Ъглов коефициент на права

Ъгловият коефициент на една права (наричан още „наклон на правата“) е число, което показва колко стръмна е правата и дали тя се изкачва, или се спуска, когато се движим по нея отляво надясно. С негова помощ можем да напишем уравнение на правата, да проверим дали две прави са успоредни или перпендикулярни и да опишем колко бързо се изменя една величина, когато се изменя друга.

На тази страница: Наклон на права · Определение · Знак на коефициента · Ъгъл на наклона · Успоредни и перпендикулярни · Уравнения на права · В практиката · Чести грешки · Задачи

Наклон на права (стръмност)

Представете си точка, която се движи по невертикална права от точката $P_1(x_1; y_1)$ до точката $P_2(x_2; y_2).$ Ординатата ѝ се изменя с ${y_2-y_1},$ а абсцисата ѝ – с ${x_2-x_1}.$ Изменението по вертикала ${y_2-y_1}$ ще наричаме изменение на $y$, а изменението по хоризонтала ${x_2-x_1}$ – изменение на $x$.

Колкото по-стръмна е правата, толкова по-голямо е изменението на $y$ при едно и също изменение на $x.$ Затова стръмността се измерва с отношението на изменението на $y$ към изменението на $x.$ Например ако една права се изкачва с $3$ единици при преместване с $6$ единици надясно, това отношение е ${\frac{3}{6}=\frac{1}{2}}\text{:}$ на всяка единица надясно правата се изкачва с половин единица.

Определение

С думи: ъгловият коефициент е изменението на $y,$ разделено на изменението на $x.$ Формулата има смисъл само при ${x_1\ne x_2}.$ Всички точки от една вертикална права имат една и съща абсциса, затова изменението на $x$ е $0,$ а на нула не може да се дели. Ето защо ъгловият коефициент на вертикална права не е дефиниран. (В учебниците често се казва, че вертикалната права няма ъглов коефициент. Това не означава, че ъгловият коефициент е $0.$)

Редът на точките

Няма значение коя от двете точки ще означим с $P_1$ и коя с $P_2.$ Ако ги разменим, и числителят, и знаменателят сменят знака си, а стойността на дробта остава същата:

$$\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{-(y_2-y_1)}{-(x_2-x_1)}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.$$

Редът на точките трябва да е един и същ в числителя и в знаменателя. Ако числителят започва с $y_2,$ знаменателят трябва да започва с $x_2.$

Всеки две точки дават един и същ ъглов коефициент

Ъгловият коефициент е свойство на цялата права, а не на отделна двойка нейни точки. На чертежа точките $A,$ $B,$ $C$ и $D$ лежат на една права. Всеки от двата оцветени правоъгълни триъгълника има един хоризонтален и един вертикален катет, а хипотенузите им $AB$ и $CD$ лежат на тази права. Хоризонталните катети са успоредни, затова ъглите при върховете $A$ и $C$ са равни (те са съответни ъгли). Освен това двата триъгълника имат по един прав ъгъл, следователно са подобни. В подобни триъгълници отношенията на съответните страни са равни. За малкия триъгълник изменението на $y$ е $1,$ а изменението на $x$ е $2;$ за големия изменението на $y$ е $2,$ а изменението на $x$ е $4\text{:}$

$$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}.$$

Които и две точки от тази права да вземем, ъгловият коефициент е $\frac{1}{2}.$

Ъгловият коефициент като скорост на изменение

Измененията на координатите често се означават с гръцката буква $\Delta$ (делта): ${\Delta x=x_2-x_1}$ и ${\Delta y=y_2-y_1}.$ Тогава

$$k=\frac{\Delta y}{\Delta x},\qquad \Delta y=k\cdot\Delta x.$$

Ако $x$ се увеличи с $1,$ то $y$ се изменя с $k.$ Следователно ъгловият коефициент е скоростта на изменение на $y$ спрямо $x\text{:}$ той показва с колко единици се изменя $y,$ когато $x$ се увеличи с една единица. За права тази скорост е една и съща навсякъде.

