Еднаквост на триъгълници

Два триъгълника са еднакви, ако единият от тях може да бъде преместен (плъзнат, завъртян или обърнат) така, че да покрие точно другия.

Еднаквите триъгълници имат една и съща форма и една и съща големина; различно може да е само положението им. Когато единият покрие другия, всеки връх попада върху връх, всяка страна – върху страна и всеки ъгъл – върху ъгъл. Това са съответните върхове, страни и ъгли, а съответните страни и ъгли са равни.

Пишем ${\triangle ABC\cong\triangle DEF}$ и четем „триъгълник $ABC$ е еднакъв с триъгълник $DEF$“. Редът на буквите е важен: той показва кои върхове си съответстват – $A$ на $D,$ $B$ на $E$ и $C$ на $F.$ Така краткият запис съдържа шест равенства:

В доказателствата това се използва като правилото „в еднакви триъгълници съответните елементи са равни“.

На тази страница: Признаци за еднаквост · I признак · II признак · III признак · IV признак · Правоъгълни триъгълници · Как се записва доказателство · Чести грешки · Задачи за упражнение

Признаци за еднаквост на триъгълници

За да докажем, че два триъгълника са еднакви, не е нужно да проверяваме и шестте равенства: стигат три подходящо избрани. Правилата, които казват кои три стигат, са признаците за еднаквост. На чертежите дадените равни елементи са в червено.

Първи признак (страна, ъгъл, страна)

Ако две страни и ъгълът между тях от един триъгълник са съответно равни на две страни и ъгъла между тях от друг триъгълник, то триъгълниците са еднакви.

Ако ${AB=A_1B_1},$ ${AC=A_1C_1}$ и ${\sphericalangle A=\sphericalangle A_1},$ то ${\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1}.$ Ъгълът трябва да е заключен между двете страни. Решени задачи: Задачи върху първи признак.

Втори признак (ъгъл, страна, ъгъл)

Ако страна и двата прилежащи към нея ъгъла от един триъгълник са съответно равни на страна и двата прилежащи към нея ъгъла от друг триъгълник, то триъгълниците са еднакви.

Ако ${AB=A_1B_1},$ ${\sphericalangle A=\sphericalangle A_1}$ и ${\sphericalangle B=\sphericalangle B_1},$ то ${\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1}.$

Следствие (два ъгъла и страна срещу единия от тях)

Ако два ъгъла и страна, която не е между тях, от един триъгълник са съответно равни на два ъгъла и съответната страна от друг триъгълник, то триъгълниците са еднакви.

Това следва от втория признак. Когато два ъгъла са равни, равни са и третите ъгли, защото всеки от тях е ${180^\circ}$ минус другите два. На чертежа ${\sphericalangle C=\sphericalangle C_1},$ така че страната $BC$ с ъглите $B$ и $C$ при нея дава втория признак. Важно е страните да са съответни: равните страни трябва да лежат срещу равни ъгли.

Трети признак (страна, страна, страна)

Ако трите страни на един триъгълник са съответно равни на трите страни на друг триъгълник, то триъгълниците са еднакви.

Значи трите страни определят триъгълника напълно. Затова конструкция от три пръчки е твърда, а конструкция от четири пръчки може да се изкриви. По тази причина мостовете, покривите и крановете се строят от триъгълници. Решени задачи: Задачи върху втори и трети признак.

Четвърти признак (две страни и ъгъл срещу по-голямата от тях)

Две страни и ъгъл, който не е между тях, в общия случай не стигат.

На чертежа триъгълниците $ABC$ и $ABC'$ имат обща страна $AB,$ общ ъгъл при $A$ и ${BC=BC'}.$ Въпреки това те не са еднакви: окръжността с център $B$ и радиус $BC$ пресича лъча от $A$ в две точки.

Ако две страни и ъгълът срещу по-голямата от тях от един триъгълник са съответно равни на две страни и ъгъла срещу по-голямата от тях от друг триъгълник, то триъгълниците са еднакви. Признакът важи и когато двете страни са равни.

