Свойства на непрекъснатите функции

Интуитивно една функция е непрекъсната, ако графиката ѝ може да се начертае, без да вдигаме молива от листа: без „пробити“ точки, без скокове, без прекъсвания. В този урок ще превърнем тази представа в точно определение, което използва граници (вижте урока „Граници и методи за пресмятане“), и ще научим кои функции са непрекъснати и за какво ни е нужна непрекъснатостта.

На тази страница: Непрекъснатост в точка · Видове прекъсвания · В интервал · Многочлени и рационални функции · Съставни функции · Едностранна непрекъснатост · Теорема за междинните стойности · Чести грешки · Задачи

Непрекъснатост в точка

Дали една функция е непрекъсната в точката $c,$ лесно се вижда от графиката ѝ. Ето четири типични начина, по които графиката може да се прекъсне при ${x=c}\text{:}$

• На първия чертеж $f$ не е дефинирана в $c\text{:}$ графиката има „пробита“ точка.

• На втория чертеж лявата и дясната граница са различни, затова ${\lim_{x\to c}f(x)}$ не съществува: графиката прави скок.

• На третия чертеж стойността $f(c)$ е дефинирана, но стойностите $f(x)$ растат неограничено близо до $c\text{:}$ границата не съществува (тя е безкрайна).

• На четвъртия чертеж границата съществува и стойността $f(c)$ е дефинирана, но двете числа са различни.

Една функция е непрекъсната в $c,$ когато не се случва нищо от изброеното:

Ако поне едно от условията не е изпълнено, $f$ е прекъсната в $c,$ а $c$ се нарича точка на прекъсване на $f.$ Накратко: $f$ е непрекъсната в $c,$ ако границата в $c$ може да се намери просто чрез заместване ${x=c}.$

Пример 1. Функцията ${f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}}$ е прекъсната при ${x=2},$ защото стойността $f(2)$ не е дефинирана (не е изпълнено условие 1). Сега да дефинираме нова функция, като „запълним“ пробитата точка със стойността $3\text{:}$

$$g(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-4}{x-2}, & \text{при } x\ne2,\\ 3, & \text{при } x=2.\end{cases}$$

Вече стойността ${g(2)=3}$ е дефинирана и

${\lim_{x\to2}g(x)}={\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}}={\lim_{x\to2}(x+2)}={{4}.}$

Границата съществува, но ${\lim_{x\to2}g(x)\ne g(2)},$ затова $g$ все още е прекъсната в точката $2$ (не е изпълнено условие 3). Ако бяхме избрали ${g(2)=4},$ функцията щеше да е непрекъсната в точката $2.$

Видове прекъсвания

Вид	Какво става в $c$	Пример
отстра­нимо	границата съществува, но $f(c)$ не е дефинирана или е различна от нея	${\frac{x^2-4}{x-2}}$ при ${x=2}$
скок	двете едно­странни граници съществуват, но са различни	${\frac{|x|}{x}}$ при ${x=0}$
безкрай­но	поне една от едно­странните граници е $+\infty$ или $-\infty$	${\frac{1}{x^2}}$ при ${x=0}$

Отстранимото прекъсване може да се „поправи“, като дефинираме или предефинираме една стойност на функцията, както в пример 1. Скокът и безкрайното прекъсване не могат да се поправят така. Отстранимите прекъсвания и скоковете заедно се наричат прекъсвания от първи род.

Не всяко прекъсване е от някой от тези три вида. Например функцията ${\sin\frac{1}{x}}$ се колебае между $-1$ и $1$ безброй много пъти близо до $0,$ затова в $0$ не съществува нито една от двете едностранни граници (вижте следващия урок).

Непрекъснатост в интервал

Една функция е непрекъсната в отворения интервал $(a;\ b),$ ако е непрекъсната във всяка точка от $(a;\ b).$ Функция, която е непрекъсната във всяка точка на числовата ос, т.е. в ${(-\infty;\ +\infty)},$ се нарича непрекъсната навсякъде или просто непрекъсната функция.

Непрекъснатост на многочлените и на дробно-рационалните функции

Пример 2. Нека ${f(x)=x^2-2x+1}$ и $c$ е произволно реално число. Според свойствата на границите

${\lim_{x\to c}f(x)}={\lim_{x\to c}(x^2-2x+1)}={c^2-2c+1}={{f(c)}.}$

Следователно $f$ е непрекъсната във всяка точка $c,$ т.е. тя е непрекъсната функция. Същото разсъждение важи за всеки многочлен:

Теорема. Многочлените са непрекъснати функции: ако $p$ е многочлен и $c$ е произволно реално число, то ${\lim_{x\to c}p(x)=p(c)}.$

Пример 3. Докажете, че ${f(x)=|x|}$ е непрекъсната навсякъде.