Положителен, отрицателен, нулев и недефиниран ъглов коефициент

Разглеждаме правата отляво надясно, т.е. в посоката, в която $x$ расте.

Ъглов коефициент	Права	Защо
Положителен, ${k\gt0}$	изкачва се отляво надясно	когато $x$ расте, $y$ също расте: изменението на $y$ е положително
Отрицателен, ${k\lt0}$	спуска се отляво надясно	когато $x$ расте, $y$ намалява: изменението на $y$ е отрицателно
Равен на нула, ${k=0}$	хоризонтална	всички точки имат една и съща ордината: изменението на $y$ е $0$
Не е дефиниран	вертикална	всички точки имат една и съща абсциса: изменението на $x$ е $0$

Стръмността се определя от абсолютната стойност на ъгловия коефициент: колкото по-голямо е $|k|,$ толкова по-стръмна е правата. Права с ъглов коефициент $4$ е по-стръмна от права с ъглов коефициент $\frac{1}{2},$ а права с ъглов коефициент $-2$ е по-стръмна от права с ъглов коефициент $1,$ въпреки че ${-2\lt1}.$

Пример 1. Намерете ъгловия коефициент на правата през точките: а) $(6; 2)$ и $(9; 8);$ б) $(2; 9)$ и $(4; 3);$ в) $(-2; 7)$ и $(5; 7);$ г) $(3; 1)$ и $(3; 5).$

Решение. Използваме формулата ${k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}.$

а) $k=\frac{8-2}{9-6}=\frac{6}{3}=2.$ Правата се изкачва с $2$ единици на всяка единица надясно.

б) $k=\frac{3-9}{4-2}=\frac{-6}{2}=-3.$ Правата се спуска с $3$ единици на всяка единица надясно.

в) $k=\frac{7-7}{5-(-2)}=\frac{0}{7}=0.$ Правата е хоризонтална.

г) И за двете точки ${x=3},$ затова изменението на $x$ е ${3-3=0}$ и ъгловият коефициент не е дефиниран. Правата е вертикална.

Пример 2. Правата през точките $(1; 2)$ и $(4; y)$ има ъглов коефициент $3.$ Намерете $y.$

Решение. От формулата за ъгловия коефициент получаваме ${\frac{y-2}{4-1}=3}.$ Оттук ${y-2=9}$ и ${y=11}.$

Пример 3. Лежат ли точките $A(-1; 1),$ $B(1; 5)$ и $C(4; 11)$ на една права?

Решение. Ъгловият коефициент на правата $AB$ е ${\frac{5-1}{1-(-1)}=\frac{4}{2}=2},$ а ъгловият коефициент на правата $BC$ е ${\frac{11-5}{4-1}=\frac{6}{3}=2}.$ Правите $AB$ и $BC$ имат един и същ ъглов коефициент и обща точка $B.$ През дадена точка минава само една права с даден ъглов коефициент, следователно $AB$ и $BC$ са една и съща права. Трите точки лежат на една права.

Ъгъл на наклона

Ъгъл на наклона на права, която пресича оста $Ox,$ се нарича ъгълът $\alpha,$ който правата сключва с положителната посока на оста $Ox.$ Това е най-малкият ъгъл, отчитан от положителната посока на оста $Ox$ до правата в посока, обратна на часовниковата стрелка. За хоризонтална права приемаме ${\alpha=0^\circ}.$

Следователно ${0^\circ\le\alpha\lt180^\circ}.$ Ако правата се изкачва, ъгълът $\alpha$ е остър; ако правата се спуска, $\alpha$ е тъп; за вертикална права ${\alpha=90^\circ}.$

Теорема. За всяка невертикална права ъгловият коефициент $k$ и ъгълът на наклона $\alpha$ са свързани с равенството ${k=\operatorname{tg}\alpha}.$

Тангенсът на тъп ъгъл е отрицателен: ${\operatorname{tg}\alpha=-\operatorname{tg}(180^\circ-\alpha)}.$ Например ${\operatorname{tg}135^\circ}={-\operatorname{tg}45^\circ}={-1}.$

