Граници и непрекъснатост на тригонометричните функции

В този урок ще докажем, че синусът и косинусът са непрекъснати функции, ще намерим къде са непрекъснати останалите тригонометрични функции и ще пресметнем две граници, които се използват постоянно в математическия анализ:

${\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1}$   и   ${\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}=0}.$

Определението за непрекъснатост и свойствата на непрекъснатите функции са обяснени в предишния урок „Свойства на непрекъснатите функции“.

На тази страница: Синус и косинус · Другите тригонометрични функции · Теорема за двамата полицаи · Границата на sin x / x · Границата на (1 − cos x) / x · Използване на двете граници · Чести грешки · Задачи

Непрекъснатост на синуса и косинуса

За остър ъгъл $\theta$ в правоъгълен триъгълник синусът и косинусът са отношения на страни:

${\sin\theta}={\frac{\text{срещулежащ катет}}{\text{хипотенуза}}},$   ${\cos\theta=\frac{\text{прилежащ катет}}{\text{хипотенуза}}}.$

За ъгли с произволна големина използваме единичната окръжност ${x^2+y^2=1}.$ Оттук нататък ъглите се измерват в радиани и пишем $x$ вместо $\theta.$ Ако лъчът от началото на координатната система, който сключва ъгъл $x$ с положителната посока на оста $x$ (обратно на часовниковата стрелка, а при отрицателно $x$ — по часовниковата стрелка), пресича окръжността в точката $P,$ то $P$ има координати ${(\cos x;\ \sin x)}.$

Ето графиките на ${f(x)=\sin x}$ и ${g(x)=\cos x}.$ Нито една от двете графики няма прекъсване.

Границите в 0. Когато $x$ клони към $0,$ точката ${P(\cos x;\ \sin x)}$ се движи по окръжността към точката $B(1;\ 0),$ затова координатите ѝ клонят към координатите на $B\text{:}$

${\lim_{x\to0}\sin x=0},$   ${\lim_{x\to0}\cos x=1}.$

Това са точно стойностите в $0\text{:}$ ${\sin0=0}$ и ${\cos0=1}.$ Да си припомним определението за непрекъснатост:

Според това определение синусът и косинусът са непрекъснати в $0.$

Теорема. Функциите ${\sin x}$ и ${\cos x}$ са непрекъснати във всяка точка на числовата ос.

Доказателство. Нека $c$ е произволно реално число. Полагаме ${h=x-c},$ т.е. ${x=c+h}.$ Тогава ${x\to c}$ означава същото като ${h\to0},$ а непрекъснатостта на $f$ в $c$ означава, че

${\lim_{h\to0}f(c+h)=f(c)}.$

Функцията ${\sin x}$ е дефинирана навсякъде. От формулата за синус от сбор, свойствата на границите и границите в $0$ получаваме

${\lim_{h\to0}\sin(c+h)}={\lim_{h\to0}(\sin c\cos h+\cos c\sin h)}$

$={\sin c\cdot\lim_{h\to0}\cos h}+{\cos c\cdot\lim_{h\to0}\sin h}={\sin c\cdot1+\cos c\cdot0}={{\sin c}.}$

По същия начин от формулата ${\cos(c+h)}={\cos c\cos h-\sin c\sin h}$ получаваме

${\lim_{h\to0}\cos(c+h)}={\cos c\cdot1-\sin c\cdot0}={{\cos c}.}$

Непрекъснатост на другите тригонометрични функции

Другите тригонометрични функции се изразяват чрез синуса и косинуса като частни:

${\operatorname{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}},$   ${\operatorname{cotg}x=\frac{\cos x}{\sin x}},$   ${\sec x=\frac{1}{\cos x}},$   ${\operatorname{cosec}x=\frac{1}{\sin x}}.$

Частното на две непрекъснати функции е непрекъснато във всяка точка, в която знаменателят не е $0.$ Косинусът е $0$ при ${x=\frac{\pi}{2}+k\pi},$ т.е. при ${x=\pm\frac{\pi}{2}},$ ${\pm\frac{3\pi}{2}},$ ${\pm\frac{5\pi}{2}},$ …, а синусът е $0$ при ${x=k\pi}$ ($k$ е цяло число). Следователно:

Функция	Непрекъсната при всяко $x$ освен
${\operatorname{tg}x},$ ${\sec x}$	${x=\frac{\pi}{2}+k\pi}$
${\operatorname{cotg}x},$ ${\operatorname{cosec}x}$	${x=k\pi}$

В тези точки функциите не са дефинирани, а графиките им имат вертикални асимптоти. Например ${\lim_{x\to\frac{\pi}{2}-0}\operatorname{tg}x=+\infty}$ и ${\lim_{x\to\frac{\pi}{2}+0}\operatorname{tg}x=-\infty}.$

Във всяка точка, в която една тригонометрична функция е непрекъсната, границата ѝ се намира чрез заместване.

Пример 1. Намерете границите:

${\lim_{x\to\pi/4}\operatorname{tg}x}={\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}}={1},$   ${\lim_{x\to\pi}x\cos x}={\pi\cos\pi}={-\pi},$   ${\lim_{x\to0}\cos(x^2+x)}={\cos0}={1}.$

При последната граница използваме теоремата за съставните функции: ${\cos(x^2+x)}$ е непрекъснатата функция косинус, приложена към непрекъснатата функция ${x^2+x}.$

Пресмятане на граници чрез притискане

Да разгледаме сега границите ${\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}}$ и ${\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}}.$ Тук заместването не помага: при ${x=0}$ и двете дроби стават ${\frac{0}{0}}.$ Когато $x$ клони към $0,$ числителят клони към $0$ и „тегли“ дробта към $0,$ а знаменателят също клони към $0,$ което прави дробта голяма. Кое от двете надделява? Няма алгебричен начин да съкратим общ множител, както правехме при дробно-рационалните функции. Графиките подсказват отговорите $1$ и $0\text{:}$

За да докажем такива граници, използваме следната теорема.

Теорема за двамата полицаи. Нека функциите $f,$ $g$ и $h$ удовлетворяват неравенствата ${g(x)\le f(x)\le h(x)}$ за всяко $x$ от някакъв отворен интервал, който съдържа точката $c,$ с изключение евентуално на самата точка $c.$ Ако ${\lim_{x\to c}g(x)}={\lim_{x\to c}h(x)}={L},$ то и ${\lim_{x\to c}f(x)=L}.$

Функцията $f$ е притисната между $g$ и $h$ като между двама полицаи, а те двамата клонят към едно и също число $L,$ затова $f$ няма къде другаде да отиде: тя също клони към $L.$

Пример 2. Като използвате теоремата за двамата полицаи, намерете ${\lim_{x\to0}x^2\sin^2\frac{1}{x}}.$

Не можем да използваме свойството за граница на произведение, защото ${\lim_{x\to0}\sin^2\frac{1}{x}}$ не съществува (функцията се колебае между $0$ и $1$). Но за всяко ${x\ne0}$ имаме ${-1\le\sin\frac{1}{x}\le1},$ следователно ${0\le\sin^2\frac{1}{x}\le1}.$ Като умножим по ${x^2\ge0},$ получаваме

${0}\le{x^2\sin^2\frac{1}{x}}\le{x^2}.$

Тъй като ${\lim_{x\to0}0=\lim_{x\to0}x^2=0},$ от теоремата за двамата полицаи следва, че ${\lim_{x\to0}x^2\sin^2\frac{1}{x}=0}.$

Със същата идея можем строго да обосновем и границите на синуса и косинуса в $0\text{:}$ отсечката от $P$ до оста $x,$ която има дължина ${|\sin x|},$ е по-къса от дъгата $BP$ с дължина $|x|,$ затова ${-|x|\le\sin x\le|x|}$ и от теоремата за двамата полицаи следва, че ${\lim_{x\to0}\sin x=0}.$

Границата на sin x / x

В доказателството се използва лицето на кръгов сектор. Секторът с ъгъл $\theta$ (в радиани) е частта ${\frac{\theta}{2\pi}}$ от целия кръг, чието лице е ${\pi r^2},$ затова лицето на сектора е

