МенюЛинейни неравенства
Неравенството сравнява два израза с един от знаците $\lt$ (по-малко), $\gt$ (по-голямо), $\le$ (по-малко или равно) или $\ge$ (по-голямо или равно). Например ${3x-5\lt6-2x}$ е неравенство с неизвестно $x.$ Дадено число е решение на неравенството, ако при заместване на $x$ с него неравенството става вярно. Да решим неравенството означава да намерим всичките му решения; заедно те образуват множеството от решения на неравенството. Неравенства, които имат едно и също множество от решения, се наричат равносилни (еквивалентни) неравенства.
Например $1$ е решение на ${3x-5\lt6-2x}\text{:}$ лявата страна е ${3\cdot1-5=-2},$ дясната е ${6-2\cdot1=4},$ а ${-2\lt4}$ е вярно. Числото $3$ не е решение: ${3\cdot3-5=4},$ ${6-2\cdot3=0},$ а ${4\lt0}$ не е вярно. Уравнение като ${3x-5=6-2x}$ има само един корен, а неравенството обикновено има безброй много решения. Затова записваме отговора като интервал и го изобразяваме върху числовата ос.
На тази страница: Линейни неравенства · Интервали · Правила · Стъпки · Решени примери · Частни случаи · Системи и обединения · Неравенства с модул · Текстови задачи · Упражнения
Линейни неравенства
Линейно неравенство (неравенство от първа степен) с едно неизвестно е неравенство, което може да се запише в един от следните видове
${ax+b\lt0},$ ${ax+b\gt0},$ ${ax+b\le0},$ ${ax+b\ge0},$
където $a$ и $b$ са числа и ${a\ne0}.$ Например ${2x-6\gt0},$ ${3x-5\lt6-2x}$ и ${\frac{x}{2}+1\ge x}$ са линейни неравенства (във второто можем да прехвърлим всички събираеми в лявата страна и да получим ${5x-11\lt0}$). Неравенствата със знаците $\lt$ и $\gt$ се наричат строги, а тези с $\le$ и $\ge$ – нестроги. Нестрогото неравенство допуска и равенство, затова граничното число, при което двете страни са равни, също е решение.
Записване на множеството от решения: интервали и числова ос
Решенията на линейното неравенство запълват цял лъч от числовата ос. Множеството от решения може да се запише по три начина: като неравенство, ${x\lt2};$ чрез описание на елементите, ${\{x\mid x\lt2\}}$ (чете се „множеството от всички $x,$ за които $x$ е по-малко от $2$“); или като интервал, ${(-\infty;\ 2)}.$ Върху числовата ос запълнено кръгче означава, че числото принадлежи на множеството, а празно кръгче – че не принадлежи.
| Неравенство | Интервал | Числова ос |
|---|---|---|
| ${x\gt a}$ | ${(a;\ +\infty)}$ | |
| ${x\ge a}$ | ${[a;\ +\infty)}$ | |
| ${x\lt a}$ | ${(-\infty;\ a)}$ | |
| ${x\le a}$ | ${(-\infty;\ a]}$ | |
| ${a\lt x\lt b}$ | ${(a;\ b)}$ | |
| ${a\le x\le b}$ | ${[a;\ b]}$ | |
| ${a\le x\lt b}$ | ${[a;\ b)}$ | |
| ${a\lt x\le b}$ | ${(a;\ b]}$ |
Тук $a$ и $b$ са две произволни числа, за които ${a\lt b}.$
Кръгла скоба ( или ) означава, че краят на интервала не е включен, а квадратна скоба [ или ] – че е включен.
Символите $+\infty$ (плюс безкрайност) и $-\infty$ (минус безкрайност) не са числа, затова при тях скобата винаги е кръгла. Множеството на всички реални числа е ${(-\infty;\ +\infty)}$ и се означава още с $\mathbb{R}.$
В някои учебници краищата на интервала върху числовата ос се отбелязват със скоби вместо с кръгчета: кръгла скоба вместо празно кръгче и квадратна скоба вместо запълнено, обърнати с отвора към решенията. И двата начина означават едно и също.