Доказателство

Избираме две точки $P_1$ и $P_2$ от правата, като $P_2$ е вдясно от $P_1,$ и построяваме правоъгълния триъгълник, чийто хоризонтален катет изобразява изменението на $x,$ а вертикалният – изменението на $y.$

Ако правата се изкачва, ъгълът на триъгълника при върха $P_1$ е равен на $\alpha\text{:}$ хоризонталният катет е успореден на оста $Ox,$ така че това са съответни ъгли. В правоъгълен триъгълник тангенсът на остър ъгъл е равен на отношението на срещулежащия катет към прилежащия, затова ${\operatorname{tg}\alpha=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=k}.$

Ако правата се спуска, ъгълът $\alpha$ е тъп, а острият ъгъл между правата и оста $Ox$ е ${180^\circ-\alpha}.$ Ъгълът на триъгълника при върха $P_1$ е равен на него (това отново са съответни ъгли). Тангенсът му е равен на дължината на вертикалния катет, разделена на дължината на хоризонталния: ${\operatorname{tg}(180^\circ-\alpha)}={\frac{y_1-y_2}{x_2-x_1}}={-k}.$ Тъй като ${\operatorname{tg}(180^\circ-\alpha)=-\operatorname{tg}\alpha},$ получаваме ${-\operatorname{tg}\alpha=-k},$ откъдето отново ${k=\operatorname{tg}\alpha}.$

За хоризонтална права ${k=0}$ и ${\operatorname{tg}0^\circ=0}.$

Ъгъл $\alpha$	${k=\operatorname{tg}\alpha}$	Права
$0^\circ$	$0$	хоризонтална
$30^\circ$	$\frac{\sqrt{3}}{3}\approx0{,}58$	изкачва се
$45^\circ$	$1$	изкачва се
$60^\circ$	$\sqrt{3}\approx1{,}73$	изкачва се
$90^\circ$	не е дефиниран	вертикална
$120^\circ$	$-\sqrt{3}\approx-1{,}73$	спуска се
$135^\circ$	$-1$	спуска се
$150^\circ$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}\approx-0{,}58$	спуска се

Тангенсът на $90^\circ$ не е дефиниран, което е в съгласие с това, че и ъгловият коефициент на вертикална права не е дефиниран.

Пример 4. Намерете ъгъла на наклона на права с ъглов коефициент: а) ${k=1};$ б) ${k=-1}.$

Решение.

а) ${\operatorname{tg}\alpha=1},$ следователно ${\alpha=45^\circ}$ (в радиани $\frac{\pi}{4}$).

б) ${\operatorname{tg}\alpha=-1}.$ Тъй като ${0^\circ\le\alpha\lt180^\circ},$ ъгълът е ${\alpha=135^\circ}$ (в радиани $\frac{3\pi}{4}$).

Пример 5. Намерете с точност до градус ъгъла на наклона на правата през точките: а) $(1; 1)$ и $(4; 3);$ б) $(0; 5)$ и $(2; 1).$

Решение.

а) ${k=\frac{3-1}{4-1}=\frac{2}{3}}.$ С клавиша $\tan^{-1}$ (аркустангенс) на калкулатора, в режим „градуси“, намираме ${\alpha=\operatorname{arctg}\frac{2}{3}\approx34^\circ}.$

б) ${k=\frac{1-5}{2-0}=\frac{-4}{2}=-2}.$ Калкулаторът дава ${\operatorname{arctg}(-2)\approx-63^\circ},$ но ъгълът на наклона не може да бъде отрицателен. Тангенсът не се променя, когато към ъгъла прибавим $180^\circ,$ затова прибавяме $180^\circ$ и получаваме ${\alpha\approx-63^\circ+180^\circ=117^\circ}.$

При отрицателен ъглов коефициент калкулаторът дава отрицателен ъгъл. Прибавете към него $180^\circ,$ за да получите ъгъла на наклона.