$$|x|=\begin{cases}x, & \text{при } x\ge0,\\ -x, & \text{при } x\lt0.\end{cases}$$

• Ако ${c\gt0},$ то близо до $c$ стойностите на $x$ също са положителни, затова там ${f(x)=x}$ и ${\lim_{x\to c}|x|}={\lim_{x\to c}x}={c}={{f(c)}.}$

• Ако ${c\lt0},$ то близо до $c$ стойностите на $x$ са отрицателни, затова там ${f(x)=-x}$ и ${\lim_{x\to c}|x|}={\lim_{x\to c}(-x)}={-c}={{f(c)}.}$

• Ако ${c=0},$ разглеждаме двете страни: ${\lim_{x\to+0}|x|}={\lim_{x\to+0}x}={0}$ и ${\lim_{x\to-0}|x|}={\lim_{x\to-0}(-x)}={{0}.}$ Двете едностранни граници са равни на $0,$ затова ${\lim_{x\to0}|x|}={0}={f(0)}.$

И така, $|x|$ е непрекъсната във всяка точка, дори в точката, в която графиката ѝ има чупка.

Непрекъснатостта се запазва при четирите аритметични действия:

Доказателство (за произведението; останалите случаи са аналогични). Тъй като $f$ и $g$ са непрекъснати в $c,$ имаме ${\lim_{x\to c}f(x)=f(c)}$ и ${\lim_{x\to c}g(x)=g(c)}.$ Според свойството за граница на произведение

${\lim_{x\to c}[f(x)\cdot g(x)]}={\lim_{x\to c}f(x)\cdot\lim_{x\to c}g(x)}={{f(c)\cdot g(c)},}$

а това е стойността на ${f\cdot g}$ в $c.$

Дробно-рационалната функция е частно на два многочлена, а многочлените са непрекъснати. Следователно дробно-рационалната функция е непрекъсната във всяка точка, в която знаменателят ѝ не е $0$, и е прекъсната в нулите на знаменателя.

Пример 4. Къде е непрекъсната функцията ${h(x)=\frac{x^2-9}{x^2-5x+6}}?$

Знаменателят е ${x^2-5x+6}={(x-2)(x-3)}$ и е равен на $0$ при ${x=2}$ и при ${x=3}.$ Следователно $h$ е непрекъсната навсякъде освен при ${x=2}$ и ${x=3}.$ Двете прекъсвания са от различен вид. При ${x\ne3}$

${h(x)}={\frac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x-3)}}={{\frac{x+3}{x-2}},}$

затова ${\lim_{x\to3}h(x)=6}\text{:}$ при ${x=3}$ прекъсването е отстранимо („пробита“ точка $(3;\ 6)$). При ${x=2}$ числителят ${x+3}$ клони към $5,$ а знаменателят клони към $0\text{:}$ прекъсването е безкрайно и правата ${x=2}$ е вертикална асимптота.

Непрекъснатост на съставните функции

С думи: знакът за граница може да се внесе в аргумента на непрекъсната функция. Например ${f(x)=|x|}$ и ${g(x)=5-x^2}$ са непрекъснати навсякъде, затова и ${|5-x^2|}$ е непрекъсната навсякъде и

${\lim_{x\to3}|5-x^2|}={\left|\lim_{x\to3}(5-x^2)\right|}={|{-4}|}={{4}.}$

Квадратният корен ${\sqrt{x}}$ е непрекъснат при всяко ${x\gt0}$ (а в $0$ е непрекъснат отдясно, вижте следващия раздел). Затова

${\lim_{x\to3}\sqrt{x^2+7}}={\sqrt{\lim_{x\to3}(x^2+7)}}={\sqrt{16}}={{4}.}$

Едностранна непрекъснатост и непрекъснатост в затворен интервал

Към края на интервала променливата $x$ може да се приближава само от едната страна. Затова там използваме едностранни граници.

Отляво в $c$	Отдясно в $c$
$f(c)$ е дефинирана	$f(c)$ е дефинирана
${\lim_{x\to c-0}f(x)}$ съществува	${\lim_{x\to c+0}f(x)}$ съществува
${\lim_{x\to c-0}f(x)}={f(c)}$	${\lim_{x\to c+0}f(x)}={f(c)}$

Една функция е непрекъсната в $c$ тогава и само тогава, когато е непрекъсната в $c$ и отляво, и отдясно.