${A}={\frac{\theta}{2\pi}\cdot\pi r^2}={\frac{1}{2}r^2\theta}.$

Теорема (първа забележителна граница). ${\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1}.$

Доказателство. Нека първо ${0\lt x\lt\frac{\pi}{2}}.$ В единичната окръжност вземаме точките $O(0;\ 0),$ $B(1;\ 0),$ ${P(\cos x;\ \sin x)}$ и ${Q(1;\ \operatorname{tg}x)}$ — точката, в която лъчът $OP$ пресича вертикалната права през $B$ (тази права е допирателна към окръжността в точката $B;$ в правоъгълния триъгълник $OBQ$ имаме ${BQ=OB\cdot\operatorname{tg}x=\operatorname{tg}x}$). Триъгълникът $OBP$ се съдържа в сектора $OBP,$ а секторът се съдържа в триъгълника $OBQ\text{:}$

Лицата им са (основата е ${OB=1},$ а височините на триъгълниците са $\sin x$ и ${BQ=\operatorname{tg}x}$):

${A_{\triangle OBP}}={\frac{1}{2}\cdot1\cdot\sin x}={\frac{1}{2}\sin x},$   ${A_{\text{сектор}}}={\frac{1}{2}\cdot1^2\cdot x}={\frac{1}{2}x},$   ${A_{\triangle OBQ}}={\frac{1}{2}\cdot1\cdot\operatorname{tg}x}={\frac{1}{2}\operatorname{tg}x},$

следователно

${0}\lt{\frac{1}{2}\sin x}\lt{\frac{1}{2}x}\lt{\frac{1}{2}\operatorname{tg}x}.$

Като разделим на положителното число ${\frac{1}{2}\sin x},$ получаваме ${1\lt\frac{x}{\sin x}\lt\frac{1}{\cos x}},$ а като преминем към реципрочните стойности (при което посоката на неравенствата се сменя), стигаме до

${\cos x}\lt{\frac{\sin x}{x}}\lt{1}.$

Ако ${-\frac{\pi}{2}\lt x\lt0},$ то ${0\lt-x\lt\frac{\pi}{2}}$ и доказаното неравенство е вярно за $-x\text{:}$ ${\cos(-x)\lt\frac{\sin(-x)}{-x}\lt1}.$ Тъй като ${\cos(-x)=\cos x}$ и ${\frac{\sin(-x)}{-x}}={\frac{-\sin x}{-x}}={\frac{\sin x}{x}},$ отново получаваме ${\cos x\lt\frac{\sin x}{x}\lt1}.$ Следователно неравенството е изпълнено за всяко $x,$ за което ${0\lt|x|\lt\frac{\pi}{2}}.$ Накрая, ${\lim_{x\to0}\cos x=1}$ и ${\lim_{x\to0}1=1},$ затова според теоремата за двамата полицаи

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.$$

Запомнете, че това е вярно, когато $x$ е в радиани: формулата за лицето ${\frac{1}{2}r^2\theta}$ важи само за ъгъл, измерен в радиани.

Границата на (1 − cos x) / x

Теорема. ${\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}=0}.$

Доказателство. Умножаваме числителя и знаменателя по ${1+\cos x}$ и използваме, че ${1-\cos^2x=\sin^2x}\text{:}$

${\frac{1-\cos x}{x}}={\frac{1-\cos^2x}{x(1+\cos x)}}={\frac{\sin^2x}{x(1+\cos x)}}={{\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{\sin x}{1+\cos x}}.}$

Когато ${x\to0},$ първият множител клони към $1,$ а вторият клони към ${\frac{0}{1+1}=0},$ затова границата е ${1\cdot0=0}.$

Използване на двете граници

Пример 3. Намерете ${\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg}x}{x}}.$

${\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg}x}{x}}={\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}\right)}={1\cdot1}={{1}.}$

Пример 4. Намерете ${\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}}.$

Записваме дробта така, че аргументът на синуса да е и в знаменателя, и полагаме ${t=3x}$ (${t\to0},$ когато ${x\to0}$):

${\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}}={\lim_{x\to0}3\cdot\frac{\sin3x}{3x}}={3\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}}={{3}.}$