Правила за решаване на неравенства
Неравенството се решава почти като уравнение: стъпка по стъпка го заменяме с по-прости равносилни неравенства, докато в едната страна остане само $x.$ Две правила казват кои стъпки са позволени. За произволни реални числа $a,$ $b$ и $c\text{:}$
1. Правило за събиране. Ако ${a\lt b},$ то ${a+c\lt b+c}$ и ${a-c\lt b-c}.$ Ако прибавим към двете страни или извадим от тях едно и също число (или един и същ израз, например $2x$), знакът на неравенството не се променя. Затова, както при уравненията, едно събираемо може да се прехвърли в другата страна с противоположен знак.
2. Правило за умножение. Ако ${a\lt b}$ и ${c\gt0},$ то ${ac\lt bc}$ и ${\frac{a}{c}\lt\frac{b}{c}}\text{:}$ ако умножим двете страни по едно и също положително число или ги разделим на него, знакът се запазва.
Ако ${a\lt b}$ и ${c\lt0},$ то ${ac\gt bc}$ и ${\frac{a}{c}\gt\frac{b}{c}}\text{:}$ ако умножим двете страни по едно и също отрицателно число или ги разделим на него, посоката на неравенството се сменя.
Същото важи за $\gt,$ $\le$ и $\ge.$ Когато посоката се сменя, $\lt$ става $\gt,$ $\le$ става $\ge$ и обратно.
Защо посоката трябва да се смени? Да вземем вярното неравенство ${2\lt5}$ и да умножим двете страни по $-1.$ Получаваме $-2$ и $-5,$ а върху числовата ос $-2$ е вдясно от $-5,$ следователно ${-2\gt-5}.$ Умножаването по $-1$ отразява всяко число симетрично спрямо $0$ и редът на числата се обръща:
Никога не умножавайте двете страни по израз, чийто знак не знаете, например по $x$ или по ${x-1},$ и не ги делете на такъв израз: няма да знаете дали да запазите посоката на неравенството, или да я смените.
Стъпки за решаване на линейно неравенство
- Дроби. Ако има дроби, умножаваме двете страни по най-малкия общ знаменател. Той е положително число, затова знакът се запазва.
- Скоби. Разкриваме скобите и събираме подобните събираеми във всяка страна.
- Прехвърляне. Прехвърляме събираемите с $x$ в едната страна, а числата – в другата. Всяко прехвърлено събираемо сменя знака си.
- Делене. Делим двете страни на коефициента пред $x.$ Ако този коефициент е отрицателен, сменяме посоката на неравенството.
- Отговор. Записваме множеството от решения като интервал и го изобразяваме върху числовата ос.
- Проверка. Число от отговора трябва да прави даденото неравенство вярно, а число извън отговора – невярно. При граничното число двете страни са равни.
Решени примери
Пример 1. Решете ${3x-5\lt6-2x}$ и изобразете множеството от решения върху числовата ос.
$3x-5\lt6-2x$
$3x+2x\lt6+5$ прехвърляме $-2x$ вляво и $-5$ вдясно
$5x\lt11$
$x\lt\frac{11}{5}$ делим на ${5\gt0},$ знакът се запазва
Всяко число, по-малко от ${\frac{11}{5}=2{,}2},$ е решение. Множеството от решения е ${\left\{x\mid x\lt\frac{11}{5}\right\}},$ или ${\left(-\infty;\ \frac{11}{5}\right)}.$ Кръгчето при $\frac{11}{5}$ е празно, защото самото число $\frac{11}{5}$ не е решение: при ${x=\frac{11}{5}}$ двете страни са равни на $\frac{8}{5}.$
Проверка: ${x=0}$ е в отговора и ${-5\lt6}$ е вярно; ${x=3}$ не е в отговора и ${4\lt0}$ не е вярно.
