 <=>
0.x = 0 <=> всяко х е решение.

Г) -3x + 4x² = 5(0,8x - 0,6)x <=>
-3x + 4x² = (4x - 3)x <=>
-3x + 4x² = 4x² - 3x
Следователно всяко х е решение.

5 задача Докажете че уравнението няма корени:
A) 0.x = 34
Б) 5 - 3x = 7 - 3x
В) (x - 3) / 4 = (x + 5) / 4
Г) 2(3x - 1) – 3(2x + 1) = 6

Решение:

А) За лявата страна ще се получава стойност нула при всяко х, а дясната е 34, т.е. число различно от нула. Следователно няма такова х, за което да се получи вярно числово равенство;

Б) 5 - 3x = 7 - 3x <=> 3x - 3x = 7 - 5 <=> 0.x = 2 <=> 0 = 2, което е невъзможно за нито едно х

В) (x - 3) / 4 = (x + 5) / 4 <=> x - 3 = x + 5 <=> x – x = 5 + 3 <=> 0 = 8 => няма решение;

Г) 2(3x - 1) - 3(2x + 1) = 6 <=> 6x - 2 - 6x - 3 = 6 <=> 0.x = 6 + 5 <=> 0 = 11 Няма решение.

6 задача Да се реши уравнението:
А) 2x² - 3(1 – x)(x + 2) + (x - 4)(1 - 5x) + 58 = 0
Б) 3.(x + 1)² – (3x + 5).x = x + 3
В) x² – (x - 1).(x + 1) = 4
Г) (x - 1).(x² + x + 1) = (x - 1)³ + 3x(x - 1)
Д) (3x - 1)² – x(15x + 7) = x(x + 1).(x - 1) – (x + 2)³

Решение:

A) 2x² - 3(x + 2 – x² - 2x) + x - 5x² - 4 + 20x + 58 = 0 <=>
2x² - 3x - 6 + 3x² + 6x + x - 5x² - 4 + 20x + 58 = 0 <=>
0.x² + 24x + 48 = 0 <=>
24x = - 48 <=> x = -2

Б) 3(x² + 2x + 1) - 3x² - 5x = 3x² + 6x + 3 - 3x² -5x = x + 3 <=>
(3 - 3)x² + (6 - 5).x – x = 3 - 3 <=>
0 = 0 => всяко х е решение

В) x² – (x² -1) = 4 <=>
x² – x² + 1 = 4 <=>
0 = 3 => няма решение

Г) x³ + x² + x – x² – x - 1 = x³ - 3x² + 3x - 1 + 3x² - 3x <=>
0 = 0 => всяко х е решение

Д) 9x² - 6x + 1 - 15x² - 7x = x³ –x² + x² – x – x³ - 6x² - 12x - 8 <=>
0 = 9 => няма решение

7 задача Решете уравнението:
A) (6x - 1)/5 - (1 - 2x)/2 = (12x + 49)/10
Б) (x - 3)/2 + (2x - 2)/4 = (7x - 6)/3

Решение:

А) Привеждаме към най-малък общ знаменател и получаваме:
12x - 2 - 5 +10x = 12x + 49 <=>
22x - 12x = 49 + 7 <=>
10x = 56 <=> x = 5,6

Б) (x - 3)/2 + (2x - 2)/4 = (7x - 6)/3 <=>
(x -3 + x - 1)/2 = (7x - 6)/3 <=>
3(2x - 4) = 2(7x - 6) <=>
6x -12 = 14x - 12 <=>
8x = 0 <=> x = 0

8 задача Дадена е функцията f(x) = х + 4. Да се реши уравнението:
[3.f(x - 2)]/f(0) + 4 = f(2x + 1)

Решение:

Пресмятаме f(0), f(x -2), f(2x +1), а именно f(0) = 0 + 4 = 4;
f(x - 2) = x - 2 + 4 = x + 2;
f(2x + 1) = 2x + 1 + 4 = 2x + 5 Тогава уравнението има вида
[3(x + 2)]/4 + 4 = 2x + 5 <=>
3(x + 2) +16 = 4(2x + 5) <=>
3x + 6 +16 = 8x + 20 <=>
22 - 20 = 8x - 3x <=>
2 = 5x <=> x = 0,4

9 задача Да се реши уравнението:
(2x - 1)² – x(10x + 1) = x(1 – x)(1 + x) – (2 – x)³

Решение:

(2x - 1)² – x(10x + 1) = x(1 – x)(1 + x) – (2 – x)³ <=>
4x² - 4x + 1 -10x² – x = x – x³ - 8 + 12x - 6x² + x³ <=>
18x = 9 <=> x = 1/2

10 задача Да се реши уравнението:
(2x + 3)² –x(1 + 2x)(1 - 2x) = (2x - 1)² + 4x³ - 1

Решение:

(2x + 3)² – x(1 + 2x)(1 - 2x) = (2x - 1)² + 4x³ -1 <=>
4x² + 12x + 9 – x(1 - 4x²) = 4x² - 4x + 1 + 4x³ - 1 <=>
12x + 9 – x + 4x³ = - 4x + 4x³<=>
15x = -9 <=> x = -3/5

