Двойки ъгли

Често два ъгъла образуват двойка, която има свое име. Името показва как са разположени двата ъгъла един спрямо друг: такива са например съседните и връхните ъгли. Когато една права пресича две успоредни прави, се получават осем ъгъла и за двойките от тях важат прости правила, които се използват в цялата геометрия.

На тази страница: Ъгли с общо рамо · Съседни ъгли · Връхни ъгли · Кръстни, съответни, прилежащи · Признаци за успоредност · Решени примери · Чести грешки · Задачи за упражнение

Ъгли с общо рамо

Ъгли с общо рамо ще наричаме два ъгъла, които имат общ връх и общо рамо и не се припокриват, тоест лежат от различни страни на общото рамо.

На чертежа $\sphericalangle 1$ и $\sphericalangle 2$ са ъгли с общо рамо: общият им връх е $O,$ а общото им рамо е $OB.$ Заедно те образуват по-големия ъгъл $AOC,$ затова ${\sphericalangle AOC=\sphericalangle 1+\sphericalangle 2}.$

Съседни ъгли

Съседни ъгли се наричат два ъгъла, които имат общо рамо, а другите им две рамене са противоположни лъчи, тоест образуват права. Сборът на два съседни ъгъла е $180^\circ\text{:}$ ${\sphericalangle 1+\sphericalangle 2=180^\circ}.$

Причината е проста: двата ъгъла заедно образуват изправен ъгъл, а изправеният ъгъл е $180^\circ.$

Пример 1. Единият от два съседни ъгъла е $37^\circ.$ Намерете другия ъгъл.

Решение. Сборът на съседните ъгли е $180^\circ,$ следователно другият ъгъл е ${180^\circ-37^\circ=143^\circ}.$

Пример 2. Два ъгъла са съседни и единият е четири пъти по-голям от другия. Намерете ъглите.

Решение. Означаваме по-малкия ъгъл с $x.$ Тогава по-големият е $4x$ и ${x+4x=180^\circ},$ откъдето ${5x=180^\circ}$ и ${x=36^\circ}.$ Ъглите са $36^\circ$ и ${4\cdot36^\circ=144^\circ}.$

Връхни ъгли

Две пресичащи се прави образуват четири ъгъла. Два от тях, които лежат един срещу друг, например $\sphericalangle 1$ и $\sphericalangle 3,$ се наричат връхни ъгли (в някои учебници – противоположни ъгли): те нямат общо рамо, а раменете на единия ъгъл са продължения на раменете на другия отвъд върха. Втората двойка връхни ъгли е $\sphericalangle 2$ и $\sphericalangle 4.$

Връхните ъгли са равни: ${\sphericalangle 1=\sphericalangle 3}$ и ${\sphericalangle 2=\sphericalangle 4}.$

Доказателство

Тъй като $\sphericalangle 1$ и $\sphericalangle 2$ са съседни ъгли, ${\sphericalangle 1=180^\circ-\sphericalangle 2}.$ Но $\sphericalangle 3$ и $\sphericalangle 2$ също са съседни, затова ${\sphericalangle 3=180^\circ-\sphericalangle 2}.$ Десните страни на двете равенства са еднакви, следователно ${\sphericalangle 1=\sphericalangle 3}.$ По същия начин се доказва, че ${\sphericalangle 2=\sphericalangle 4}.$

Пример 3. Две прави се пресичат и един от четирите получени ъгъла е $68^\circ.$ Намерете другите три ъгъла.

Решение. Връхният на дадения ъгъл също е $68^\circ.$ Всеки от другите два ъгъла е съседен на дадения, затова е ${180^\circ-68^\circ=112^\circ}.$ Четирите ъгъла са $68^\circ,$ $112^\circ,$ $68^\circ$ и $112^\circ.$

Двойка ъгли	Двата ъгъла
С общо рамо	имат общ връх и общо рамо и не се припокриват
Съседни	имат общо рамо, а другите им две рамене образуват права; сборът им е $180^\circ$
Връхни	лежат един срещу друг при пресичането на две прави; равни са

Ъгли при успоредни прави, пресечени с трета права

Нека две прави са пресечени с трета права в две различни точки. Третата права ще наричаме пресичаща права (среща се и названието пресечница). На чертежа правите $m$ и $n$ са пресечени с правата $t$ и се получават осем ъгъла – по четири при всяка от двете прави.