Успоредни и перпендикулярни прави

Второто условие може да се запише и във вида ${k_2=-\frac{1}{k_1}}\text{:}$ ъгловите коефициенти на две перпендикулярни прави са реципрочни по абсолютна стойност и с противоположни знаци. Например правите с ъглови коефициенти $2$ и $-\frac{1}{2}$ са перпендикулярни, както и правите с ъглови коефициенти $-\frac{3}{4}$ и $\frac{4}{3}.$

Ъгловият коефициент на вертикална права не е дефиниран, затова теоремата не казва нищо за вертикалните прави. Всеки две различни вертикални прави са успоредни. Една вертикална права е перпендикулярна на всяка хоризонтална права и на никоя друга.

Доказателство за успоредни прави

Да разгледаме най-напред случая, когато никоя от двете прави не е хоризонтална. Тогава всяка от тях пресича оста $Ox;$ нека $\alpha_1$ и $\alpha_2$ са техните ъгли на наклона.

Ако правите са успоредни, те пресичат оста $Ox$ в две различни точки, а $\alpha_1$ и $\alpha_2$ са съответни ъгли: пресечница е оста $Ox.$ Съответните ъгли при успоредни прави са равни, т.е. ${\alpha_1=\alpha_2},$ следователно ${k_1=\operatorname{tg}\alpha_1=\operatorname{tg}\alpha_2=k_2}.$

Обратно, нека ${k_1=k_2},$ т.е. ${\operatorname{tg}\alpha_1=\operatorname{tg}\alpha_2}.$ Два различни ъгъла между $0^\circ$ и $180^\circ$ не могат да имат равни тангенси, следователно ${\alpha_1=\alpha_2}.$ Правите не могат да пресичат оста $Ox$ в една и съща точка: две прави, които минават през една и съща точка от оста и имат един и същ ъгъл на наклона, съвпадат, а нашите прави са различни. Значи те пресичат оста в две различни точки, съответните ъгли $\alpha_1$ и $\alpha_2$ са равни и затова правите са успоредни.

Ако едната от правите е хоризонтална, ъгловият ѝ коефициент е $0.$ Другата права е успоредна на нея точно когато и тя е хоризонтална, т.е. когато и нейният ъглов коефициент е $0.$

Доказателство за перпендикулярни прави

И в двете части на доказателството правите се пресичат. Перпендикулярните прави винаги се пресичат. А ако ${k_1k_2=-1},$ то ${k_1\ne k_2}$ (при равни ъглови коефициенти бихме получили ${k_1^2=-1},$ което е невъзможно), така че според първата част на теоремата правите не са успоредни. Нека $A$ е пресечната точка на правите. Ако преместим двете прави нагоре на едно и също разстояние, ъгловите им коефициенти и ъгълът между тях не се променят, затова можем да приемем, че точката $A$ лежи над оста $Ox.$

Ако правите са перпендикулярни, то ${k_1k_2=-1}.$ Никоя от правите не е вертикална, следователно никоя не е и хоризонтална (права, перпендикулярна на хоризонтална права, е вертикална). Значи и двете прави пресичат оста $Ox$ – правата $g_1$ в точка $B,$ а правата $g_2$ в точка $C.$ Означаваме правите така, че $B$ да е вляво от $C.$ Триъгълникът $ABC$ има прав ъгъл при върха $A,$ затова ъглите му при върховете $B$ и $C$ са остри. Следователно правата $g_1$ се изкачва, правата $g_2$ се спуска, а петата $H$ на височината $AH$ лежи между $B$ и $C.$ Нека ${AH=h}$ и ${HC=c}.$

