Решете сравнението x ≡ 3 (mod 7)

[pandora]

Задача 2. Решете сравненията:
a)
x ≡ 3 (mod 7)
x ≡ 5 (mod 9)

[Добромир Глухаров]

$\begin{array}{|l}x\equiv3(mod\ 7)\\ x\equiv5(mod\ 9)\end{array}$
Това е система от две сравнения. Съгласно Китайската Теорема за остатъците, тъй като $gcd(7,9)=1$, търсим решение от вида $x\equiv a.7+b.9(mod\ 7.9)\Leftrightarrow x\equiv7a+9b(mod\ 63)$

$7a+9b\equiv3(mod\ 7)$
$0.a+2b\equiv3(mod\ 7)$
$2b\equiv3(mod\ 7)$
$8b\equiv12(mod\ 7)$
$b\equiv-2(mod\ 7)$

$7a+9b\equiv5(mod\ 9)$
$7a+0.b\equiv5(mod\ 9)$
$-2a\equiv5(mod\ 9)$
$-5.(-2a)\equiv-5.5(mod\ 9)$
$10a\equiv-25(mod\ 9)$
$10a-9a\equiv-25+3.9(mod\ 9)$
$a\equiv2(mod\ 9)$

$x\equiv2.7+(-2).9\equiv-4\equiv59(mod\ 63)$

[pandora]

Благодаря! С малко помощ не изглеждат така трудни. Ако може ще попитам и за останалите
По същия начин ли смятам и като са повече
например
x ≡ 5 (mod 4)
x ≡ 3 (mod 7)
x ≡ 5 (mod 9)

останалите от това домашно имат малко по-друг вид тях как да ги смятам?
например:
x ≡ 2.5 (mod 11)
x ≡ 3.3 (mod 15)
x ≡ 4.3 (mod 9)
x ≡ 5.2 (mod 7)
уможавам и както с две?

[Добромир Глухаров]

В първия случай числата 4, 7, 9 са две по две взаимно прости и можем да приложим Теоремата за остатъците. $x=4.7.a+7.9.b+9.4.c,\ \begin{array}{|l}7.9.b\equiv5(mod\ 4)\\9.4.c\equiv3(mod\ 7)\\4.7.a\equiv5(mod\ 9)\end{array}$ и нататък решаваме като задача 2 а.

Във втория случай $(15,\ 9)=3\neq1$ и не можем да приложим директно Китайската теорема. Но $x\equiv a(mod\ m.n)\Leftrightarrow \begin{array}{|l}x\equiv a(mod\ m)\\x\equiv a(mod\ n)\end{array}$. Получаваме $\begin{array}{|l}x\equiv 10(mod\ 11)\\x\equiv 0(mod\ 3)\\x\equiv 4(mod\ 5)\\x\equiv 3(mod\ 9)\\x\equiv 3(mod\ 7)\end{array}$.

$x=a.5.9.7+b.11.9.7+c.11.5.7+d.11.5.9.$ Заместваме в последната система и решаваме.

[chef_georg]

Имам подобна система и нещо не се получава. Цял ден - мъка! Дайте решение, моля!

x = 23 (mod 11)
x = 31 (mod 15)
x = 41 (mod 9)
x = 53 (mod 7)

[Добромир Глухаров]

Имам подобна система и нещо не се получава. Цял ден - мъка! Дайте решение, моля!

x = 23 (mod 11)
x = 31 (mod 15)
x = 41 (mod 9)
x = 53 (mod 7)

x = 1 (mod 11)
x = 1 (mod 15)
x = 5 (mod 9)
x = 4 (mod 7)

$x\equiv1(mod15)\Leftrightarrow\begin{array}{|l}x\equiv1(mod 5)\\x\equiv1(mod 3)\end{array}$

От друга страна, от $x\equiv5(mod 9)\Rightarrow x\equiv2(mod 3)$ - противоречие.

Следователно системата е противоречива и няма решение.

[Гост]

Здравейте, може ли да ми помогнете, като обясните как се решава това:
Решете сравненията:
a/ [tex]\displaystyle \textrm{[tex]}[tex] 7x[tex]\equiv[/tex]\beta (mod12) [/tex]\displaystyle \textrm{[/tex]}[/tex]
b/ [tex]\displaystyle \textrm{[tex]}[tex] 10x\equiv\gamma (mod35)[/tex]\displaystyle \textrm{[/tex]}[/tex]

[Гост]

7x[tex]\equiv[/tex]\beta (mod12)
10x\equiv\gamma (mod35)

[Гост]

(а) 7x =b (mod 12);
(б) 10x = y (mod 35).