Ъглите, които лежат между двете прави, са вътрешни: това са $\sphericalangle 3,$ $\sphericalangle 4,$ $\sphericalangle 5$ и $\sphericalangle 6.$ Ъглите, които лежат извън двете прави, са външни: това са $\sphericalangle 1,$ $\sphericalangle 2,$ $\sphericalangle 7$ и $\sphericalangle 8.$ Двойките от един ъгъл при правата $m$ и един ъгъл при правата $n,$ които се използват в геометрията, имат следните названия:

Название	Къде лежат двата ъгъла	Двойки на чертежа
Съответни ъгли	от една и съща страна на пресичащата права и в еднакво положение спрямо своите прави (и двата над своята права или и двата под нея)	$\sphericalangle 1$ и $\sphericalangle 5,$ $\sphericalangle 2$ и $\sphericalangle 6,$ $\sphericalangle 3$ и $\sphericalangle 7,$ $\sphericalangle 4$ и $\sphericalangle 8$
Вътрешни кръстни ъгли	между двете прави, от различни страни на пресичащата права	$\sphericalangle 3$ и $\sphericalangle 6,$ $\sphericalangle 4$ и $\sphericalangle 5$
Външни кръстни ъгли	извън двете прави, от различни страни на пресичащата права	$\sphericalangle 1$ и $\sphericalangle 8,$ $\sphericalangle 2$ и $\sphericalangle 7$
Вътрешни прилежащи ъгли	между двете прави, от една и съща страна на пресичащата права	$\sphericalangle 3$ и $\sphericalangle 5,$ $\sphericalangle 4$ и $\sphericalangle 6$
Външни прилежащи ъгли	извън двете прави, от една и съща страна на пресичащата права	$\sphericalangle 1$ и $\sphericalangle 7,$ $\sphericalangle 2$ и $\sphericalangle 8$

Тези названия описват само разположението на ъглите, затова се използват за всеки две прави, пресечени с трета. Когато не е нужно да се уточнява дали ъглите са вътрешни или външни, се казва просто „кръстни ъгли“ и „прилежащи ъгли“. Тези двойки стават истински полезни, когато двете прави са успоредни. Записът ${m\parallel n}$ се чете „правата $m$ е успоредна на правата $n$“.

Защо тези свойства са верни

Едно от свойствата приемаме без доказателство: когато две прави са успоредни, съответните ъгли са равни. (То е равносилно на аксиомата за успоредните прави: през точка, която не лежи на дадена права, минава точно една права, успоредна на дадената.) Останалите свойства следват от него. Нека ${m\parallel n}.$

Вътрешни кръстни ъгли. ${\sphericalangle 3=\sphericalangle 2}$ като връхни ъгли и ${\sphericalangle 2=\sphericalangle 6}$ като съответни ъгли, следователно ${\sphericalangle 3=\sphericalangle 6}.$

Външни кръстни ъгли. ${\sphericalangle 2=\sphericalangle 6}$ като съответни ъгли и ${\sphericalangle 6=\sphericalangle 7}$ като връхни ъгли, следователно ${\sphericalangle 2=\sphericalangle 7}.$

Вътрешни прилежащи ъгли. Тъй като $\sphericalangle 4$ и $\sphericalangle 2$ са съседни ъгли, ${\sphericalangle 4+\sphericalangle 2=180^\circ}.$ Но ${\sphericalangle 2=\sphericalangle 6}$ като съответни ъгли, следователно ${\sphericalangle 4+\sphericalangle 6=180^\circ}.$

