Системи уравнения от втора степен с две неизвестни

Калкулатор за системи уравнения от втора степен

Въведете коефициентите на двете уравнения от вида ${ax^2+bxy}+{cy^2+dx+ey}={f.}$ Те могат да бъдат цели числа, десетични дроби (например 0,5) или обикновени дроби (например 1/3). Празно поле означава 0. Калкулаторът избира метод от урока (заместване, събиране, полагане или разлагане на множители), намира всички реални решения на системата и показва решението стъпка по стъпка. Ако никой от тези методи не е подходящ, калкулаторът намира решенията числено.

Какво е система уравнения от втора степен?

Система от две уравнения с две неизвестни е от втора степен, ако едното ѝ уравнение е от втора степен, а другото е от първа или от втора степен. Например в системата

$$\begin{array}{|l}x-y=7\\x^2-xy-y^2=19\end{array}$$

първото уравнение е от първа степен, а второто е от втора степен (членовете ${x^2,}$ ${xy}$ и ${y^2}$ са от втора степен). Всяко уравнение от втора степен с две неизвестни може да се запише във вида

Решение на системата е всяка наредена двойка числа ${(x;\ y),}$ която удовлетворява и двете уравнения. Да решим системата, означава да намерим всичките ѝ решения или да покажем, че тя няма решения. Например ${(4;\ -3)}$ е решение на горната система, защото ${4-(-3)=7}$ и ${4^2-4\cdot(-3)-(-3)^2}={16+12-9}={19.}$ Двойката ${(8;\ 1)}$ удовлетворява първото уравнение, но не и второто (${64-8-1=55\ne 19}$), затова не е решение.

Две системи са равносилни, ако имат едни и същи решения (в частност, ако и двете нямат решения). Методите по-долу заменят дадената система с по-проста система, равносилна на нея, или с няколко по-прости системи, чиито решения обединяваме.

На тази страница: Калкулатор · Заместване · Събиране · Изключване на неизвестно · Симетрични системи · Разлагане на множители · Хомогенни уравнения · Текстови задачи · Упражнения

Системи, в които едното уравнение е от първа степен: метод на заместването

От уравнение от първа степен винаги можем да изразим едно от неизвестните. След заместването получаваме уравнение с едно неизвестно, най-често квадратно. Затова чрез заместване може да се реши всяка система от втора степен, в която едното уравнение е от първа степен.

1. От уравнението от първа степен изразяваме едното неизвестно чрез другото. Удобно е да изберем неизвестно с коефициент 1 или ${-1.}$
2. Заместваме получения израз в уравнението от втора степен и получаваме уравнение с едно неизвестно.
3. Решаваме това уравнение (обикновено квадратно уравнение).
4. За всеки корен намираме другото неизвестно от израза в стъпка 1.
5. Записваме решенията като двойки ${(x;\ y).}$

В стъпка 4 търсим другото неизвестно от израза, получен от уравнението от първа степен, а не от уравнението от втора степен. Иначе може да получим двойки, които не са решения. Например в Пример 1 по-долу при ${x=3}$ уравнението ${x^2+y^2=25}$ дава ${y=4}$ и ${y=-4,}$ но ${(3;\ -4)}$ не е решение на системата, защото ${3+(-4)\ne 7.}$

Пример 1

Решете системата

$$\begin{array}{|l}x+y=7\\x^2+y^2=25\end{array}$$

Решение. От първото уравнение ${y=7-x.}$ Заместваме във второто уравнение:

${x^2+(7-x)^2=25}$

$x^2+49-14x+x^2=25$

${2x^2-14x+24}={0\iff x^2-7x+12}={0}$

Корените са ${x_1=3}$ и ${x_2=4}$ (сборът им е 7, а произведението им е 12). От ${y=7-x}$ получаваме ${y_1=7-3=4}$ и ${y_2=7-4=3.}$

Отговор: ${(3;\ 4)}$ и ${(4;\ 3).}$

Пример 2

Решете системата

$$\begin{array}{|l}x-y=7\\x^2-xy-y^2=19\end{array}$$

Решение. От първото уравнение ${x=7+y.}$ Заместваме във второто уравнение:

${(7+y)^2-(7+y)y-y^2}={19}$

${49+14y+y^2}-{7y-y^2-y^2}={19}$

${-y^2+7y+30}={0\iff y^2-7y-30}={0}$

${D}={(-7)^2-4\cdot 1\cdot(-30)}={49+120}={169,}$ откъдето ${y_{1,2}=\frac{7\pm 13}{2},}$ т.е. ${y_1=-3}$ и ${y_2=10.}$ От ${x=7+y}$ получаваме ${x_1=4}$ и ${x_2=17.}$

Проверка за ${(17;\ 10)\text{:}}$ ${17-10=7}$ и ${17^2-17\cdot 10-10^2}={289-170-100}={19.}$

Отговор: ${(4;\ -3)}$ и ${(17;\ 10).}$

Пример 3. Едно решение или нито едно

а) Решете системата

$$\begin{array}{|l}3x+4y=25\\x^2+y^2=25\end{array}$$

Решение. От първото уравнение ${y=\frac{25-3x}{4}.}$ Заместваме във второто уравнение и умножаваме по 16:

${x^2+\frac{(25-3x)^2}{16}}={25\iff 16x^2+625}-{150x+9x^2}={400}$

${25x^2-150x+225}={0\iff x^2-6x+9}={0\iff (x-3)^2}={0}$

Уравнението има само един корен ${x=3,}$ откъдето ${y=\frac{25-9}{4}=4.}$ Отговор: ${(3;\ 4).}$ Системата има едно решение.

б) Решете системата

$$\begin{array}{|l}x+y=10\\x^2+y^2=25\end{array}$$

Решение. От първото уравнение ${y=10-x.}$ Заместваме във второто уравнение:

${x^2+(10-x)^2}={25\iff 2x^2-20x+75}={0}$

${D}={(-20)^2-4\cdot 2\cdot 75}={400-600}={-200}\lt{0,}$ затова квадратното уравнение няма реални корени. Отговор: системата няма решение.

Системи, в които двете уравнения са от втора степен: метод на събирането

Когато и двете уравнения са от втора степен, обикновено никое от неизвестните не се изразява удобно чрез другото. Тогава търсим начин да получим по-просто уравнение. Някои такива системи се решават чрез събиране или чрез събиране и заместване.

Числата избираме така, че след събирането да изчезнат членовете от втора степен. Получаваме уравнение от първа степен и продължаваме със заместване. (Изваждането на две уравнения е събиране, при което второто уравнение е умножено по ${-1.}$)

Пример 4

Решете системата

$$\begin{array}{|l}x^2+y^2+2x=39\\x^2+y^2-y=27\end{array}$$

Решение. Тук никое от неизвестните не се изразява удобно чрез другото, защото и двете уравнения съдържат ${x^2}$ и ${y^2.}$ Забелязваме обаче, че ако извадим второто уравнение от първото, членовете ${x^2}$ и ${y^2}$ изчезват:

${(x^2+y^2+2x)}-{(x^2+y^2-y)}={39-27\iff 2x+y}={12}$

Получаваме система, равносилна на дадената:

$$\begin{array}{|l}2x+y=12\\x^2+y^2+2x=39\end{array}$$

Решаваме я чрез заместване. От първото уравнение ${y=12-2x,}$ а второто дава

${x^2+(12-2x)^2+2x}={39\iff 5x^2-46x+105}={0}$

${D}={(-46)^2-4\cdot 5\cdot 105}={2116-2100}={16,}$ откъдето ${x_{1,2}=\frac{46\pm 4}{10},}$ т.е. ${x_1=5}$ и ${x_2=\frac{21}{5}.}$ Тогава ${y_1=12-10=2}$ и ${y_2=12-\frac{42}{5}=\frac{18}{5}.}$

Отговор: ${(5;\ 2)}$ и ${\left(\frac{21}{5};\ \frac{18}{5}\right),}$ т.е. ${(4{,}2;\ 3{,}6).}$