[Гост]

Как може да се реши системата:
x =a (mod 4)
x =3 (mod 7)
x = 5 (mod 9)

= e [tex]\equiv[/tex]
a e \alpha
b e \beta
y e \gamma

Как може да се реши системата
x = 2a (mod 11)
x = 3b (mod 15)
x = 4b (mod 9)
x = 5y (mod 7)

[shana]

алфа, вета и гама са последните три цифри от факултетния номер и трябва да се заместят буквите с цифрите. Аз стигам до някъде и оттам нататък нищо

[shana]

първата система я реших, намерих някакви лекции и по дадените примери. Ако някой може да помага и за тази система
х=2.3(mod11)
х=3.5(mod15)
х=4.5(mod9)
х=5.0(mod7)
Благодаря предварително!

[pandora]

Бихте ли качили лекцията , може да помогне на някой

[shana]

ANT05_ChineseTheorem_notes.pdf

Това е лекцията

(71.62 KiB) 541 пъти

[shana]

Може ли някой да помогне за тази система

х=2.3(mod11)
х=3.5(mod15)
х=4.5(mod9)
х=5.0(mod7)
Благодаря предварително!

[Добромир Глухаров]

Може ли някой да помогне за тази система

х=2.3(mod11)
х=3.5(mod15)
х=4.5(mod9)
х=5.0(mod7)
Благодаря предварително!

От второто сравнение следва, че х се дели на 15, следователно и на 3, а от третото - че дава остатък 20-2.9=2 при делене на 9, следователно същият остатък 2 - при делене на 3. Няма такова х, което хем да се дели, хем да не се дели на 3. Системата е противоречива и няма решение.

[pandora]

Здравейте!

Някой успя ли да реши само едно когато е например :
7x ≡ 5 (mod 12)
може ли някой да помогне с решаването? Ще съм Ви благодарна!

[Добромир Глухаров]

$7x\equiv5(mod12)$
$14x\equiv10(mod12)$
$2x\equiv-2(mod12)$
$x\equiv-1(mod12)$

[Гост]

Здравейте!
Имам един въпрос
имаме тази система
х=6(mod11)
х=15(mod15)
х=20(mod9)
х=21(mod7)
При нея може ли да се приложи китайската теорема , когато имаме mod15 и mod9?

[Добромир Глухаров]

Здравейте!
Имам един въпрос
имаме тази система
х=6(mod11)
х=15(mod15)
х=20(mod9)
х=21(mod7)
При нея може ли да се приложи китайската теорема , когато имаме mod15 и mod9?

Не, защото модулите не са два по два взаимно прости. $x\equiv15(mod15)\Leftrightarrow x\equiv0(mod15)$ се разпада на $x\equiv0(mod3)$ и $x\equiv0(mod5)$, а $x\equiv20(mod9)\Leftrightarrow x\equiv2(mod3)$. Сравненията $x\equiv0(mod3)$ и $x\equiv2(mod3)$ си противоречат - системата няма решение.

[Гост]

Да, благодаря !

[Гост]

Моля за помощ за следната задача:
Намерете цифрите x и у, така че шестцифреното число 4x87y6 да се дели на 56.
Предварително благодаря!

[peyo]

Моля за помощ за следната задача:
Намерете цифрите x и у, така че шестцифреното число 4x87y6 да се дели на 56.
Предварително благодаря!

Очевидното ревение е да проверим за всички възможни двойки x,y кога полученото чилсо ще се раздели на 56 и готово. За тази цел трябва да направим 100 проверки. Да видим обаче понеже ни мързи дали има начин по-лесно да намерим отговора?

7*8=56 значи 4x87y6 трябва да се дели и на 7 и на 8.

https://www.matematika.bg/algebra/delenie/priznatsi-za-delimost.html

Число се дели на 8 "Ако числото, формирано от последните три цифри се дели на 8. "

Кое 7y6 се дели на 8?

In [450]: for y in range(10):
...: if (706 + y*10) % 8 == 0:
...: print(y)
...:

3
7

Два резултата: 736 и 776

Дотук направихме 10 проверки. Засега по-малко от 100.

Сега търсим x такива, че 4x8736 и/или 4x8776 се дели на 7.

Признак за делимост на 7:

" Ако махнем последната цифра, от остатъка извадим удвоената последна цифра и полученото число се дели на 7. "

Това изгкежда като някакъв кошмар. Затова пак отново просто ще проверим от 1 до 10:

Код: Избери целия код

In [451]: for x in range(10):
     ...:     if (408736 + x*10000) % 7 == 0:
     ...:         print(x)

2
9

Код: Избери целия код

In [452]: for x in range(10):
     ...:     if (408776 + x*10000) % 7 == 0:
     ...:         print(x)

6

И така получените числа са 428736, 498736 и 468776.

И направихме само 30 проверки което е със 70% по-малко от първоначалния хамалски метод по който за малко да тръгнем.

[Гост]

Много благодаря! Бъдете жив и здрав Peyo

[Гост]

Моля за помощ за решаването на системата сравнения
x[tex]\equiv[/tex]4 mod(11)
x[tex]\equiv[/tex]24 mod(15)
x[tex]\equiv[/tex]32 mod(9)
x[tex]\equiv[/tex]0 mod(7)
Благодаря, на тоз който отдели от времето си и ми помогне!