11 задача Да се реши уравнението:
(2x - 1)³ + 2x(2x - 3).(3 - 2x) – (3x - 1)² = 3x² - 2

Решение:

Разкриваме скобите, като използуваме формулите за съкратено умножение:
8x³ - 3(2x)².1 + 3.2x(1)² – 1³ - 2x(2x - 3)² – (9x² - 6x + 1) = 3x² - 2 <=>
8x³ - 12x² + 6x - 1 - 2x(4x² - 12x + 9) - 9x² + 6x - 1 = 3x² - 2 <=>
8x³ - 21x² + 12x - 8x³ + 24x² - 9x = 3x² <=>
3x² + 3x = 3x² <=>
3x = 0 <=> x = 0

12 задача Да се реши уравнението:
(2x - 1/2)² – (2x - 3)(2x + 3) = x + 1/4

Решение:

Използуваме формули за съкратено умножение, разкриваме скобите и получаваме:
4x² - 2x + 1/4 – (4x - 9) = x + 1/4 <=>
4x² - 2x + 1/4 - 4x² + 9 = x + 1/4 <=>
9 = x + 2x <=>
9 = 3x <=> x = 3

13 задача Да се докаже, че двете уравнения са еквивалентни:
A) (x - 5)/2 + (x - 1)/8 = (1,5x - 10)/4 и (x + 6)/2 – (5,5 - 0,5x)/3 = 1,5
Б) x – (8x + 7)/6 + x/3 = -1.(1 / 6) и 2x – (6 – x)/3 - 2.(1/3).x = -2

Решение:

A) За първото уравнение получаваме последователно:
4(х - 5) + х - 1 = 2(1,5х - 10) <=>
4х - 20 + х - 1 = 3х - 20 <=>
5х – 3х = - 20 + 21 <=>
2х = 1 <=> х = 1/2,
а за второто уравнение имаме
3(х + 6) - 2(5,5 - 0,5y) = 6.1,5 <=>
3х + 18 - 11 + х = 9 <=>
4y = 9 - 7 <=>
х = 2/4 <=> х = 1/2 Следователно уравненията са еквивалентни.

Б) Решава се аналогично на а). Опитайте сами.

14 задача Да се реши уравнението:
A) (2x + 1)² – x(1 - 2x)(1 + 2x) = (2x - 1)² + 4x³ - 3
Б) (2x - 1)² + (x - 2)³ = x²(x - 2) + 8x - 7
В) (x + 2)(x² - 2x + 4) + x(1 – x)(1 + x) = x - 4
Г) (8x + 5)/4 – 1 / 2[2 – (3 – x)/3] = 2x + 5/6
Д) x/3 – (x + 3) / 4 = x – 1 / 3[1 – (3 - 24x)/8]
Е) x/5 – [(2x - 3)²/ 3] = 1/5 [ 5 – (20x - 43x) / 3)]

Решение:

A) 4x² + 4x + 1 – x(1 - 4x²) = 4x² - 4x + 1 + 4x³ - 3 <=>
4x – x + 4x³ = -4x + 4x³ -3 <=>
3x + 4x = -3 <=>
7x = - 3 <=> x = - 3/7

Б) 4x² - 4x + 1 + x³ - 3x².2 + 3x.2² - 8 = x³ -2x² + 8x - 7 <=>
4x² - 6x² - 4x + 1 + 12x - 8 = - 2x² + 8x -7 <=>
-2x² + 8x - 7 = - 2x² + 8x - 7 <=>
0 = 0 => всяко х е решение;

В) х³ + 2х² - 2х² - 4х + 4х + 8 + х(1 – х²) = х - 4 <=>
х³ + 8 + х – х³ = х - 4 <=>
8 = - 4, което е невъзможно. Следователно уравнението няма решение;

Г) (8х + 5)/4 - 1 + (3 – х)/6 = 2х + 5/6 <=>
3(8х + 5) - 12 + 2(3 – х) = 24х + 2.5 <=>
24х + 15 - 12 + 6 - 2х = 24х + 10 <=>
-2х = 10 - 9 <=> х = - 1/2

Д) х/3 – (х + 3)/4 = х - 1/3 + (3 - 24х)/24 <=>
8х - 6(х + 3) = 24х - 8 + 3 - 24х <=>
8х - 6х - 18 = -5 <=>
2х = 18 - 5 <=>
2х = 13 <=> х = 6,5

Е) х/5 – [(2x - 3)/3]² = 1 – (20x² - 43x)/15 <=>
3x - 5(4x² -12x + 9) = 15 - 20x² + 43x <=>
3x - 20x² + 60x - 45 = 15 - 20x² + 43x <=>
63x - 43x = 15 + 45 <=>
20x = 60 <=> x = 3

Задачи за упражнение

Задача 1:
Да се реши уравнението:
(11x - 5)² - (10x - 1)² - (3x - 20)(7x + 10) = 124

Задача 2:
Решете уравнението:
(10x - 3)² - 4(5x - 1)(5x + 1) = -7

Още форума уравнения

Форум за уравнения

Още уравнение във форума за математика