Можем да проверим и графично. Построяваме правите ${y_1=3x-5}$ и ${y_2=6-2x}.$ Те се пресичат в точката ${(2{,}2;\ 1{,}6)}.$ Неравенството ${y_1\lt y_2}$ е изпълнено там, където правата $y_1$ е под правата $y_2,$ а това е точно вляво от ${x=2{,}2}.$
Пример 2. Решете ${13-7x\ge10x-4}.$
$13-7x\ge10x-4$
$-7x-10x\ge-4-13$ прехвърляме $10x$ вляво и $13$ вдясно
$-17x\ge-17$
$x\le1$ делим на ${-17\lt0},$ посоката се сменя
Множеството от решения е ${\{x\mid x\le1\}},$ или ${(-\infty;\ 1]}.$ Кръгчето при $1$ е запълнено: при ${x=1}$ двете страни са равни на $6,$ а ${6\ge6}$ е вярно.
Деленето на отрицателно число може да се избегне, ако съберем събираемите с $x$ в тази страна, в която коефициентът им ще е положителен: ${13+4\ge10x+7x},$ откъдето ${17\ge17x}$ и ${1\ge x},$ а това е същото като ${x\le1}.$
Пример 3. Решете ${\frac{x+1}{2}-\frac{2x-1}{3}\lt1}.$
Най-малкият общ знаменател е $6.$ Умножаваме двете страни по $6$ (положително число, затова знакът се запазва). Всеки числител поставяме в скоби:
$3(x+1)-2(2x-1)\lt6$
$3x+3-4x+2\lt6$
$-x+5\lt6$
$-x\lt1$
$x\gt-1$ умножаваме по $-1$ и сменяме посоката
Множеството от решения е ${(-1;\ +\infty)}.$
Скобите са важни: минусът пред дробта $\frac{2x-1}{3}$ се отнася за целия числител, затова ${-2(2x-1)=-4x+2},$ а не ${-4x-1}.$ Проверка с ${x=5}\text{:}$ ${\frac{6}{2}-\frac{9}{3}=3-3=0},$ а ${0\lt1}$ е вярно.
Частни случаи: няма решение или всяко число е решение
Понякога събираемите с $x$ се унищожават: коефициентът пред $x$ става $0.$ Тогава остава неравенство между две числа, което е или винаги вярно, или винаги невярно.
Пример 4. Решете ${2(x+3)\gt2x+1}.$
$2x+6\gt2x+1$
$6\gt1$ изваждаме $2x$
Това е вярно за всяко $x,$ затова всяко реално число е решение: множеството от решения е ${(-\infty;\ +\infty)=\mathbb{R}}.$
Пример 5. Решете ${2(x+3)\lt2x+1}.$
$2x+6\lt2x+1$
$6\lt1$ изваждаме $2x$
Това не е вярно за никое $x,$ затова неравенството няма решение. Множеството от решения е празното множество $\varnothing.$
Системи и обединения от неравенства
Две неравенства могат да бъдат свързани с думата и или с думата или. Така се получава система или обединение от неравенства.
и (система неравенства): двете неравенства трябва да са верни едновременно. Множеството от решения е общата част, сечението $\cap,$ на двете множества от решения.
или (обединение от неравенства): поне едно от неравенствата трябва да е вярно. Множеството от решения е обединението $\cup$ на двете множества от решения: всички числа, които принадлежат на поне едно от тях.
Двойни неравенства
Системата ${-3\lt2x+5}$ и ${2x+5\le7}$ обикновено се записва по-кратко, като двойно неравенство ${-3\lt2x+5\le7}.$ За да решим двойно неравенство, извършваме едно и също действие с трите му части.
Пример 6. Решете ${-3\lt2x+5\le7}$ и изобразете множеството от решения върху числовата ос.