Ъгълът на триъгълника при върха $B$ е $\alpha_1.$ Ъгълът $HAC$ също е равен на $\alpha_1,$ защото всеки от тези два ъгъла допълва до $90^\circ$ ъгъла при върха $C$ (в правоъгълните триъгълници $ABC$ и $AHC$). От правоъгълния триъгълник $AHC$ получаваме ${\operatorname{tg}\alpha_1=\frac{c}{h}},$ а тангенсът на ъгъла при върха $C$ е $\frac{h}{c}.$ Ъгълът на наклона на правата $g_2$ е $\alpha_2,$ а ъгълът при върха $C$ е ${180^\circ-\alpha_2},$ затова ${\operatorname{tg}\alpha_2=-\frac{h}{c}}.$ Следователно

$$k_1k_2=\frac{c}{h}\cdot\left(-\frac{h}{c}\right)=-1.$$

Ако ${k_1k_2=-1},$ то правите са перпендикулярни. Ъгловите коефициенти имат противоположни знаци; нека ${k_1\gt0}$ и ${k_2\lt0}.$ Тогава правата $g_1$ се изкачва, а правата $g_2$ се спуска. Когато слизаме от точката $A$ по правата $g_1,$ се движим наляво, а по правата $g_2$ – надясно, затова $g_1$ пресича оста $Ox$ в точка $B$ вляво от $A,$ а $g_2$ я пресича в точка $C$ вдясно от $A.$ Следователно петата $H$ на височината $AH$ в триъгълника $ABC$ лежи между $B$ и $C.$ Нека ${AH=h},$ ${BH=d}$ и ${HC=c}.$ От правоъгълните триъгълници $ABH$ и $AHC$ получаваме ${k_1=\frac{h}{d}}$ и ${k_2=-\frac{h}{c}}.$ Равенството ${k_1k_2=-1}$ приема вида ${\frac{h}{d}\cdot\frac{h}{c}=1},$ т.е. ${\frac{h}{d}=\frac{c}{h}}.$

Тук $\frac{h}{d}$ е тангенсът на ъгъла $ABH,$ а $\frac{c}{h}$ е тангенсът на ъгъла $HAC.$ Два остри ъгъла с равни тангенси са равни, следователно ${\sphericalangle HAC=\sphericalangle ABH}.$ В правоъгълния триъгълник $ABH$ имаме ${\sphericalangle BAH=90^\circ-\sphericalangle ABH}.$ Следователно ${\sphericalangle BAC}={\sphericalangle BAH+\sphericalangle HAC}={90^\circ\text{:}}$ правите са перпендикулярни.

Уравнения на права

Уравнение на права е уравнение с променливи $x$ и $y,$ което се удовлетворява от координатите на всяка точка от правата и не се удовлетворява от координатите на никоя друга точка. С помощта на ъгловия коефициент такива уравнения се съставят лесно.

Вертикални и хоризонтални прави

Теорема. Вертикалната права през точката $(a; 0)$ има уравнение ${x=a}.$ Хоризонталната права през точката $(0; n)$ има уравнение ${y=n}.$

Всяка точка от вертикалната права има абсциса $a,$ каквато и да е ординатата ѝ. Всяка точка от хоризонталната права има ордината $n.$ Например ${x=3}$ е вертикалната права през точката $(3; 0),$ а ${y=-2}$ е хоризонталната права през точката $(0; -2).$ Оста $Ox$ е правата ${y=0},$ а оста $Oy$ е правата ${x=0}.$

Уравнение на права през дадена точка с даден ъглов коефициент

Теорема. Правата, която минава през точката $P_1(x_1; y_1)$ и има ъглов коефициент $k,$ се задава с уравнението ${y-y_1=k(x-x_1)}.$ То се нарича уравнение на права през дадена точка с даден ъглов коефициент.

Доказателство

Нека $P(x; y)$ е точка, различна от $P_1.$

Ако ${x\ne x_1},$ точката $P$ лежи на правата точно когато ъгловият коефициент на правата $P_1P$ е равен на $k\text{:}$

$$\frac{y-y_1}{x-x_1}=k.$$

Като умножим двете страни на равенството по ${x-x_1},$ получаваме равносилното уравнение ${y-y_1=k(x-x_1)}.$

Ако ${x=x_1},$ то ${y\ne y_1}.$ Такава точка не лежи на правата, защото правата не е вертикална, и не удовлетворява уравнението: лявата страна ${y-y_1}$ не е $0,$ а дясната е $0.$

Координатите на самата точка $P_1$ удовлетворяват уравнението: двете му страни стават $0.$