Външни прилежащи ъгли. Тъй като $\sphericalangle 2$ и $\sphericalangle 4$ са съседни ъгли, ${\sphericalangle 2+\sphericalangle 4=180^\circ}.$ Но ${\sphericalangle 4=\sphericalangle 8}$ като съответни ъгли, следователно ${\sphericalangle 2+\sphericalangle 8=180^\circ}.$

Бързо правило: остри и тъпи ъгли

Когато една права пресича две успоредни прави и не е перпендикулярна на тях, се получават четири равни остри ъгъла и четири равни тъпи ъгъла. Сборът на кой да е остър и кой да е тъп ъгъл измежду осемте е $180^\circ.$

Затова е достатъчно да знаем един от ъглите, за да намерим и осемте. Ако пресичащата права е перпендикулярна на двете прави, и осемте ъгъла са прави.

Признаци за успоредност на две прави

Свойствата важат и в обратната посока. Обратните твърдения се наричат признаци за успоредност и именно с тях обикновено се доказва, че две прави са успоредни.

Следете посоката на разсъждението. Ако знаем, че правите са успоредни, можем да заключим, че съответните ъгли са равни. Ако знаем, че два съответни ъгъла са равни, можем да заключим, че правите са успоредни. Ако правите не са успоредни, то не са равни нито съответните, нито кръстните ъгли.

Решени примери

Пример 4. На чертежа ${m\parallel n},$ ъглите са номерирани както досега и е даден $\sphericalangle 1$ (до него е записано $53^\circ$). Намерете $\sphericalangle 8$ и $\sphericalangle 7.$

Решение. $\sphericalangle 1$ и $\sphericalangle 8$ са външни кръстни ъгли: лежат извън успоредните прави, от различни страни на пресичащата права. Следователно ${\sphericalangle 8=\sphericalangle 1=53^\circ}.$ Тъй като $\sphericalangle 7$ и $\sphericalangle 8$ са съседни ъгли, ${\sphericalangle 7=180^\circ-53^\circ=127^\circ}.$

Пример 5. Намерете и осемте ъгъла на чертежа от пример 4.

Решение. Тъй като $\sphericalangle 1$ е остър, всеки остър ъгъл е $53^\circ,$ а всеки тъп ъгъл е ${180^\circ-53^\circ=127^\circ}.$ На чертежа острите ъгли са $\sphericalangle 1,$ $\sphericalangle 4,$ $\sphericalangle 5$ и $\sphericalangle 8,$ следователно ${\sphericalangle 1=\sphericalangle 4=\sphericalangle 5=\sphericalangle 8=53^\circ}$ и ${\sphericalangle 2=\sphericalangle 3=\sphericalangle 6=\sphericalangle 7=127^\circ}.$

Пример 6. Две успоредни прави са пресечени с трета права. Два вътрешни кръстни ъгъла са ${(3x+10)^\circ}$ и ${(5x-30)^\circ}.$ Намерете $x$ и ъглите.

Решение. Правите са успоредни, следователно вътрешните кръстни ъгли са равни: ${3x+10=5x-30}.$ Оттук ${2x=40}$ и ${x=20}.$ Всеки от ъглите е ${3\cdot20+10=70}$ градуса.

Пример 7. Две успоредни прави са пресечени с трета права. Два вътрешни прилежащи ъгъла са ${(2x+15)^\circ}$ и ${(3x-5)^\circ}.$ Намерете ъглите.

Решение. Правите са успоредни, следователно сборът на вътрешните прилежащи ъгли е $180^\circ\text{:}$ ${(2x+15)+(3x-5)}={180}.$ Оттук ${5x+10=180}$ и ${x=34}.$ Ъглите са ${2\cdot34+15=83}$ и ${3\cdot34-5=97}$ градуса. Проверка: ${83^\circ+97^\circ=180^\circ}.$

Пример 8. Правите $m$ и $n$ са пресечени с трета права, а ъглите са номерирани както на чертежа с осемте ъгъла по-горе. Успоредни ли са правите, ако а) ${\sphericalangle 4=115^\circ}$ и ${\sphericalangle 6=65^\circ};$ б) ${\sphericalangle 2=72^\circ}$ и ${\sphericalangle 6=78^\circ}?$

Решение.