$-3\lt2x+5\le7$
$-8\lt2x\le2$ изваждаме $5$ от трите части
$-4\lt x\le1$ делим трите части на $2$
Множеството от решения е ${\{x\mid-4\lt x\le1\}},$ или ${(-4;\ 1]}.$
Пример 7. Решете ${1\lt5-2x\le9}.$
$-4\lt-2x\le4$ изваждаме $5$ от трите части
$2\gt x\ge-2$ делим на $-2$ и сменяме посоката и на двата знака
Записваме резултата от по-малкото към по-голямото число: ${-2\le x\lt2}.$ Множеството от решения е ${[-2;\ 2)}.$
Две неравенства, свързани с „и“ или „или“
Пример 8. Решете ${3x-1\gt5}$ и ${2x+3\le15}.$
Такава двойка неравенства се нарича система неравенства и се записва с фигурна скоба:
$$\begin{cases}3x-1\gt5\\2x+3\le15\end{cases}$$Решаваме всяко от неравенствата: ${3x\gt6},$ откъдето ${x\gt2};$ ${2x\le12},$ откъдето ${x\le6}.$ Двете условия трябва да са изпълнени едновременно, затова вземаме общата част на двата лъча: ${2\lt x\le6}.$ Множеството от решения е ${(2;\ 6]}.$
Ако двата лъча са насочени в една и съща посока, общата им част е лъчът, който се съдържа в другия: ${x\gt2}$ и ${x\gt5}$ заедно дават ${x\gt5}.$ Ако двата лъча нямат обща част, системата няма решение. Например никое число не удовлетворява едновременно ${x\lt1}$ и ${x\gt4}.$
Пример 9. Решете ${2x-5\le-7}$ или ${2x-5\gt1}$ и изобразете множеството от решения върху числовата ос.
${2x\le-2}$ или ${2x\gt6}$ прибавяме $5$
${x\le-1}$ или ${x\gt3}$ делим на $2$
Множеството от решения е ${\{x\mid x\le-1\ \text{или}\ x\gt3\}}.$ За да го запишем с интервали, свързваме двата интервала със знака за обединение: ${(-\infty;\ -1]\cup(3;\ +\infty)}.$
Такова обединение не може да се запише по-кратко като двойно неравенство. Записът „${3\lt x\le-1}$“ би означавал, че $x$ е по-голямо от $3$ и едновременно не е по-голямо от $-1,$ а такова число няма.
За графична проверка построяваме правата ${y_1=2x-5}$ и хоризонталните прави ${y_2=-7}$ и ${y_3=1}.$ Правата $y_1$ е под правата ${y_2=-7}$ или на нея при ${x\le-1}$ и над правата ${y_3=1}$ при ${x\gt3}.$
Неравенства с модул
Абсолютната стойност (модулът) $|x|$ на числото $x$ е разстоянието от него до $0$ върху числовата ос (вижте Абсолютни стойности). Затова ${|x|\lt3}$ означава, че $x$ е на по-малко от $3$ единици от $0,$ т.е. ${-3\lt x\lt3}.$ А ${|x|\gt3}$ означава, че $x$ е на повече от $3$ единици от $0,$ т.е. ${x\lt-3}$ или ${x\gt3}.$
За число ${a\gt0}$ и произволен израз $X\text{:}$
${|X|\lt a}$ е равносилно на ${-a\lt X\lt a}$ (двойно неравенство, „и“);
${|X|\gt a}$ е равносилно на ${X\lt-a}$ или ${X\gt a}$ („или“).
По същия начин ${|X|\le a}$ е равносилно на ${-a\le X\le a},$ а ${|X|\ge a}$ – на ${X\le-a}$ или ${X\ge a}.$
Например ${|x|\lt3}$ е равносилно на ${-3\lt x\lt3};$ ${|y|\ge1}$ е равносилно на ${y\le-1}$ или ${y\ge1};$ а ${|2x+3|\le4}$ е равносилно на ${-4\le2x+3\le4}.$
Пример 10. Решете ${|3x+2|\lt5}$ и изобразете множеството от решения върху числовата ос.