Пример 5

Решете системата

$$\begin{array}{|l}4x^2-2xy+x+y=15\\2x^2-xy+2x-y=9\end{array}$$

Решение. Членовете от втора степен в първото уравнение са 2 пъти членовете от втора степен във второто: ${4x^2-2xy}={2(2x^2-xy).}$ Ако умножим второто уравнение по ${-2}$ и го съберем с първото, ще получим уравнение от първа степен:

$$\begin{array}{|l}4x^2-2xy+x+y=15\\-4x^2+2xy-4x+2y=-18\end{array}$$

$-3x+3y=-3\iff x-y=1$

Системата е равносилна на системата

$$\begin{array}{|l}x-y=1\\2x^2-xy+2x-y=9\end{array}$$

От първото уравнение ${x=1+y.}$ Заместваме във второто уравнение:

${2(1+y)^2}-{y(1+y)+2(1+y)-y}={9\iff y^2+4y-5}={0}$

Корените са ${y_1=-5}$ и ${y_2=1}$ (сборът им е ${-4,}$ а произведението им е ${-5}$). Тогава ${x_1=1+(-5)=-4}$ и ${x_2=1+1=2.}$

Отговор: ${(-4;\ -5)}$ и ${(2;\ 1).}$

Изключване на едното неизвестно

Понякога с подходящо събиране можем да премахнем всички членове с едното неизвестно, а не само членовете от втора степен. Получаваме уравнение само с другото неизвестно. Решаваме го и за всеки негов корен намираме изключеното неизвестно от едно от уравненията на системата. По теоремата за събирането новото уравнение и кое да е от дадените уравнения образуват система, равносилна на дадената. Затова всяка двойка, получена по този начин, е решение.

Това не противоречи на предупреждението при метода на заместването. Там уравнението от първа степен свързва ${x}$ и ${y,}$ а тук новото уравнение съдържа само едното неизвестно. Затова за всеки негов корен всяка стойност на другото неизвестно, която удовлетворява запазеното уравнение, дава решение.

Пример 6

Решете системата

$$\begin{array}{|l}x^2+y^2=13\\x^2-y^2=5\end{array}$$

Решение. Събираме двете уравнения: ${2x^2=18,}$ т.е. ${x^2=9}$ и ${x=\pm 3.}$ Изваждаме второто уравнение от първото: ${2y^2=8,}$ т.е. ${y^2=4}$ и ${y=\pm 2.}$ Системата е равносилна на системата ${x^2=9,}$ ${y^2=4,}$ затова всяка от двете стойности на ${x}$ се съчетава с всяка от двете стойности на ${y.}$

Отговор: ${(3;\ 2),}$ ${(3;\ -2),}$ ${(-3;\ 2)}$ и ${(-3;\ -2).}$

Пример 7

Решете системата

$$\begin{array}{|l}x^2+2y^2-5x+4y=-2\\x^2-3y^2-6y=-2\end{array}$$

Решение. Членовете с ${y}$ са ${2y^2+4y}$ в първото уравнение и ${-3y^2-6y}$ във второто. Ако умножим първото уравнение по 3, а второто по 2, и ги съберем, всички членове с ${y}$ ще изчезнат:

$$\begin{array}{|l}3x^2+6y^2-15x+12y=-6\\2x^2-6y^2-12y=-4\end{array}$$

${5x^2-15x}={-10\iff x^2-3x+2}={0}$

Корените са ${x_1=1}$ и ${x_2=2.}$ Заместваме всеки от тях във второто уравнение (то е по-простото):

• при ${x=1\text{:}}$ ${1-3y^2-6y}={-2\iff y^2+2y-1}={0,}$ откъдето ${y=-1\pm\sqrt{2};}$
• при ${x=2\text{:}}$ ${4-3y^2-6y}={-2\iff y^2+2y-2}={0,}$ откъдето ${y=-1\pm\sqrt{3}.}$

Отговор: системата има четири решения ${(1;\ -1+\sqrt{2}),}$ ${(1;\ -1-\sqrt{2}),}$ ${(2;\ -1+\sqrt{3})}$ и ${(2;\ -1-\sqrt{3}).}$