а) $\sphericalangle 4$ и $\sphericalangle 6$ са вътрешни прилежащи ъгли и ${115^\circ+65^\circ=180^\circ},$ следователно правите са успоредни.

б) $\sphericalangle 2$ и $\sphericalangle 6$ са съответни ъгли, но не са равни, следователно правите не са успоредни.

Пример 9. Правите $a$ и $b$ са успоредни. Намерете ъгъла $x$ на чертежа.

Решение. През точката $K$ построяваме права, успоредна на $a$ и $b$ (пунктираната права на чертежа). Тя разделя ъгъла $x$ на две части. Горната част и ъгълът $35^\circ$ при точката $A$ са вътрешни кръстни ъгли при правата $a$ и построената права (пресичащата права е $AK$), затова горната част е $35^\circ.$ По същия начин долната част и ъгълът $50^\circ$ при точката $B$ са вътрешни кръстни ъгли при правата $b$ и построената права (пресичащата права е $BK$), затова долната част е $50^\circ.$ Следователно ${x=35^\circ+50^\circ=85^\circ}.$

Пример 10. Докажете, че сборът на ъглите на всеки триъгълник е $180^\circ.$

Доказателство. През върха $C$ построяваме права, успоредна на $AB.$ Ъгълът при $C$ вляво от триъгълника и ъгълът $\alpha$ при върха $A$ са вътрешни кръстни ъгли (пресичащата права е $AC$), следователно са равни. По същия начин ъгълът при $C$ вдясно от триъгълника е равен на $\beta$ (пресичащата права е $BC$). Трите ъгъла при върха $C$ заедно образуват изправен ъгъл, следователно ${\alpha+\gamma+\beta=180^\circ}.$

Чести грешки

Грешка	Грешно	Вярно
Свойствата се прилагат, без правите да са успоредни	$\sphericalangle 2$ и $\sphericalangle 6$ са съответни ъгли, значи са равни	Равни са само ако правите са успоредни
Вътрешните прилежащи ъгли се смятат за равни	Вътрешните прилежащи ъгли при успоредни прави са равни	Сборът им е $180^\circ;$ равни са само когато и двата са по $90^\circ$
Сбор 180° не означава съседни ъгли	Щом сборът на два ъгъла е $180^\circ,$ те са съседни	Не е задължително: съседните ъгли имат и общо рамо. Два прави ъгъла, начертани отделно, са по $90^\circ$ и сборът им е $180^\circ,$ но не са съседни
„Съседни“ не означава просто „един до друг“	Два ъгъла с общо рамо винаги са съседни и сборът им е $180^\circ$	Съседни са само когато другите им две рамене образуват права
Кои ъгли са връхни	Два ъгъла, които са един до друг при пресичането на две прави, са връхни	Връхните ъгли лежат един срещу друг, а ъглите един до друг са съседни

Задачи за упражнение

1. Единият от два съседни ъгъла е $64^\circ.$ Намерете другия ъгъл.

Отговор

${180^\circ-64^\circ=116^\circ}.$

2. Два ъгъла са съседни и единият е с $18^\circ$ по-голям от другия. Намерете ъглите.

Отговор

Ако по-малкият ъгъл е $x,$ то ${x+(x+18^\circ)=180^\circ},$ откъдето ${x=81^\circ}.$ Ъглите са $81^\circ$ и $99^\circ.$

3. Два съседни ъгъла се отнасят както 2 : 3. Намерете ъглите.

