Видове триъгълници

Триъгълниците се разделят на видове по два начина: според страните и според ъглите. Пълното наименование на триъгълника отчита и страните, и ъглите, например „правоъгълен равнобедрен триъгълник“ или „тъпоъгълен разностранен триъгълник“.

На чертежите равните страни се отбелязват с еднакъв брой чертички, а равните ъгли – с еднакъв брой дъги. С малко квадратче се отбелязва прав ъгъл.

В триъгълника $ABC$ знаците показват, че ${AC=BC}$ и ${\sphericalangle A=\sphericalangle B}.$ В триъгълника $DEF$ ъгълът при върха $D$ е прав.

На тази страница: Според страните · Според ъглите · Възможни комбинации · Видът по дължините на страните · Примери · Чести грешки · Задачи за упражнение

Видове триъгълници според страните

• Разностранен триъгълник – трите страни са с различни дължини. Тогава и трите му ъгъла са различни.
• Равнобедрен триъгълник – две от страните са равни. Равните страни са бедрата, а третата страна е основата. Ъглите, прилежащи на основата (ъглите при основата), са равни.
• Равностранен триъгълник – трите страни са равни. Тогава и трите ъгъла са равни, всеки от тях е ${60^\circ}.$

Равностранният триъгълник е частен случай на равнобедрения: той има две равни страни, а и третата му страна е равна на тях. Затова всичко, което е вярно за всеки равнобедрен триъгълник, е вярно и за равностранния.

Видове триъгълници според ъглите

• Остроъгълен триъгълник – трите ъгъла са остри (по-малки от ${90^\circ}$).
• Правоъгълен триъгълник – един от ъглите е прав (${90^\circ}$). Страната срещу него е хипотенузата, а другите две страни са катетите.
• Тъпоъгълен триъгълник – един от ъглите е тъп (по-голям от ${90^\circ}$).

Всеки триъгълник има поне два остри ъгъла, защото сборът от трите му ъгъла е ${180^\circ}.$ Правоъгълният и тъпоъгълният триъгълник също имат по два остри ъгъла, но това не ги прави остроъгълни. Гледаме най-големия ъгъл. Ако той е остър, триъгълникът е остроъгълен; ако е прав – правоъгълен; ако е тъп – тъпоъгълен.

Кои комбинации са възможни?

Нека отнасяме всеки триъгълник само към най-частния му вид според страните, така че равностранният да не се брои отново като равнобедрен. Тогава всеки триъгълник има един вид според страните и един вид според ъглите, а от деветте комбинации съществуват седем. В таблицата е даден пример за ъглите при всяка от тях.

	Остроъгълен	Правоъгълен	Тъпоъгълен
Разностранен	${50^\circ},$ ${60^\circ},$ ${70^\circ}$	${30^\circ},$ ${60^\circ},$ ${90^\circ}$	${20^\circ},$ ${40^\circ},$ ${120^\circ}$
Равнобедрен	${70^\circ},$ ${70^\circ},$ ${40^\circ}$	${45^\circ},$ ${45^\circ},$ ${90^\circ}$	${30^\circ},$ ${30^\circ},$ ${120^\circ}$
Равностранен	${60^\circ},$ ${60^\circ},$ ${60^\circ}$	—	—

Тирето означава, че комбинацията е невъзможна. Равностранният триъгълник винаги е остроъгълен, защото всичките му ъгли са ${60^\circ}.$ В правоъгълен или тъпоъгълен равнобедрен триъгълник правият или тъпият ъгъл трябва да е ъгълът при върха: два ъгъла при основата от ${90^\circ}$ или повече биха дали поне ${180^\circ}.$

Как се определя видът по дължините на страните

Според страните е лесно: броим равните страни. Според ъглите означаваме най-голямата страна с $c$ (която и страна да е тя), другите две – с $a$ и $b,$ и сравняваме ${c^2}$ с ${a^2+b^2}.$

Защо е така? По косинусовата теорема ${c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma},$ където $\gamma$ е ъгълът срещу най-голямата страна, т.е. най-големият ъгъл. Числото ${\cos\gamma}$ е съответно положително, равно на нула или отрицателно точно когато $\gamma$ е остър, прав или тъп ъгъл.

Преди да определим вида, проверяваме дали триъгълникът изобщо съществува: най-голямата страна трябва да е по-малка от сбора на другите две.

• Страни $5,$ $6$ и $7.$ Тъй като ${7^2=49\lt 5^2+6^2=61},$ триъгълникът е остроъгълен; страните са различни, значи това е остроъгълен разностранен триъгълник.
• Страни $6,$ $8$ и $10.$ Тъй като ${10^2=100=6^2+8^2},$ това е правоъгълен разностранен триъгълник.
• Страни $5,$ $5$ и $8.$ Тъй като ${8^2=64\gt 5^2+5^2=50},$ това е тъпоъгълен равнобедрен триъгълник.

Примери

Пример 1. Определете вида на триъгълника според страните и според ъглите.

