Обратими функции

[Петър Евгениев]

Здравейте, ако можете да обясните обратните/обратими функции, не ангажирам със задачи, просто идеята на обратните функции [tex]f^{-1}[/tex], примерно знам,че логаритмичната функция е обратна на показателната, ама не е кат да го разбирам напълно.

[ptj]

Няма нищо за разбиране -
[tex]f(x)=y \Leftrightarrow f^{-1}(y)=x[/tex].

Т.е. ако имаш стойността на функцията (y), с обратната функция намираш аргумента (x).

[Петър Евгениев]

Няма нищо за разбиране -
[tex]f(x)=y \Leftrightarrow f^{-1}(y)=x[/tex].

Т.е. ако имаш стойността на функцията (y), с обратната функция намираш аргумента (x).

Ясно, ми има за разбиране, ако не ти го е казал никой.В учебника само е намекнатo, не е написано както ти го написа и аз се чудех как точно да го запиша, сега знам, вече благодаря.

[ptj]

Друг важен факт за съществуването (определението) на обратната функция ([tex]f^{-1}[/tex]) на дадена функция [tex]f[/tex] е, че [tex]f[/tex] трябва да е "биекция", т.е. на всяко [tex]x_1\ne x^2[/tex] да се съпоставя [tex]y_1=f(x_1)\ne y_2= f(y_2)[/tex] и обратното.

-------------------------------------------------------------------------------------------

Следващото НДУ (публикувано в Уикипедия), очевидно е неправилно :

Необходимо и достатъчно условие една функция да е обратима в множеството D е тя да бъде строго монотонна.

https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%B1%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F

Правилно е:
Всяка монотонна функция е обратима.(защото от монотонноста следва, че функцията е биекция)


П.П. Не се доверявайте сляпо на всичко прочетено или видяно в интернет.

[Davids]

Друг важен факт за съществуването (определението) на обратната функция ([tex]f^{-1}[/tex]) на дадена функция [tex]f[/tex] е, че [tex]f[/tex] трябва да е "биекция", т.е. на всяко [tex]x_1\ne x^2[/tex] да се съпоставя [tex]y_1=f(x_1)\ne y_2= f(y_2)[/tex] и обратното.

-------------------------------------------------------------------------------------------

Следващото НДУ (публикувано в Уикипедия), очевидно е неправилно :

Необходимо и достатъчно условие една функция да е обратима в множеството D е тя да бъде строго монотонна.

П.П. Не се доверявайте сляпо на всичко прочетено или видяно в интернет.

Същото нещо дойдох да коментирам, прочитайки го в уикипедия... Очевидно неправилно твърдение, което веднага ме накара да се засиля към форума и да предотвратя някой да вземе да го приеме за вярно, без да го провери Адмирирам ангажимента Ви, господине

[ptj]

Нещо повече, съществуването на обратна функция не налага ограничения за "наредба" нито в дефиниционната област, нито в областта от стойности на дадена функция.

Това, че в практиката ние използваме най-често обратими монотонни функции, не променя и не влияе на дефинициите.

[KOPMOPAH]

Това, което трябва да знаеш за обратните функции е, че те са симетрични спрямо линията $y=x$, в което можеш да се убедиш тук, поиграй си и ще получиш картинки като

F-1.gif (6.23 KiB) Прегледано 1752 пъти

F-2.gif (9.2 KiB) Прегледано 1752 пъти

F-3.gif (8.31 KiB) Прегледано 1752 пъти

[Петър Евгениев]

Ехе... добре,че попитах, точно от уикито бях се заел да чета преди това.

[Saposto_MM]

Нека имаме функция [tex]f:X\to Y[/tex] и нека [tex]Im(f)=\{y\in Y|\exists x\in X, f(x)=y\}[/tex] е образът на [tex]f[/tex]. Функцията [tex]f[/tex] наричаме обратима, ако [tex]f[/tex] е биекция между [tex]X[/tex] и [tex]Im(f)[/tex] (достатъчно инекция, понеже е сюрекция съгласно дефиницията на образ). (разбира се, възможни са и по-общи дефиниции, и по-различни, тази обхваща по-голямата част от функциите, с които работим, и които сме свикнали да наричаме обратими)
В класа на непрекъснатите функции от [tex]\mathbb{R}[/tex] в [tex]\mathbb{R}[/tex] ([tex]C(\mathbb{R})[/tex]) понятията "(строга) монотонност" и "обратимост" са еквивалентни (т.е. дефиницията в Уики е съгласувана с другата дефиниция за функциите от този клас) (след няколко дни, ако никой не го е оправил там, ще го променя). Човек може да помисли дали и как този клас може да бъде разширен.
Препоръчвам четенето на английската уикипедия, поне що се отнася до Математика. Там рядко има такива неточности (и все пак вероятно има, макар да не мога да си спомня в момента или да не съм забелязал).

[drago]

Друг важен факт за съществуването (определението) на обратната функция ([tex]f^{-1}[/tex]) на дадена функция [tex]f[/tex] е, че [tex]f[/tex] трябва да е "биекция", т.е. на всяко [tex]x_1\ne x^2[/tex] да се съпоставя [tex]y_1=f(x_1)\ne y_2= f(y_2)[/tex] и обратното.

-------------------------------------------------------------------------------------------

Следващото НДУ (публикувано в Уикипедия), очевидно е неправилно :

Необходимо и достатъчно условие една функция да е обратима в множеството D е тя да бъде строго монотонна.

https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%B1%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F

Правилно е:
Всяка монотонна функция е обратима.(защото от монотонноста следва, че функцията е биекция)


П.П. Не се доверявайте сляпо на всичко прочетено или видяно в интернет.

@ptj: Ами, да, в българския вариант на уикипедия очевидно има гршка. Добре де, що не го поправиш щом си го видял, там всеки може да редактира, затова е такова дерижето.