Отговор

Означаваме ъглите с $2x$ и $3x.$ Тогава ${2x+3x=180^\circ},$ откъдето ${x=36^\circ}.$ Ъглите са ${2\cdot36^\circ=72^\circ}$ и ${3\cdot36^\circ=108^\circ}.$

4. Две прави се пресичат и сборът на два връхни ъгъла е $150^\circ.$ Намерете и четирите ъгъла.

Отговор

Връхните ъгли са равни, следователно всеки от тях е $75^\circ.$ Всеки от другите два ъгъла е ${180^\circ-75^\circ=105^\circ}.$

5. На чертежа с осемте ъгъла ${m\parallel n}$ и ${\sphericalangle 1=118^\circ}.$ Намерете останалите седем ъгъла.

Отговор

${\sphericalangle 4=\sphericalangle 5=\sphericalangle 8=118^\circ}$ и ${\sphericalangle 2}={\sphericalangle 3}={\sphericalangle 6}={\sphericalangle 7}={180^\circ-118^\circ}={62^\circ}.$

6. Как се нарича всяка от следните двойки ъгли на чертежа с осемте ъгъла: а) $\sphericalangle 4$ и $\sphericalangle 5;$ б) $\sphericalangle 2$ и $\sphericalangle 6;$ в) $\sphericalangle 1$ и $\sphericalangle 8;$ г) $\sphericalangle 3$ и $\sphericalangle 5?$

Отговор

а) Вътрешни кръстни ъгли; б) съответни ъгли; в) външни кръстни ъгли; г) вътрешни прилежащи ъгли.

7. Две успоредни прави са пресечени с трета права. Два съответни ъгъла са ${(4x-12)^\circ}$ и ${(2x+40)^\circ}.$ Намерете $x$ и ъглите.

Отговор

${4x-12=2x+40},$ откъдето ${x=26}.$ Всеки от ъглите е ${4\cdot26-12=92}$ градуса.

8. Две успоредни прави са пресечени с трета права. Единият от два вътрешни прилежащи ъгъла е с $40^\circ$ по-голям от другия. Намерете ъглите.

Отговор

${x+(x+40^\circ)=180^\circ},$ откъдето ${x=70^\circ}.$ Ъглите са $70^\circ$ и $110^\circ.$

9. Успоредни ли са две прави, ако при пресичането им с трета права се получават а) вътрешни кръстни ъгли $57^\circ$ и $123^\circ;$ б) вътрешни прилежащи ъгли $57^\circ$ и $123^\circ?$

Отговор

а) Не: ако правите бяха успоредни, вътрешните кръстни ъгли щяха да са равни.

б) Да: ${57^\circ+123^\circ=180^\circ}.$

10. Чертежът е като този от пример 9, но с други числа: правите $a$ и $b$ са успоредни, ъгълът при $A$ е $28^\circ,$ а ъгълът $x$ при $K$ е $75^\circ.$ Намерете ъгъла при $B.$

Отговор

Както в пример 9, ъгълът при $K$ е сбор от ъглите при $A$ и при $B,$ следователно ъгълът при $B$ е ${75^\circ-28^\circ=47^\circ}.$

11. Една права пресича две успоредни прави и е перпендикулярна на едната от тях. Докажете, че тя е перпендикулярна и на другата.

Отговор

При едната от успоредните прави пресичащата права образува ъгъл $90^\circ.$ Съответният му ъгъл при другата права е равен на него, тоест също е $90^\circ.$ Следователно пресичащата права е перпендикулярна и на другата права.

12. Две успоредни прави са пресечени с трета права и един от осемте ъгъла е три пъти по-голям от друг. Намерете и осемте ъгъла.

Отговор

Двата ъгъла не са равни, следователно единият е остър, а другият е тъп и сборът им е $180^\circ.$ От ${x+3x=180^\circ}$ получаваме ${x=45^\circ}.$ Четири от ъглите са по $45^\circ,$ а останалите четири са по $135^\circ.$

Вижте също: Класификация на ъгли · Градуси и радиани · Триъгълници · Успоредник