$-5\lt3x+2\lt5$ записваме равносилното двойно неравенство
$-7\lt3x\lt3$ изваждаме $2$ от трите части
$-\frac{7}{3}\lt x\lt1$ делим трите части на $3$
Множеството от решения е ${\left\{x\mid-\frac{7}{3}\lt x\lt1\right\}},$ или ${\left(-\frac{7}{3};\ 1\right)}.$
Графична проверка: графиката на ${y=|3x+2|}$ има формата на буквата „V“ с връх в точката ${\left(-\frac{2}{3};\ 0\right)}.$ Тя е под правата ${y=5}$ точно между ${x=-\frac{7}{3}}$ и ${x=1}.$
Пример 11. Решете ${|5-2x|\ge1}.$
${5-2x\le-1}$ или ${5-2x\ge1}$ записваме двете равносилни неравенства с „или“
${-2x\le-6}$ или ${-2x\ge-4}$ изваждаме $5$
${x\ge3}$ или ${x\le2}$ делим на $-2$ и сменяме посоката и на двата знака
Множеството от решения е ${\{x\mid x\le2\ \text{или}\ x\ge3\}},$ т.е. ${(-\infty;\ 2]\cup[3;\ +\infty)}.$
Пример 12. Изразът ${|x-c|}$ е равен на разстоянието между числата $x$ и $c.$ Решете ${|x-4|\le2}.$
Търсим числата, чието разстояние до $4$ е най-много $2\text{:}$ те са от ${4-2=2}$ до ${4+2=6},$ като самите числа $2$ и $6$ също са решения. По правилото: ${-2\le x-4\le2},$ а след като прибавим $4,$ получаваме ${2\le x\le6}.$ Множеството от решения е ${[2;\ 6]}.$
Правилата по-горе са записани за ${a\gt0}.$ Когато числото вдясно е отрицателно или нула, по-бързо е да си спомним, че абсолютната стойност никога не е отрицателна:
- ${|2x-1|\lt-3}$ няма решение;
- ${|2x-1|\ge-3}$ е вярно за всяко реално число $x;$
- ${|x-2|\le0}$ е вярно само когато ${x-2=0},$ т.е. при ${x=2};$
- ${|x-2|\gt0}$ е вярно за всяко $x$ освен ${x=2}.$
Приложение: текстови задачи
Много текстови задачи водят до неравенства. Следните изрази подсказват кой знак да използвате:
| С думи | Неравенство |
|---|---|
| $x$ е по-голямо от $5;$ $x$ надхвърля $5$ | ${x\gt5}$ |
| $x$ е по-малко от $5$ | ${x\lt5}$ |
| $x$ е поне $5;$ $x$ е не по-малко от $5$ | ${x\ge5}$ |
| $x$ е най-много $5;$ $x$ е не по-голямо от $5$ | ${x\le5}$ |
| $x$ е между $2$ и $5$ | ${2\lt x\lt5}$ |
Пример 13. Начини на заплащане. За боядисването на една къща Иван може да получи заплащане по един от два начина:
- План А: ${250}$ евро плюс ${10}$ евро на час;
- План Б: ${20}$ евро на час.
Да предположим, че работата отнема $n$ часа. При кои стойности на $n$ план Б е по-изгоден за Иван?
1. Разбираме задачата. Да опитаме с няколко числа. Ако работата отнеме $20$ часа, по план А Иван получава ${250+10\cdot20=450}$ евро, а по план Б – ${20\cdot20=400}$ евро: по-изгоден е план А. Ако работата отнеме $30$ часа, по план А той получава ${250+10\cdot30=550}$ евро, а по план Б – ${20\cdot30=600}$ евро: сега по-изгоден е план Б. За да намерим всички стойности на $n,$ при които план Б е по-изгоден, решаваме неравенство.
2. Записваме неравенство. За $n$ часа по план А Иван получава ${250+10n}$ евро, а по план Б – ${20n}$ евро. Условието „по план Б той получава повече, отколкото по план А“ се записва така:
$$\underbrace{20n}_{\text{план Б}}\gt\underbrace{250+10n}_{\text{план А}}.$$3. Решаваме.