Симетрични системи

Една система е симетрична, ако двете ѝ уравнения не се променят, когато разменим ${x}$ и ${y.}$ Например уравнението ${x^2+xy+y^2=7}$ е симетрично: след размяната получаваме ${y^2+yx+x^2=7,}$ т.е. същото уравнение. Симетричните системи се решават удобно с полагането

Ако ${t_1}$ и ${t_2}$ са корените на ${t^2-ut+v=0,}$ системата има решенията ${(t_1;\ t_2)}$ и ${(t_2;\ t_1)}$ (при ${t_1=t_2}$ това е едно решение ${(t_1;\ t_1)}$). Ако това уравнение няма реални корени, т.е. ${u^2-4v\lt 0,}$ съответната двойка ${u,}$ ${v}$ не дава решение.

Пример 8

Решете системата

$$\begin{array}{|l}x+y=5\\xy=6\end{array}$$

Решение. Тук направо ${u=5}$ и ${v=6.}$ Числата ${x}$ и ${y}$ са корените на уравнението ${t^2-5t+6=0,}$ т.е. ${t_1=2}$ и ${t_2=3.}$ (Същата система може да се реши и чрез заместване: ${y=5-x}$ и ${x(5-x)=6.}$)

Отговор: ${(2;\ 3)}$ и ${(3;\ 2).}$

Пример 9

Решете системата

$$\begin{array}{|l}x^2+y^2=13\\xy=6\end{array}$$

Решение. Полагаме ${x+y=u}$ и ${xy=v.}$ Тъй като ${x^2+y^2=u^2-2v,}$ системата става

$$\begin{array}{|l}u^2-2v=13\\v=6\end{array}$$

Следователно ${u^2=25,}$ т.е. ${u=5}$ или ${u=-5.}$

• При ${u=5}$ и ${v=6\text{:}}$ ${t^2-5t+6=0,}$ ${t_1=2,}$ ${t_2=3.}$
• При ${u=-5}$ и ${v=6\text{:}}$ ${t^2+5t+6=0,}$ ${t_1=-3,}$ ${t_2=-2.}$

Отговор: ${(2;\ 3),}$ ${(3;\ 2),}$ ${(-2;\ -3)}$ и ${(-3;\ -2).}$

Пример 10

Решете системата

$$\begin{array}{|l}x^2+xy+y^2=7\\x+xy+y=5\end{array}$$

Решение. Системата е симетрична. Тъй като ${x^2+xy+y^2}={(x^2+y^2)+xy}={u^2-2v+v}={u^2-v,}$ с полагането ${x+y=u,}$ ${xy=v}$ получаваме

$$\begin{array}{|l}u^2-v=7\\u+v=5\end{array}$$

Събираме двете уравнения: ${u^2+u=12,}$ т.е. ${u^2+u-12=0,}$ откъдето ${u_1=3}$ и ${u_2=-4.}$ Тогава ${v_1=5-3=2}$ и ${v_2=5-(-4)=9.}$

• При ${u=3}$ и ${v=2\text{:}}$ ${t^2-3t+2=0,}$ ${t_1=1,}$ ${t_2=2.}$ Получаваме ${(1;\ 2)}$ и ${(2;\ 1).}$
• При ${u=-4}$ и ${v=9\text{:}}$ уравнението ${t^2+4t+9=0}$ има дискриминанта ${16-36=-20\lt 0,}$ затова не дава решения.

Отговор: ${(1;\ 2)}$ и ${(2;\ 1).}$

Разлагане на множители

Ако едното уравнение може да се запише във вида ${A\cdot B=0,}$ където ${A}$ и ${B}$ са изрази от първа степен, то е изпълнено точно когато ${A=0}$ или ${B=0.}$ Тогава системата се разпада на две системи, във всяка от които едното уравнение е от първа степен. Решаваме ги чрез заместване и обединяваме решенията им.