Решение. Знаците показват две равни страни, ${AB=BC},$ затова според страните триъгълникът е равнобедрен. Квадратчето при $B$ отбелязва прав ъгъл, затова според ъглите триъгълникът е правоъгълен. Това е правоъгълен равнобедрен триъгълник. Острите му ъгли са равни: ${\sphericalangle A=\sphericalangle C=45^\circ}.$

Пример 2. В триъгълника $ABC$ ъгълът при $A$ е ${40^\circ},$ а ъгълът при $B$ е ${110^\circ}.$ Определете вида на триъгълника.

Решение. Третият ъгъл е ${180^\circ-40^\circ-110^\circ=30^\circ}.$ Трите ъгъла са различни, затова и трите страни са различни: триъгълникът е разностранен. Ъгълът при $B$ е по-голям от ${90^\circ},$ затова триъгълникът е тъпоъгълен. Това е тъпоъгълен разностранен триъгълник.

Пример 3. Два от ъглите на триъгълник са ${35^\circ}$ и ${55^\circ}.$ Определете вида му.

Решение. Третият ъгъл е ${180^\circ-35^\circ-55^\circ=90^\circ}.$ Трите ъгъла са различни, затова това е правоъгълен разностранен триъгълник.

Пример 4. Ъглите на триъгълник се отнасят както ${2:3:4}.$ Определете вида му.

Решение. ${2k+3k+4k=180^\circ},$ затова ${k=20^\circ},$ а ъглите са ${40^\circ},$ ${60^\circ}$ и ${80^\circ}.$ Всички са остри и различни: остроъгълен разностранен триъгълник.

Пример 5. Определете вида на триъгълника със страни 8 см, 8 см и 13 см.

Решение. Триъгълникът съществува, защото ${13\lt 8+8}.$ Две от страните са равни, значи е равнобедрен. Най-голямата страна е 13 и ${13^2}={169}\gt{8^2+8^2}={128},$ затова ъгълът срещу нея е тъп. Това е тъпоъгълен равнобедрен триъгълник.

Чести грешки

Грешка	Грешно	Вярно
Видът е определен по остър ъгъл	Ъглите са ${30^\circ},$ ${60^\circ},$ ${90^\circ}.$ Има остри ъгли, значи триъгълникът е остроъгълен	Най-големият ъгъл е ${90^\circ},$ значи триъгълникът е правоъгълен
Убеждението, че правоъгълен триъгълник не може да е равнобедрен	Правоъгълният триъгълник винаги има три различни страни	Ъглите ${45^\circ},$ ${45^\circ},$ ${90^\circ}$ дават правоъгълен равнобедрен триъгълник
Сравнен е квадратът на страна, която не е най-голямата	Страни 5, 12, 13. Тъй като ${5^2\lt 12^2+13^2},$ триъгълникът е остроъгълен	Взема се най-голямата страна: ${13^2=5^2+12^2},$ значи триъгълникът е правоъгълен
Не е проверено дали триъгълникът съществува	Страни 2, 3, 6. Тъй като ${6^2\gt 2^2+3^2},$ триъгълникът е тъпоъгълен	${6\gt 2+3},$ значи такъв триъгълник няма
Тъп ъгъл при основата	Равнобедрен триъгълник с ъгли при основата ${100^\circ}$	Невъзможно: в равнобедрен триъгълник тъп може да е само ъгълът при върха

Задачи за упражнение

Определете вида на всеки триъгълник според страните и според ъглите, след това отворете отговора.

1. Ъглите са ${30^\circ},$ ${60^\circ}$ и ${90^\circ}.$

Правоъгълен разностранен триъгълник.

2. Два от ъглите са ${50^\circ}$ и ${65^\circ}.$

Третият ъгъл е ${65^\circ}.$ Два ъгъла са равни, значи и две страни са равни: остроъгълен равнобедрен триъгълник.

3. Страните са 9, 12 и 15.

${15^2=225=9^2+12^2},$ значи е правоъгълен разностранен триъгълник.

4. Страните са 5, 5 и 8.

${8^2=64\gt 5^2+5^2=50},$ значи е тъпоъгълен равнобедрен триъгълник.

5. Страните са 6, 7 и 8.

${8^2=64\lt 6^2+7^2=85},$ значи е остроъгълен разностранен триъгълник.

6. Страните са 7, 7 и 7.

Равностранен триъгълник; ъглите му са ${60^\circ},$ значи е остроъгълен.

7. Страните са 2, 3 и 6.

Такъв триъгълник няма, защото ${6\gt 2+3}.$

8. Може ли правоъгълен триъгълник да е равностранен?

Не. Всички ъгли на равностранния триъгълник са ${60^\circ},$ така че никой от тях не е прав.

9. Един от ъглите на равнобедрен триъгълник е ${100^\circ}.$ Намерете другите ъгли и определете вида на триъгълника.

${100^\circ}$ трябва да е ъгълът при върха, затова ъглите при основата са по ${40^\circ}.$ Това е тъпоъгълен равнобедрен триъгълник.

10. Ъглите се отнасят както ${1:1:2}.$

${k+k+2k=180^\circ},$ затова ъглите са ${45^\circ},$ ${45^\circ}$ и ${90^\circ}:$ правоъгълен равнобедрен триъгълник.

Още за триъгълниците: Триъгълници · Височина · Медиана · Еднаквост