$20n\gt250+10n$
$10n\gt250$ изваждаме $10n$
$n\gt25$ делим на $10$
4. Проверка. При ${n=25}$ по план А Иван получава ${250+10\cdot25=500}$ евро и по план Б – ${20\cdot25=500}$ евро: двата плана дават една и съща сума. При работата от $30$ часа в стъпка 1 по-изгоден беше план Б, а ${30\gt25}.$ Графиката показва същото: правата на план Б е над правата на план А вдясно от ${n=25}.$
5. Отговор. План Б е по-изгоден за Иван, когато работата отнема повече от $25$ часа.
Пример 14. Ани е получила $78,$ $85$ и $90$ точки на три контролни работи. На всяка контролна максимумът е $100$ точки. Колко точки са ѝ нужни на четвъртата контролна, за да бъде средният ѝ резултат поне $85?$
Нека $x$ е резултатът от четвъртата контролна. Средното аритметично на четирите резултата трябва да е поне $85\text{:}$
$\frac{78+85+90+x}{4}\ge85$
$253+x\ge340$ умножаваме по $4$
$x\ge87$ изваждаме $253$
Резултатът не може да е повече от $100,$ затова отговорът е ${87\le x\le100}\text{:}$ Ани трябва да получи поне $87$ точки.
Задачи за упражнение
1. Решете и запишете отговора като интервал: а) ${4x-7\ge9};$ б) ${5-3x\gt11};$ в) ${7x+2\lt4x-10}.$
Отговор
а) ${4x\ge16},$ откъдето ${x\ge4}\text{:}$ ${[4;\ +\infty)}.$
б) ${-3x\gt6},$ откъдето ${x\lt-2}$ (делим на $-3$ и сменяме посоката): ${(-\infty;\ -2)}.$
в) ${3x\lt-12},$ откъдето ${x\lt-4}\text{:}$ ${(-\infty;\ -4)}.$
2. Решете: а) ${3(x-2)-2(x+1)\le4};$ б) ${2(x-3)-5x\ge x+2}.$
Отговор
а) ${3x-6-2x-2\le4},$ откъдето ${x-8\le4}$ и ${x\le12}\text{:}$ ${(-\infty;\ 12]}.$
б) ${2x-6-5x\ge x+2},$ откъдето ${-3x-6\ge x+2},$ ${-4x\ge8}$ и ${x\le-2}\text{:}$ ${(-\infty;\ -2]}.$
3. Решете: а) ${\frac{x}{3}-\frac{x-2}{4}\gt1};$ б) ${\frac{2x-1}{5}\le\frac{x+4}{2}}.$
Отговор
а) Умножаваме по $12\text{:}$ ${4x-3(x-2)\gt12},$ откъдето ${4x-3x+6\gt12}$ и ${x\gt6}\text{:}$ ${(6;\ +\infty)}.$
б) Умножаваме по $10\text{:}$ ${2(2x-1)\le5(x+4)},$ откъдето ${4x-2\le5x+20},$ ${-x\le22}$ и ${x\ge-22}\text{:}$ ${[-22;\ +\infty)}.$
4. Решете ${0{,}4x-1{,}2\lt0{,}1x+0{,}3}.$
Отговор
${0{,}3x\lt1{,}5},$ откъдето ${x\lt5}\text{:}$ ${(-\infty;\ 5)}.$ (Можете също първо да умножите двете страни по $10\text{:}$ ${4x-12\lt x+3}.$)
5. Решете: а) ${3(x-1)\ge3x-5};$ б) ${4x+1\lt2(2x-3)}.$
Отговор
а) ${3x-3\ge3x-5},$ откъдето ${-3\ge-5},$ а това е вярно: всяко реално число е решение, ${(-\infty;\ +\infty)}.$
б) ${4x+1\lt4x-6},$ откъдето ${1\lt-6},$ а това не е вярно: няма решение.