Пример 11

Решете системата

$$\begin{array}{|l}x^2-5xy+6y^2=0\\x^2+y^2=10\end{array}$$

Решение. Лявата страна на първото уравнение се разлага така, както ${t^2-5t+6}={(t-2)(t-3)\text{:}}$ ${x^2-5xy+6y^2}={(x-2y)(x-3y)}$ (проверете, като разкриете скобите). Следователно ${x=2y}$ или ${x=3y.}$

• При ${x=2y}$ второто уравнение дава ${4y^2+y^2=10,}$ т.е. ${y^2=2}$ и ${y=\pm\sqrt{2}.}$ Получаваме ${(2\sqrt{2};\ \sqrt{2})}$ и ${(-2\sqrt{2};\ -\sqrt{2}).}$
• При ${x=3y}$ второто уравнение дава ${9y^2+y^2=10,}$ т.е. ${y^2=1}$ и ${y=\pm 1.}$ Получаваме ${(3;\ 1)}$ и ${(-3;\ -1).}$

Отговор: ${(2\sqrt{2};\ \sqrt{2}),}$ ${(-2\sqrt{2};\ -\sqrt{2}),}$ ${(3;\ 1)}$ и ${(-3;\ -1).}$

Хомогенни уравнения

Уравнение като ${x^2-5xy+6y^2=0,}$ в което всички членове са от втора степен, а дясната страна е 0, се нарича хомогенно. Ако не виждаме веднага как да го разложим, при ${y\ne 0}$ делим на ${y^2}$ и полагаме ${t=\frac{x}{y}.}$ От ${x^2-5xy+6y^2=0}$ получаваме ${t^2-5t+6=0,}$ с корени ${t=2}$ и ${t=3,}$ т.е. ${x=2y}$ или ${x=3y.}$ Случаят ${y=0}$ проверяваме отделно, защото на 0 не можем да делим. Тук при ${y=0}$ уравнението дава ${x^2=0,}$ т.е. точката ${(0;\ 0),}$ а тя не удовлетворява ${x^2+y^2=10.}$ (Ако в уравнението няма член с ${x^2,}$ например ${5xy+6y^2=0,}$ при ${y=0}$ то е изпълнено за всяко ${x.}$ Тогава ${y}$ е общ множител: ${y(5x+6y)=0.}$)

Ако двете уравнения на системата съдържат само членове от втора степен и свободни членове, умножаваме ги по подходящи числа и ги събираме така, че свободните членове да изчезнат. Получаваме хомогенно уравнение.

Пример 12

Решете системата

$$\begin{array}{|l}x^2+xy=15\\xy+y^2=10\end{array}$$

Решение. Умножаваме първото уравнение по 2, а второто по ${-3,}$ и ги събираме:

${2x^2+2xy-3xy-3y^2}={30-30\iff 2x^2-xy-3y^2}={0}$

По теоремата за събирането системата е равносилна на системата от полученото хомогенно уравнение и второто уравнение. Ако ${y=0,}$ хомогенното уравнение дава ${2x^2=0,}$ т.е. ${x=0,}$ а ${(0;\ 0)}$ не удовлетворява ${xy+y^2=10.}$ При ${y\ne 0}$ делим на ${y^2}$ и полагаме ${t=\frac{x}{y}\text{:}}$ ${2t^2-t-3=0,}$ откъдето ${t_1=-1}$ и ${t_2=\frac{3}{2}.}$ Следователно ${x=-y}$ или ${x=\frac{3y}{2}.}$ Същото дава и разлагането ${2x^2-xy-3y^2}={(x+y)(2x-3y).}$

• При ${x=-y}$ второто уравнение дава ${-y^2+y^2=10,}$ т.е. ${0=10,}$ което е невярно.
• При ${x=\frac{3y}{2}}$ второто уравнение дава ${\frac{3y^2}{2}+y^2=10,}$ т.е. ${y^2=4}$ и ${y=\pm 2.}$ При ${y=2}$ получаваме ${x=3,}$ а при ${y=-2}$ получаваме ${x=-3.}$

Отговор: ${(3;\ 2)}$ и ${(-3;\ -2).}$ Проверка: ${9+6=15}$ и ${6+4=10.}$

Друг начин. Ако съберем двете уравнения, получаваме ${x^2+2xy+y^2=25,}$ т.е. ${(x+y)^2=25}$ и ${x+y=\pm 5.}$ Първото уравнение е ${x(x+y)=15.}$ При ${x+y=5}$ получаваме ${5x=15,}$ ${x=3,}$ ${y=2,}$ а при ${x+y=-5}$ получаваме ${x=-3,}$ ${y=-2.}$

Текстови задачи

Задача 1. Периметърът на правоъгълник е 34 см, а диагоналът му е 13 см. Намерете страните на правоъгълника.