На чертежа ъгълът при $A$ лежи срещу по-малката страна, ${BC\lt AB}.$ Ако $BC$ беше поне колкото $AB,$ окръжността щеше да пресече лъча от $A$ само в една точка и триъгълникът щеше да е определен.

Еднаквост на правоъгълни триъгълници

В правоъгълните триъгълници правите ъгли вече са равни, затова стигат още две двойки равни елементи:

• двата катета (първи признак);
• катет и остър ъгъл (втори признак или следствието);
• хипотенузата и остър ъгъл (следствието);
• хипотенузата и катет (четвърти признак, защото правият ъгъл лежи срещу хипотенузата – най-голямата страна).

Какво не стига

• Три двойки равни ъгли. Триъгълници с равни ъгли имат една и съща форма, но може да са с различна големина. Те са подобни, но не непременно еднакви.
• Две страни и ъгъл срещу по-малката от тях – както на чертежа по-горе.
• Само две двойки равни елементи. Например при две равни страни ъгълът между тях може да е всякакъв.

Как се записва доказателство за еднаквост

1. Назоваваме двата триъгълника, като записваме съответните върхове в един и същ ред.
2. Изброяваме три двойки равни елементи и обосноваваме всяка: по условие, обща страна, връхни ъгли, свойство на фигурата и т.н.
3. Посочваме признака и проверяваме дали елементите са на правилните места, например дали при първия признак ъгълът е между страните.
4. Записваме извода ${\triangle\ldots\cong\triangle\ldots}$ и след това използваме съответните елементи.

Пример 1. Отсечките $AB$ и $CD$ се пресичат в точка $O$ и се разполовяват от нея. Докажете, че ${AC=BD}.$

Решение. Разглеждаме триъгълниците $AOC$ и $BOD.$

1. ${AO=BO},$ защото $O$ е средата на $AB.$
2. ${\sphericalangle AOC=\sphericalangle BOD}$ като връхни ъгли.
3. ${CO=DO},$ защото $O$ е средата на $CD.$

Ъгълът при $O$ е между двете страни, затова по първи признак ${\triangle AOC\cong\triangle BOD}.$ Страните $AC$ и $BD$ са съответни, затова ${AC=BD}.$

Пример 2. За триъгълниците $ABC$ и $DEF$ е известно, че ${AB=DE=5},$ ${BC=EF=7}$ и ${\sphericalangle B=\sphericalangle E=40^\circ}.$ Еднакви ли са триъгълниците? Кой ъгъл на $DEF$ е равен на ъгъла $C?$

Решение. Ъгълът $B$ е между страните $AB$ и $BC,$ а ъгълът $E$ – между $DE$ и $EF.$ По първи признак ${\triangle ABC\cong\triangle DEF},$ а на ъгъла $C$ съответства ъгълът $F,$ затова ${\sphericalangle C=\sphericalangle F}.$

Пример 3. За триъгълниците $ABC$ и $DEF$ е известно, че ${\sphericalangle A=\sphericalangle D=50^\circ},$ ${\sphericalangle B=\sphericalangle E=60^\circ}$ и ${BC=DF}.$ Еднакви ли са триъгълниците?

Решение. Не. Страната $BC$ лежи срещу ъгъла от ${50^\circ},$ а $DF$ лежи срещу ъгъла $E$ от ${60^\circ},$ така че тези страни не са съответни. На $BC$ съответства страната $EF.$ Триъгълниците имат равни ъгли, значи са подобни. Но ${BC=DF\gt EF},$ защото в триъгълника $DEF$ страната $DF$ лежи срещу по-големия ъгъл. Значи триъгълникът $ABC$ е по-голям от $DEF$ и те не са еднакви.

Чести грешки

Задачи за упражнение

Решете ги сами, след това отворете отговора.

Решени задачи по признаците: първи признак и втори и трети признак. Въпроси можете да зададете във форума за триъгълници.

Още за триъгълниците: Триъгълници · Видове · Височина · Медиана · Подобни триъгълници