На първия чертеж не е изпълнено условие 2, на втория не е изпълнено условие 3, а функцията на третия чертеж е непрекъсната в $[a;\ b].$

Пример 5. Докажете, че ${f(x)=\sqrt{9-x^2}}$ е непрекъсната в $[-3;\ 3].$

Функцията е дефинирана при ${9-x^2\ge0},$ т.е. при ${-3\le x\le3}.$ За всяко $c$ от $(-3;\ 3)$ според теоремата за съставните функции

${\lim_{x\to c}\sqrt{9-x^2}}={\sqrt{\lim_{x\to c}(9-x^2)}}={\sqrt{9-c^2}}={{f(c)},}$

затова $f$ е непрекъсната в $(-3;\ 3).$ В краищата използваме едностранни граници (функцията не е дефинирана вдясно от $3$ и вляво от $-3$). Когато ${x\to3-0}$ или ${x\to-3+0},$ числото ${9-x^2}$ клони към $0,$ като остава положително, затова коренът от него клони към $0\text{:}$

${\lim_{x\to3-0}\sqrt{9-x^2}}={0}={{f(3)},}$   ${\lim_{x\to-3+0}\sqrt{9-x^2}}={0}={{f(-3)}.}$

И така, $f$ е непрекъсната отляво в точката $3$ и отдясно в точката $-3,$ следователно е непрекъсната в $[-3;\ 3].$ Графиката ѝ е горната половина на окръжността ${x^2+y^2=9}.$

Теорема за междинните стойности

Теорема за междинните стойности. Ако $f$ е непрекъсната в затворения интервал $[a;\ b]$ и $k$ е произволно число между $f(a)$ и $f(b)$ (включително), то съществува поне едно число $c$ от $[a;\ b],$ за което ${f(c)=k}.$

Геометрично това означава, че графиката на непрекъсната функция, която минава от височина $f(a)$ до височина $f(b),$ трябва да пресече поне веднъж всяка хоризонтална права ${y=k}$ между тях (на чертежа — три пъти). Непрекъснатостта е съществена: функция със скок може да „прескочи“ някоя стойност. Например функцията ${\frac{|x|}{x}}$ приема стойностите $-1$ и $1$ в $[-1;\ 1],$ но никога не приема стойността $0;$ тя не е непрекъсната в $[-1;\ 1].$

Най-важният частен случай е стойността ${k=0}\text{:}$

Теорема на Болцано (за корените на непрекъснатите функции). Ако $f$ е непрекъсната в $[a;\ b],$ а $f(a)$ и $f(b)$ имат различни знаци, то уравнението ${f(x)=0}$ има поне едно решение в интервала $(a;\ b).$

Пример 6. Докажете, че уравнението ${x^3-x-1=0}$ има решение между $1$ и $2,$ и го намерете приближено.

Лявата страна не се разлага лесно на множители, затова не можем да решим уравнението чрез разлагане. Но ${f(x)=x^3-x-1}$ е многочлен, следователно е непрекъсната функция, и

${f(1)}={1-1-1}={-1}\lt{0},$   ${f(2)=8-2-1=5\gt0}.$

Според теоремата уравнението има решение в $(1;\ 2).$

Можем да намерим решението с каквато искаме точност, като разполовяваме интервала отново и отново (метод на разполовяването). Започваме с $[1;\ 2],$ пресмятаме $f$ в средата на интервала и запазваме онази половина, в която $f$ сменя знака си:

Среда $m$	$f(m)$	Решението е в
1,5	0,875	[1; 1,5]
1,25	−0,297	[1,25; 1,5]
1,375	0,225	[1,25; 1,375]
1,3125	−0,052	[1,3125; 1,375]
1,34375	0,083	[1,3125; 1,34375]

Като продължим, намираме решението ${x\approx1{,}3247}.$ То е единственото решение в $(1;\ 2),$ защото там $f$ е растяща: при ${1\le x_1\lt x_2}$ е изпълнено ${f(x_2)-f(x_1)}={(x_2-x_1)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2-1)}\gt{{0}.}$

Чести грешки

Грешка	Грешно	Вярно
Проверено е само дали границата съществува	${\lim_{x\to2}g(x)=4}$ съществува, затова $g$ от пример 1 е непрекъсната в $2$	Границата трябва и да е равна на стойността: ${g(2)=3\ne4},$ затова $g$ е прекъсната в $2$
Чупката е взета за прекъсване	$|x|$ е прекъсната в $0,$ защото графиката ѝ има чупка	$|x|$ е непрекъсната в $0\text{:}$ двете едностранни граници са равни на $0,$ т.е. на $|0|$
Съкратено е, но пробитата точка е забравена	${\frac{x^2-9}{x^2-5x+6}=\frac{x+3}{x-2}},$ затова единственото прекъсване е при ${x=2}$	Първоначалната функция не е дефинирана и при ${x=3}\text{:}$ тя е прекъсната в $2$ и в $3$
Едностранна граница от грешната страна	За ${\sqrt{9-x^2}}$ при ${x=3}$ проверяваме ${\lim_{x\to3+0}}$	Функцията не е дефинирана при ${x\gt3}\text{:}$ в десния край проверяваме ${\lim_{x\to3-0}}$
Теоремата за междинните стойности без непрекъснатост	${\frac{|x|}{x}}$ е равна на $-1$ при $-1$ и на $1$ при $1,$ значи някъде между тях е равна на $0$	Тя не е непрекъсната в $[-1;\ 1];$ никога не приема стойността $0$
„Различни знаци“, прочетено наобратно	Изразът ${x^2-1}$ е положителен при $-2$ и при $2,$ затова ${x^2-1=0}$ няма решение в $(-2;\ 2)$	Еднаквите знаци не доказват нищо: ${x^2-1=0}$ има решенията $\pm1$ в $(-2;\ 2)$