Пример 6. Напишете уравнението на правата през точката $(2; 3)$ с ъглов коефициент $4.$

Решение. ${y-3=4(x-2)}.$ Разкриваме скобите: ${y-3=4x-8},$ откъдето ${y=4x-5}.$

Пример 7. Напишете уравнението на правата през точките $(1; 5)$ и $(3; 1).$

Решение. Най-напред намираме ъгловия коефициент: ${k=\frac{1-5}{3-1}=\frac{-4}{2}=-2}.$ След това записваме уравнението на правата през точката $(1; 5)$ с този ъглов коефициент: ${y-5=-2(x-1)},$ откъдето ${y=-2x+7}.$ Проверка с втората точка: ${-2\cdot3+7=1}.$

Декартово уравнение на права

Отрез от оста $Oy$ на дадена права се нарича ординатата на точката, в която правата пресича оста $Oy.$ Ако отрезът е $n,$ правата минава през точката $(0; n).$

Теорема. Правата с ъглов коефициент $k$ и отрез $n$ от оста $Oy$ се задава с уравнението ${y=kx+n}.$ То се нарича декартово уравнение на правата.

Това следва от предишната теорема: за точката $(0; n)$ уравнението приема вида ${y-n=k(x-0)},$ т.е. ${y=kx+n}.$ В декартовото уравнение и двете числа се виждат веднага: коефициентът пред $x$ е ъгловият коефициент, а свободният член е отрезът от оста $Oy.$ Например правата ${y=3x-2}$ има ъглов коефициент $3$ и пресича оста $Oy$ в точката $(0; -2).$ В уроците за линейната функция същото уравнение се записва във вида ${y=ax+b},$ така че там ъгловият коефициент е коефициентът $a.$

Пример 8. Намерете ъгловия коефициент и отреза от оста $Oy$ на правата ${3x+2y-6=0}.$

Решение. Изразяваме $y$ от уравнението: ${2y=-3x+6},$ откъдето ${y=-\frac{3}{2}x+3}.$ Ъгловият коефициент е $-\frac{3}{2},$ а отрезът от оста $Oy$ е $3.$

В общия случай, ако ${B\ne0},$ правата ${Ax+By+C=0}$ има ъглов коефициент ${k=-\frac{A}{B}}$ и отрез от оста $Oy,$ равен на $-\frac{C}{B}.$ Ако ${B=0}$ (тогава ${A\ne0}$), уравнението приема вида ${x=-\frac{C}{A}}\text{:}$ правата е вертикална. Уравнението ${Ax+By+C=0}$ се нарича общо уравнение на права.

Една и съща права може да се зададе с различни уравнения: ${y=2x+1}$ и ${2y=4x+2}$ дават един и същ ъглов коефициент $2$ и един и същ отрез $1$ от оста $Oy.$ Две прави с равни ъглови коефициенти са успоредни само ако отрезите им от оста $Oy$ са различни.

Пример 9. Начертайте правата ${y=-\frac{2}{3}x+4}.$

Решение. Отрезът от оста $Oy$ е $4,$ следователно правата минава през точката $(0; 4).$ Ъгловият коефициент е ${-\frac{2}{3}=\frac{-2}{3}}\text{:}$ на всеки $3$ единици надясно правата се спуска с $2$ единици. От точката $(0; 4)$ се преместваме с $3$ единици надясно и с $2$ единици надолу и получаваме точката $(3; 2);$ още една такава стъпка дава точката $(6; 0).$ Чертаем правата през тези точки.

Пример 10. Напишете уравнението на правата през точката $(4; 1),$ която е: а) успоредна на правата ${y=2x-3};$ б) перпендикулярна на нея.