6. Решете двойните неравенства: а) ${-5\le3x+1\lt7};$ б) ${-1\lt\frac{4-x}{3}\le2}.$
Отговор
а) ${-6\le3x\lt6},$ откъдето ${-2\le x\lt2}\text{:}$ ${[-2;\ 2)}.$
б) Умножаваме по $3\text{:}$ ${-3\lt4-x\le6},$ после ${-7\lt-x\le2},$ а след умножаване по $-1\text{:}$ ${7\gt x\ge-2}.$ Отговорът е ${[-2;\ 7)}.$
7. Решете: а) ${2x+1\gt3}$ и ${3x-4\lt11};$ б) ${x-3\lt-5}$ или ${2x\ge4};$ в) ${5x\gt10}$ и ${x+4\lt3}.$
Отговор
а) ${x\gt1}$ и ${x\lt5}\text{:}$ ${(1;\ 5)}.$
б) ${x\lt-2}$ или ${x\ge2}\text{:}$ ${(-\infty;\ -2)\cup[2;\ +\infty)}.$
в) ${x\gt2}$ и ${x\lt-1}\text{:}$ лъчите нямат обща част, затова няма решение.
8. Решете: а) ${|x-3|\lt4};$ б) ${|2x+1|\ge5};$ в) ${|4-3x|\le2};$ г) ${|x+5|\lt-1}.$
Отговор
а) ${-4\lt x-3\lt4},$ откъдето ${-1\lt x\lt7}\text{:}$ ${(-1;\ 7)}.$
б) ${2x+1\le-5}$ или ${2x+1\ge5},$ откъдето ${x\le-3}$ или ${x\ge2}\text{:}$ ${(-\infty;\ -3]\cup[2;\ +\infty)}.$
в) ${-2\le4-3x\le2},$ откъдето ${-6\le-3x\le-2}$ и ${2\ge x\ge\frac{2}{3}}$ (делим на $-3$ и сменяме посоката и на двата знака): ${\left[\frac{2}{3};\ 2\right]}.$
г) Абсолютната стойност никога не е отрицателна: няма решение.
9. Намерете всички цели числа, които удовлетворяват ${-2\lt\frac{3x+1}{2}\le5}.$
Отговор
Умножаваме по $2\text{:}$ ${-4\lt3x+1\le10},$ откъдето ${-5\lt3x\le9}$ и ${-\frac{5}{3}\lt x\le3}.$ Целите числа в този интервал са $-1,$ $0,$ $1,$ $2$ и $3.$
10. Пътуване с такси струва ${3}$ евро плюс ${1{,}50}$ евро на километър. Колко километра можете да пропътувате, ако искате да платите най-много ${30}$ евро?
Отговор
За $d$ километра: ${3+1{,}5d\le30},$ откъдето ${1{,}5d\le27}$ и ${d\le18}.$ Можете да пропътувате най-много $18$ км.
11. Дължината на правоъгълник е с $3$ см по-голяма от ширината му. Обиколката му е най-много $46$ см. Каква може да бъде ширината?
Отговор
Ако ширината е $w\text{:}$ ${2(w+w+3)\le46},$ откъдето ${4w+6\le46}$ и ${w\le10}.$ Ширината е положително число, затова ${0\lt w\le10}\text{:}$ ширината е най-много $10$ см.
12. При кои стойности на $x$ стойността на израза ${\frac{5-2x}{3}}$ не е отрицателна?
Отговор
„Не е отрицателна“ означава ${\ge0}\text{:}$ ${\frac{5-2x}{3}\ge0},$ откъдето ${5-2x\ge0},$ ${-2x\ge-5}$ и ${x\le\frac{5}{2}}\text{:}$ ${\left(-\infty;\ \frac{5}{2}\right]}.$
Следващи теми: Квадратни неравенства и Неравенства от по-висока степен и рационални неравенства. Можете да проверите отговорите си с програмата за решаване на задачи.
Неравенства