Задачи за упражнение

1. Непрекъсната ли е функцията ${f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}}$ при ${x=1}?$ Каква стойност трябва да има $f(1),$ за да бъде функцията непрекъсната?

Отговор

Не: стойността $f(1)$ не е дефинирана. ${\lim_{x\to1}f(x)}={\lim_{x\to1}(x+1)}={{2},}$ затова, ако положим ${f(1)=2},$ функцията $f$ става непрекъсната в $1$ (отстранимо прекъсване).

2. Непрекъсната ли е функцията

$$f(x)=\begin{cases}x+1, & \text{при } x\lt2,\\ 7-x^2, & \text{при } x\ge2\end{cases}$$

при ${x=2}?$

Отговор

${\lim_{x\to2-0}f(x)=3}$ и ${\lim_{x\to2+0}f(x)}={7-4}={3}={{f(2)}.}$ Двете едностранни граници са равни на $f(2),$ затова $f$ е непрекъсната в $2.$

3. Намерете стойността на $a,$ при която функцията

$$f(x)=\begin{cases}ax+3, & \text{при } x\lt1,\\ x^2+2a, & \text{при } x\ge1\end{cases}$$

е непрекъсната навсякъде.

Отговор

И двата израза са многочлени, затова трябва да проверим само точката ${x=1}\text{:}$ лявата граница е ${a+3},$ а дясната граница и $f(1)$ са равни на ${1+2a}.$ Те са равни, когато ${a+3=1+2a},$ т.е. при ${a=2}.$

4. Къде е непрекъсната функцията ${f(x)=\frac{x}{x^2+1}}?$

Отговор

Навсякъде: знаменателят ${x^2+1}$ никога не е $0.$

5. Намерете точките на прекъсване на ${f(x)=\frac{x+1}{x^2-4x-5}}$ и определете кои от тях са отстраними.

Отговор

${{x^2-4x-5=(x-5)(x+1)}\text{:}}$ функцията е прекъсната при ${x=-1}$ и ${x=5}.$ При ${x\ne-1}$ е изпълнено ${f(x)=\frac{1}{x-5}},$ затова границата в $-1$ е ${-\frac{1}{6}}\text{:}$ прекъсването е отстранимо. При ${x=5}$ прекъсването е безкрайно.

6. Намерете ${\lim_{x\to2}\sqrt{x^3+1}}$ и ${\lim_{x\to-1}|x^3-3x|}.$

Отговор

От непрекъснатостта получаваме ${\sqrt{8+1}}={3}$ и ${|{-1}+3|}={2}.$

7. Непрекъсната ли е функцията ${f(x)=\sqrt{x-1}}$ в $[1;\ 5]?$

Отговор

Да. В $(1;\ 5)$ тя е непрекъсната според теоремата за съставните функции, защото там ${x-1\gt0},$ а $\sqrt{x}$ е непрекъсната при всички положителни стойности на аргумента; в левия край ${\lim_{x\to1+0}\sqrt{x-1}}={0}={{f(1)},}$ а в десния край ${\lim_{x\to5-0}\sqrt{x-1}}={2}={{f(5)}.}$

8. Докажете, че уравнението ${x^3+2x-5=0}$ има решение в $(1;\ 2).$

Отговор

Функцията ${f(x)=x^3+2x-5}$ е непрекъсната, ${f(1)=-2\lt0}$ и ${f(2)=7\gt0}.$ Според теоремата на Болцано уравнението има решение в $(1;\ 2)$ (то е ${x\approx1{,}3283}$).

9. Докажете, че уравнението ${x^5=x+3}$ има решение.

Отговор

Нека ${f(x)=x^5-x-3};$ тази функция е непрекъсната. ${f(1)=-3\lt0}$ и ${f(2)}={32-2-3}={27}\gt{0},$ затова уравнението има решение в $(1;\ 2).$

Следващ урок: „Граници и непрекъснатост на тригонометричните функции“. Предишен урок: „Граници и методи за пресмятане“.