Пример 5. Намерете ${\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}}.$

Както в доказателството по-горе, умножаваме по ${1+\cos x}\text{:}$

${\frac{1-\cos x}{x^2}}={\frac{\sin^2x}{x^2(1+\cos x)}}={{\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2\cdot\frac{1}{1+\cos x}},}$

а този израз клони към ${1^2\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}}.$

Чести грешки

Грешка	Грешно	Вярно
Стойностите на синуса	${0\le\sin x\le1}$	${-1\le\sin x\le1};$ стойностите на ${\sin^2x}$ са между $0$ и $1$
Свойството за произведение при граница, която не съществува	${\lim_{x\to0}x^2\sin^2\frac{1}{x}}={\lim_{x\to0}x^2\cdot\lim_{x\to0}\sin^2\frac{1}{x}}$	${\lim_{x\to0}\sin^2\frac{1}{x}}$ не съществува; използвайте теоремата за двамата полицаи
Забравен множител	${\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=1}$	${\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=3\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{3x}=3}$
Градуси вместо радиани	${\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1}$ за $x$ в градуси	В градуси границата е ${\frac{\pi}{180}};$ стойността $1$ се получава само при радиани
„Тангенсът е непрекъснат навсякъде“	${\operatorname{tg}x}$ е непрекъсната функция, следователно ${\lim_{x\to\pi/2}\operatorname{tg}x=\operatorname{tg}\frac{\pi}{2}}$	${\operatorname{tg}\frac{\pi}{2}}$ не е дефиниран; едностранните граници са $+\infty$ и $-\infty$

Задачи за упражнение

1. Намерете ${\lim_{x\to\pi/6}(\sin x+\cos2x)}.$

Отговор

И двете функции са непрекъснати: ${\sin\frac{\pi}{6}+\cos\frac{\pi}{3}}={\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}={1}.$

2. Къде е непрекъсната функцията ${f(x)=\frac{\operatorname{tg}x}{x}}?$

Отговор

При всяко $x$ освен ${x=0}$ (знаменателят е $0$) и ${x=\frac{\pi}{2}+k\pi}$ (тангенсът не е дефиниран). Прекъсването в $0$ е отстранимо: границата там е $1$ (пример 3).

3. Намерете ${\lim_{x\to0}\frac{\sin5x}{x}}.$

Отговор

${5\lim_{x\to0}\frac{\sin5x}{5x}=5}.$

4. Намерете ${\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg}2x}{x}}.$

Отговор

${\frac{\operatorname{tg}2x}{x}}={{2\cdot\frac{\sin2x}{2x}\cdot\frac{1}{\cos2x}},}$ а този израз клони към ${2\cdot1\cdot1=2}.$

5. Намерете ${\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{\sin3x}}.$

Отговор

${\frac{\sin2x}{\sin3x}}={\frac{\sin2x}{2x}\cdot\frac{3x}{\sin3x}\cdot\frac{2}{3}},$ а този израз клони към ${1\cdot1\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{3}}.$

6. Намерете ${\lim_{x\to0}\frac{1-\cos2x}{x^2}}.$

Отговор

${1-\cos2x=2\sin^2x},$ затова дробта е равна на ${2\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2}$ и клони към $2.$

7. Като използвате теоремата за двамата полицаи, намерете ${\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}}.$

Отговор

${\left|x\sin\frac{1}{x}\right|\le|x|},$ затова ${-|x|\le x\sin\frac{1}{x}\le|x|}.$ И ${-|x|},$ и $|x|$ клонят към $0,$ следователно границата е $0.$

8. Намерете ${\lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x}}.$

Отговор

При ${x\gt0}$ имаме ${-\frac{1}{x}\le\frac{\sin x}{x}\le\frac{1}{x}},$ а и двата крайни израза клонят към $0.$ Според теоремата за двамата полицаи (която е вярна и при ${x\to+\infty}$) границата е $0.$

Предишен урок: „Свойства на непрекъснатите функции“. Вижте също „Граници (интуитивно въведение)“, където за първи път отгатнахме ${\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1}$ по таблица.