Решение. Нека страните са ${x}$ см и ${y}$ см. Тогава ${2(x+y)=34,}$ а по Питагоровата теорема ${x^2+y^2=13^2\text{:}}$

$$\begin{array}{|l}x+y=17\\x^2+y^2=169\end{array}$$

Системата е симетрична: ${u=x+y=17}$ и ${u^2-2v=169,}$ т.е. ${289-2v=169}$ и ${v=xy=60.}$ Числата ${x}$ и ${y}$ са корените на ${t^2-17t+60=0\text{:}}$ ${t_1=5}$ и ${t_2=12.}$ Отговор: страните са 5 см и 12 см. Проверка: ${5+12=17}$ и ${25+144=169.}$

Задача 2. Произведението на цифрите на едно двуцифрено число е 24, а сборът от квадратите на цифрите му е 52. Кое може да е числото?

Решение. Нека цифрата на десетиците е ${x,}$ а цифрата на единиците е ${y.}$ Тогава ${xy=24}$ и ${x^2+y^2=52.}$ Следователно ${(x+y)^2}={x^2+y^2+2xy}={52+48}={100,}$ а понеже цифрите са положителни (произведението им е 24, затова никоя от тях не е 0), ${x+y=10.}$ Цифрите са корените на ${t^2-10t+24=0,}$ т.е. 4 и 6. Отговор: числото е 46 или 64.

Задача 3. Разликата на две числа е 3, а произведението им е 40. Намерете числата.

Решение. Нека числата са ${x}$ и ${y\text{:}}$

$$\begin{array}{|l}x-y=3\\xy=40\end{array}$$

От първото уравнение ${x=y+3.}$ Заместваме във второто: ${(y+3)y=40,}$ т.е. ${y^2+3y-40=0,}$ откъдето ${y_1=-8}$ и ${y_2=5.}$ Тогава ${x_1=-5}$ и ${x_2=8.}$ Отговор: числата са 8 и 5 или ${-5}$ и ${-8.}$ И двете двойки отговарят на условието: ${8-5=3,}$ ${8\cdot 5=40}$ и ${-5-(-8)=3,}$ ${(-5)\cdot(-8)=40.}$

Задача 4. Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 10 см, а лицето му е 24 см². Намерете катетите.

Решение. Нека катетите са ${x}$ см и ${y}$ см. Тогава ${x^2+y^2=100}$ и ${\frac{xy}{2}=24,}$ т.е. ${xy=48.}$ Следователно ${(x+y)^2}={100+96}={196}$ и ${x+y=14}$ (катетите са положителни). Числата ${x}$ и ${y}$ са корените на ${t^2-14t+48=0,}$ т.е. 6 и 8. Отговор: катетите са 6 см и 8 см. Проверка: ${36+64=100}$ и ${\frac{6\cdot 8}{2}=24.}$

Задачи за упражнение

Опитайте се да ги решите сами и след това отворете отговора. Можете да проверите решението си и с калкулатора в началото на страницата.

1. Решете системата $\begin{array}{|l}x+y=8\\xy=15\end{array}$

Числата ${x}$ и ${y}$ са корените на ${t^2-8t+15=0,}$ т.е. 3 и 5. Отговор: ${(3;\ 5)}$ и ${(5;\ 3).}$

2. Решете системата $\begin{array}{|l}x-y=2\\x^2+y^2=20\end{array}$

${y=x-2,}$ ${x^2+(x-2)^2}={20\iff x^2-2x-8}={0,}$ ${x_1=-2,}$ ${x_2=4.}$ Отговор: ${(-2;\ -4)}$ и ${(4;\ 2).}$