Решение. Дадената права има ъглов коефициент $2.$

а) Успоредната права има същия ъглов коефициент $2\text{:}$ ${y-1=2(x-4)},$ откъдето ${y=2x-7}.$

б) Перпендикулярната права има ъглов коефициент $-\frac{1}{2},$ защото ${2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-1}.$ Нейното уравнение е ${y-1=-\frac{1}{2}(x-4)},$ откъдето ${y=-\frac{1}{2}x+3}.$

Ъгловият коефициент в практиката

Пътища. Пътен знак с надпис $8\%$ означава, че пътят се изкачва (или се спуска) с $8$ м на всеки $100$ м хоризонтално разстояние. Наклонът на пътя е неговият ъглов коефициент, изразен в проценти: ${\frac{8}{100}=0{,}08=8\%}.$ Ъгълът на наклона на такъв път е малък: ${\operatorname{arctg}0{,}08\approx4{,}6^\circ}.$

Наклон $100\%$ не означава отвесна стена: това е ъглов коефициент $1,$ т.е. ъгъл на наклона $45^\circ.$

Скорост. Ако начертаем графиката на изминатия път като функция на времето, ъгловият коефициент на графиката е равен на скоростта. За автомобил, който се движи с постоянна скорост и изминава $150$ км за $3$ часа, графиката е права през точките $(0; 0)$ и $(3; 150).$ Нейният ъглов коефициент е ${\frac{150-0}{3-0}=50}\text{:}$ скоростта е $50$ км/ч.

Чести грешки

Грешка	Грешно	Вярно
Обърната дроб	${k=\frac{x_2-x_1}{y_2-y_1}}$	${k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}\text{:}$ в числителя е изменението на $y$
Разменен ред на точките	За $(6; 2)$ и $(9; 8)\text{:}$ ${k=\frac{8-2}{6-9}=-2}$	${k=\frac{8-2}{9-6}=2}\text{:}$ една и съща точка е първа и в числителя, и в знаменателя
Изваждане на отрицателно число	За $(-2; 1)$ и $(5; 4)$ изменението на $x$ е ${5-2=3}$	Изменението на $x$ е ${5-(-2)=7}$
Нулев и недефиниран ъглов коефициент	Ъгловият коефициент на хоризонтална права не е дефиниран, а вертикална права има ъглов коефициент $0$	Хоризонтална права има ъглов коефициент $0,$ а ъгловият коефициент на вертикална права не е дефиниран
Ъглов коефициент на перпендикулярна права	Права, перпендикулярна на ${y=2x+1},$ има ъглов коефициент $-2$	Ъгловият ѝ коефициент е $-\frac{1}{2}\text{:}$ сменяме знака и вземаме реципрочното число
Прибързано отчитане на коефициента	Правата ${2y=6x+4}$ има ъглов коефициент $6$	Най-напред изразете $y\text{:}$ ${y=3x+2},$ следователно ъгловият коефициент е $3$
Наклон $100\%$	Път с наклон $100\%$ е вертикален	Наклон $100\%$ е ъглов коефициент $1,$ т.е. ъгъл на наклона $45^\circ$

Задачи за упражнение

1. Намерете ъгловия коефициент на правата през точките: а) $(1; 2)$ и $(5; 10);$ б) $(-3; 4)$ и $(1; -4);$ в) $(0; -5)$ и $(6; -5);$ г) $(2; -1)$ и $(2; 7).$

Отговор

а) $k=\frac{10-2}{5-1}=\frac{8}{4}=2.$

б) ${k}={\frac{-4-4}{1-(-3)}}={\frac{-8}{4}}={-2.}$

в) $k=\frac{-5-(-5)}{6-0}=\frac{0}{6}=0.$

г) Ъгловият коефициент не е дефиниран: това е вертикалната права ${x=2}.$

2. Права с ъглов коефициент $\frac{3}{4}$ минава през точката $(2; 1).$ Намерете ординатата на точката от тази права, за която ${x=10}.$

Отговор

Изменението на $x$ е ${10-2=8},$ затова изменението на $y$ е ${\frac{3}{4}\cdot8=6}$ и ${y=1+6=7}.$

3. Лежат ли трите точки на една права? а) $(0; -1),$ $(2; 3)$ и $(5; 9);$ б) $(1; 1),$ $(3; 4)$ и $(7; 9).$

