Системи уравнения от втора степен с две неизвестни

Програма за решаване на системи линейни уравнения, създадена от Димитър Георгиев - учител по математика.

Системи уравнения от втора степен с две неизвестни. Системи, на които едното уравнения е от първа степен.

Много задачи водят до решаване на системи уравнения от втора степен с две неизвестни.Сега ще видим как могат да се решават такива системи.
Да разгледаме системата
|х – у = 7
|х² – ху – у² = 19
Едното уравнение на тази система е от първа степен, а другото е от втора степен. За такава система казваме, че е от втора степен. За една система от две уравнения с две неизвестни се казва, че е от втора степен, ако едното от уравненията й е от втора степен, а другото е от първа или от втора степен. Както знаем, да решим една система уравнения, ще рече да намерим всичките общи решения на уравненията от системата. И тук две системи наричаме равносилни, когато имат едни и същи решения.
Теорема: Ако от едното уравнение на системата изразим неизвестното чрез другото и заместим получения израз в останалото уравнение, ще получим система, равносилна на дадената.
Очевидно чрез заместване може да се реши всяка система уравнения от втора степен с две неизвестни, ако едното й уравнение е от първа степен.

Системи уравнения от втора степен с две неизвестни, на които двете уравнения са от втора степен

При решаване на тези системи, едното неизвестно се изразява удобно чрез другото,така че след заместване се получава уравнение, което може да се реши. Някои системи, на които и двете уравнения са от втора степен с две неизвестни, могат да се решават със събиране или със събиране и заместване.
Теорема: Ако умножим уравненията на една система с числа, различни от 0, и след това ги съберем, полученото уравнение и кое да е уравнение на разглежданата система образуват система, равносилна на дадената.

Задача: Да се реши системата:
|х² + у² + 2х = 39
|х² + у² – у = 27
Решение: Тук никое от неизвестните не се изразява удобно чрез другото поради вторите им степени. Забелязваме обаче,че ако извадим от първото уравнение второто, ще получим уравнение от първа степен. 2х + у = 12 и така получаваме новата система равносилна на дадената:
|2х + у = 12
|х² + у² + 2х = 39
Получената система решаваме чрез заместване:
|у = 12 – 2х
|х² + (12 - 2х)² + 2х = 39 <=> 5х² - 46х + 105 = 0 Корените на квадратното уравнение са х₁ = 5 и х₂ = 21/5, а решенията на системата са (5; 2) и (21/5; 18/5)

Задача: Да се реши системата:
|4х² - 2ху +х +у = 15
|2х² – ху +2х – у = 9
Решение: Ако умножим второто уравнение с – 2 и го съберем с първото,ще получим линейно уравнение:
|4х² -2ху +х +у = 15
|2х² – ху +2х – у = 9 . (-2)
<=>
|4х² -2ху + х + у = 15
|-4х² +2ху – 4х + 2у = -18
<=>
|-3х +3у = -3
|2х² – ху + 2х – у = 9
Получената система решаваме чрез заместване:
-3х + 3у = -3 <=> х – у = 1 <=> х = 1 + у
2(1 + у)² – у(1 + у) + 2(1 + у) – у = 9 <=> у² + 4у - 5 = 0 Корените на квадратното уравнение са у₁ = -5 и у₂ = 1, а решенията на системата са (-4; -5) и (2; 1)

Задача: Да се реши системата:
|х² + 2у² + 4у - 5х = -2
|х² - 3у² - 6у = -2
Решение: Ако умножим първото уравнение на системата с 3, а второто с 2 и ги съберем, ще получим квадратно уравнение за променливата х
|х² + 2у² + 4у - 5х = -2 |.3
|х² - 3у² – 6у = -2 |.2
<=>
|3х² + 6у² + 12у -15х = -6
|2х² - 6у² - 12у = -4
<=>
|5х² - 15х + 10 = 0
|х² - 3у² - 6у = -2
Корените на уравнението 5х² - 15х + 10 = 0 <=> х² - 3х + 2 = 0 са х₁ = 1 и х₂ = 2 От х² - 3у² - 6у = -2 получаваме: за х₁ = 1, 1 - 3у² -6у = -2 <=> 3у² + 6у - 3 = 0 у_{1, 2} = -1 ± √2 за х₂ = 2, 4 -3у² -6у = -2 <=> 3у² +6у -6 = 0 у_{3, 4} = -1 ± √3 Оказа се, че дадената система има 4 решения( 1;-1+√2) ;(1;-1-√2); (2;-1-√3) и (2;-1+√3)

Още системи уравнения във форума

Още систем във форума за математика