3. Решете системата $\begin{array}{|l}2x+y=5\\x^2+y^2=10\end{array}$

${y=5-2x,}$ ${x^2+(5-2x)^2}={10\iff x^2-4x+3}={0,}$ ${x_1=1,}$ ${x_2=3.}$ Отговор: ${(1;\ 3)}$ и ${(3;\ -1).}$

4. Решете системата $\begin{array}{|l}x+2y=7\\xy=6\end{array}$

${x=7-2y,}$ ${(7-2y)y}={6\iff 2y^2-7y+6}={0,}$ ${y_1=\frac{3}{2},}$ ${y_2=2.}$ Отговор: ${\left(4;\ \frac{3}{2}\right)}$ и ${(3;\ 2).}$

5. Решете системата $\begin{array}{|l}x^2+y^2=41\\x^2-y^2=9\end{array}$

Събираме: ${2x^2=50,}$ ${x^2=25.}$ Изваждаме: ${2y^2=32,}$ ${y^2=16.}$ Отговор: ${(5;\ 4),}$ ${(5;\ -4),}$ ${(-5;\ 4)}$ и ${(-5;\ -4).}$

6. Решете системата $\begin{array}{|l}x+y=3\\x^2+y^2=1\end{array}$

${y=3-x,}$ ${x^2+(3-x)^2}={1\iff x^2-3x+4}={0,}$ ${D=9-16=-7\lt 0.}$ Отговор: системата няма решение.

7. Решете системата $\begin{array}{|l}x^2+y^2-2x=15\\x^2+y^2+4y=25\end{array}$

Изваждаме второто уравнение от първото: ${-2x-4y=-10,}$ т.е. ${x=5-2y.}$ Заместваме във второто: ${(5-2y)^2+y^2+4y}={25\iff 5y^2-16y}={0,}$ ${y_1=0,}$ ${y_2=\frac{16}{5}.}$ Отговор: ${(5;\ 0)}$ и ${\left(-\frac{7}{5};\ \frac{16}{5}\right).}$

8. Решете системата $\begin{array}{|l}x^2+y^2=20\\x+y=6\end{array}$

${u=6,}$ ${u^2-2v=20,}$ ${v=8,}$ ${t^2-6t+8=0.}$ Отговор: ${(2;\ 4)}$ и ${(4;\ 2).}$

9. Решете системата $\begin{array}{|l}x^2+xy+y^2=13\\x+y=4\end{array}$

${x^2+xy+y^2=u^2-v,}$ затова ${16-v=13}$ и ${v=3,}$ ${t^2-4t+3=0.}$ Отговор: ${(1;\ 3)}$ и ${(3;\ 1).}$

10. Решете системата $\begin{array}{|l}x^2-3xy+2y^2=0\\x^2+y^2=20\end{array}$

${(x-y)(x-2y)=0.}$ При ${x=y\text{:}}$ ${2y^2=20,}$ ${y=\pm\sqrt{10}.}$ При ${x=2y\text{:}}$ ${5y^2=20,}$ ${y=\pm 2.}$ Отговор: ${(\sqrt{10};\ \sqrt{10}),}$ ${(-\sqrt{10};\ -\sqrt{10}),}$ ${(4;\ 2)}$ и ${(-4;\ -2).}$

11. Решете системата $\begin{array}{|l}xy=12\\x^2+y^2=25\end{array}$

$(x+y)^2=25+24=49,$ ${x+y=\pm 7.}$ При ${u=7\text{:}}$ ${t^2-7t+12=0;}$ при ${u=-7\text{:}}$ ${t^2+7t+12=0.}$ Отговор: ${(3;\ 4),}$ ${(4;\ 3),}$ ${(-3;\ -4)}$ и ${(-4;\ -3).}$

12. Сборът на две числа е 12, а сборът от квадратите им е 74. Намерете числата.

${x+y=12,}$ ${x^2+y^2=74,}$ затова ${xy=\frac{144-74}{2}=35}$ и ${t^2-12t+35=0.}$ Отговор: числата са 5 и 7.

Програма за решаване на системи линейни уравнения

Програма за решаване на системи линейни уравнения, създадена от Димитър Георгиев - учител по математика.