МенюЗадачи за рационални изрази и формули за съкратено умножение
17 задача Представете тричлена, като сбор от два члена, единият от които е квадрат на двучлен:
А) x2 + 8x + 25 Б) 4x2 – 4x + 10
В) 16x2 – 24x + 30 Г) 81x2 + 6x + 32
Решение:
А) x2 + 8x + 25 = x2 + 2.x.4 + 42 + 9 = (x + 4)2 + 9
Б) 4x2 – 4x + 10 = (2x)2 – 2.2x.1 + 1 + 9 = (2x – 1)2 + 9
В) 16x2 – 24x + 30 = (4x)2 – 2.4x.3 + 9 + 21 = (4x – 3)2 + 21
Г) 81x2 + 6x + 32 = (9x)2 + 2.9.1/3x + 1/9 + 31.8/9 = (9x + 1/3)2 + 287/3
18 задача Разложете на множители:
А) 4ax – 2ay
Б) a2 + ab – a - b
В) 9x + 9y + ax + ay
Г) 28a2b3 – 4ab4
Д) a4 + 2a2 + 1
Е) (a + b)4 – (a - b)4
Решение:
А) 4ax – 2ay = 2a(2x – y)
Б) a2 + ab – a – b = a(a + b) – (a + b) = (a + b)(a – 1)
В) 9x + 9y + ax +ay = 9(x + y) + a(x + y) = (x + y)(9 + a)
Г) 28a2b3 – 4ab4 = (4ab3)(7a – b)
Д)a4 + 2a2 + 1 = (a2)2 + 2.(a2).1 + 1 = (a2 + 1)2
Е) (a + b)4 – (a - b)4 = [(a + b)2]2 – [(a - b)2]2 = [(a+b)2 + (a - b)2] . [(a + b)2 - (a - b)2] = (a2 + 2ab + b2 + a2 - 2ab + b2).(a2 + 2ab + b2 - a2 + 2ab - b2) = (2a2 + 2b2)(4ab) = 2(a2 + b2).4ab = 8ab(a2 + b2)
19 задача Опростете израза:
А) (x-3)2 – x(x + 9)
Б) (2a + 5)2 – 5(4a + 5)
В) b2 + 49 – (b - 7)2
Г) (y - 10)(y - 6) – (y - 8)2
Решение:
А) (x - 3)2 – x(x + 9) = x2 – 6x + 9 – x2 – 9x = 9 – 15x
Б) (2a + 5)2 – 5(4a + 5) = (2a)2 + 2.2a.5 + 52 – 5.4a – 5.5 = 4a2 + 20a + 25 - 20a - 25 = 4a2
В) b2 + 49 – (b - 7)2 = b2 + 49 - (b2 - 2b.7 + 72) = b2 + 49 - b2 + 14b - 49 = 14b
Г) (y - 10)(y - 6) – (y - 8)2 = yy - 6y - 10y + 60 - y2 + 16y - 64 = -4
20 задача Докажете тъждеството:
А) (-a - b)2 = (a + b)2
Б) a3 - 3ab(a - b) - b3 = (a - b)3
В) (x - a)(x - b) = x2 - (a + b)x + ab
Г) (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac - bd)2 + (bc + ad)2
Решение: За да докажем едно тъждество,трябва да преработим една от неговите страни и да установим ,че тя дава другата страна.