Отговор

а) Да: ${\frac{3-(-1)}{2-0}=\frac{4}{2}=2}$ и ${\frac{9-3}{5-2}=\frac{6}{3}=2}.$

б) Не: ${\frac{4-1}{3-1}=\frac{3}{2}},$ но ${\frac{9-4}{7-3}=\frac{5}{4}}.$

4. Намерете ъгъла на наклона на права с ъглов коефициент: а) $\sqrt{3};$ б) $-\frac{\sqrt{3}}{3};$ в) $0.$

Отговор

а) $60^\circ;$ б) $150^\circ;$ в) $0^\circ.$

5. Права минава през точката $(0; 2),$ а ъгълът на наклона ѝ е $135^\circ.$ Напишете уравнението на правата.

Отговор

${k=\operatorname{tg}135^\circ=-1},$ а отрезът от оста $Oy$ е $2,$ следователно ${y=-x+2}.$

6. Напишете декартовото уравнение на правата през точката $(-1; 4)$ с ъглов коефициент $-3.$

Отговор

${y-4=-3(x+1)},$ откъдето ${y=-3x+1}.$

7. Напишете уравнението на правата през точките $(2; -1)$ и $(6; 7).$

Отговор

${k=\frac{7-(-1)}{6-2}=\frac{8}{4}=2}.$ Тогава ${y+1=2(x-2)},$ откъдето ${y=2x-5}.$

8. Намерете ъгловия коефициент и отреза от оста $Oy$ на правата ${4x-2y+10=0}.$

Отговор

${2y=4x+10},$ откъдето ${y=2x+5}.$ Ъгловият коефициент е $2,$ а отрезът от оста $Oy$ е $5.$

9. Определете дали двете прави са успоредни, перпендикулярни или нито едното, нито другото: а) ${y=3x-1}$ и ${6x-2y+5=0};$ б) ${y=\frac{2}{5}x+1}$ и ${5x+2y=4};$ в) ${y=2x}$ и ${y=-2x+3}.$

Отговор

а) Успоредни: втората права е ${y=3x+\frac{5}{2}}.$ И двата ъглови коефициента са равни на $3,$ а отрезите $-1$ и $\frac{5}{2}$ от оста $Oy$ са различни, следователно това са две различни прави.

б) Перпендикулярни: втората права е ${y=-\frac{5}{2}x+2},$ а ${\frac{2}{5}\cdot\left(-\frac{5}{2}\right)=-1}.$

в) Нито едното, нито другото: ъгловите коефициенти $2$ и $-2$ не са равни, а произведението им е ${2\cdot(-2)=-4}.$

10. Напишете уравнението на правата през точката $(3; -2),$ която е перпендикулярна на правата ${y=\frac{3}{4}x+1}.$

Отговор

Ъгловият коефициент е $-\frac{4}{3}.$ Тогава ${y+2=-\frac{4}{3}(x-3)},$ откъдето ${y=-\frac{4}{3}x+2}.$

11. Докажете, че триъгълникът с върхове $A(1; 1),$ $B(5; 3)$ и $C(3; 7)$ е правоъгълен.

Отговор

Ъгловият коефициент на правата $AB$ е ${\frac{3-1}{5-1}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}},$ а ъгловият коефициент на правата $BC$ е ${\frac{7-3}{3-5}=\frac{4}{-2}=-2}.$ Тъй като ${\frac{1}{2}\cdot(-2)=-1},$ страните $AB$ и $BC$ са перпендикулярни: ъгълът при върха $B$ е прав.

12. Рампа за инвалидни колички се издига с $1$ м на всеки $12$ м хоризонтално разстояние. Изразете наклона ѝ в проценти и намерете ъгъла на наклона ѝ. Закръглете двата резултата до десетите.

Отговор

Наклонът е ${\frac{1}{12}\approx0{,}083=8{,}3\%}.$ Ъгълът на наклона е ${\operatorname{arctg}\frac{1}{12}\approx4{,}8^\circ}.$

Вижте също: Функции · Аналитична геометрия · Двойки ъгли · Тригонометрия