А) (-a - b)2 = [-1(a + b)]2 = (-1)2(a + b)2 = 1.(a + b)2 = (a + b)2
Б) (a - b)3 = a3 - 3a2.b + 3a.b2 - b3 = a3 - 3ab(a - b) - b3
В) (x - a)(x - b) = xx - xb - ax + ab = x2 - x(a + b) + ab
Г) (ac - bd)2 + (bc + ad)2 = a2.c2 - 2acbd + b2.d2 + b2.c2 + 2bcad + a2.d2 = a2(c2 + d2) + b2(d2 + c2) = (c2 + d2)(a2 + b2)
21 задача Намерете многочлена, А за който:
A) (a - b)2 + A = (a + b)2
B) x2 + x + 1 + A = (x - 1)2 + 1
В) 2z2 - 5z + 6 + A = (z + 1)2 + (z - 1)2
Г) (z - 1)(z + 1) + A = (2z2) + 5
Решение: Понеже търсеният многочлен А е едно от събираемите в дадения сбор, ще го намерим, ако от сбора извадим другото събираемо. Така получаваме:
А) A = (a + b)2 – (a - b)2 = a2 + 2ab + b2- (a2 - 2ab + b2) = a2 + 2ab + b2 – a2 +2ab – b2 = 4ab
Б) A = (x - 1)2 + 1 - (x2 + x + 1) = x2 - 2x + 1 + 1 – x2 – x - 1 = 1 – 3x
В) A = (z + 1)2 + (z - 1)2 – (2z2 -5z + 6) = z2 + 2z + 1 + z2 - 2z + 1 - 2z2 + 5z - 6 = 2 + 5z - 6 = 5z - 4
Г) A = 2z2 + 5 – (z - 1).(z + 1) = 2z2 + 5 – (z2 - 1) = 2z2 + 5 – z2 + 1 = z2 + 6
22 задача Даден е изразът А = k – (x + 1)2
А) Да се намери k, ако най-голямата стойност на А е равна на 4;
Б) Да се замести в А намерената стойност на k от подусловие а) на задачата и да се разложи на множители полученият израз.
Решение:
А) Понеже (x + 1)2 е по-голямо или равно на 0 за произволно x, т.е. то е неотрицателно число, то най-голямата стойност на А ще се получи, ако от k не се вади нищо, т.е. ако(x + 1) = 0
Тогава най-голямата стойност на А = 4 по условие е А = k. Така намерихме, че k = 4
Б) A = 4 – (x+1)2 = 4 - (x2 + 2x + 1) = 4 - x2 - 2x - 1 = 3 - x2 - 2x = 2 + 1 – x2 - 2x = (1 - x2) + 2(1 - x) = (1 - x)(1 + x) + 2(1 - x) = (1 - x)(1 + x + 2) = (1 - x)(x + 3)
23 задача Даден е изразът: x2 – 2kx + k +2
А) Да се намери k, ако стойността на израза при х = 1 е 0
Б) Да се замести k с намереното число и да се разложи полученият израз.
Решение:
А) Щом при х = 1 изразът има стойност 0, то е в сила равенството 12 – 2k.1 + k + 2 = 0 следователно 3 – k = 0 следователно k = 3;
Б) Заместваме k с 3 и получаваме x2 - 2.3.x + 3 + 2 = x2 – 6x + 5 = x2 – x - 5x +5 = x(x- 1)-5(x-1) = (x-1)(x-5)
24 задача Даден е изразът A = [(2x – 3)2] + 5
А) Да се намери най-малката стойност на A
Б) Да се представи като многочлен на х изразът A – (x – 3)2
В) Да се разложи на множители 9 – A
Отг.: А) А = 5 Б) 3х2 – 6х + 5 В) (2х – 1)(5 – 2х)
25 задача Да се докаже тъждеството:
А) (a2 + 2)2 – (a - 2)(a + 2)(a2 + 4) = 4(a2 + 5)
Б) (a + b)3 = a(a - 3b)2 + b(b - 3a)2
В) 5(a + b)2 – 4a2 - 4ab = (a + b)(a + 5b)
Решение: Използуваме формулите за съкратено умножение и получаваме:
А) (a2 + 2)2 – (a - 2)(a + 2)(a2 + 4) = a4 + 4a2 + 4 – (a2 - 4)(a2 + 4) = a4 + 4a2 + 4 – (a4 -16) = 4a2 + 20 = 4(a2 + 5)
Б) a(a - 3b)2 + b(b - 3a)2 = a(a2 - 6ab + 9b2) + b(b2 - 6ab + 9a2) = a3 – 6a2.b + 9a.b2 + b3 - 6ab2 + 9a2.b = a3 + 3a2.b +3ab2 + b3 = (a + b)3
В) 5(a + b)2 – 4a2 - 4ab = 5a2 + 10ab + 5b2 - 4a2 - 4ab = a2 + 6ab + 5b2 = a2 + ab + 5ab + 5b2 = a(a + b) + 5b(a + b) = (a + b)(a + 5b)
26 задача Да се опрости изразът:
А) 4(a - 6) – a2.(2 + 3a) + a.(5a - 4) + 3a2.(a - 1)
Б) (a2 - 1)2 – (a - 1)(a2 + 1)(a + 1)
В) (a + 1)3 + (a - 1)3 – 2a(a + 1)(a - 1)
Г) (a + 5)3 – a(a - 5)2 -25(a + 1)2
Решение:
А) 4(a - 6) – a2.(2 + 3a) + a.(5a -4) + 3a2.(a - 1) = 4a -24 - 2a2 - 3a3 + 5a2 -4a + 3a3 - 3a2 = -24
Б) (a2 - 1)2 – (a - 1)(a2 + 1)(a + 1) = a4 - 2a2 + 1 – (a - 1)(a + 1)(a2 +1) = a4 -2a2 + 1 – (a2 - 1)(a2 + 1) = a4 - 2a2 + 1 - (a4 - 1) = a4 - 2a2 + 1 – a4 + 1 = 2 - 2a2
В) (a + 1)3 + (a - 1)3 – 2a(a + 1)(a - 1) = a3 + 3a2 + 3a + 1 + a3 - 3a2 + 3a - 1 - 2a(a2 - 1) = 2a3 + 6a - 2a3 + 2a = 8a
Г) (a + 5)3 – a(a - 5)2 - 25(a + 1)2 = a3 + 3a2.5 + 3a.52 + 53 – a(a2 - 10a + 25) - 25(a2 + 2a + 1) = a3 + 15a2 + 75a + 125 – a3 + 10a2 - 25a - 25a2 - 50a - 25 = (15 + 10 - 25)a2 + (75 - 25 - 50)a + 125 - 25 = 100
27 задача Да се докаже тъждеството:
А) (a + b + c)(a + b - c) = a2 + b2 – c2 + 2ab
Б) (a2 – ab + b2)(a2 + ab + b2) = a4 + a2.b2 + b4
Решение:
А)(a + b + c)(a + b - c) = [(a + b) + c].[(a + b) – c] = (a + b)2 – c2 = a2 + 2ab + b2 – c2
Б)(a2 – ab + b2)(a2 + ab + b2) = [(a2 + b2) – ab].[(a2 + b2) + ab] = (a2 + b2)2 – (ab)2 = a4 + b4 +2a2 . b2 – a2.b2 = a4 + b4 + a2.b2
28 задача Да се разложи на множители изразът :
А) x2.y – y + x.y2 - x
Б) x - 1 + 2ax - 2a – y + xy
В) 4x2 - 12xy + 9y2 - 4x + 6y
Г) x2 + 6x – y2 - 4y +5
Решение:
А) x2.y – y + x.y2 – x = xy(x + y) – (x + y) = (x + y)(xy - 1)
Б) x - 1 + 2ax - 2a – y + xy = (x-1) +2a(x - 1) + y(x - 1) = (x - 1)(1 + 2a + y)
В) 4x2 - 12xy + 9y2 - 4x + 6y = (4x2 -6xy) - 6xy + 9y2 -4x + 6y = 2x(2x -3y) – 3y(2x - 3y) - 2(2x - 3y) = (2x - 3y)(2x -3y -2)
Г) x2 + 6x – y2 - 4y + 5 = x2 + 5x + x – y2 - 5y + y + 5 + xy – xy = x(x + y + 5) – y(x + y + 5) + x + y + 5 = (x + y + 5)(x – y + 1)
