Успоредник 7-ми клас

[Гост]

В успоредника ABCD [tex]\angle[/tex] A < 90 [tex]^\circ[/tex] точката M е среда на страната AD, а CH е височина (H [tex]\in[/tex] AB). Ако AD = 2AB = 5 cm, докажете, че [tex]\angle[/tex] DMH = 3[tex]\angle[/tex] AHM.

[S.B.]

В успоредника ABCD [tex]\angle[/tex] A < 90 [tex]^\circ[/tex] точката M е среда на страната AD, а CH е височина (H [tex]\in[/tex] AB). Ако AD = 2AB = 5 cm, докажете, че [tex]\angle[/tex] DMH = 3[tex]\angle[/tex] AHM.

Без заглавие - 2022-05-01T214614.326.png (295.75 KiB) Прегледано 745 пъти

Нека [tex]\angle A = \alpha[/tex]
От условието $AD = 2AB$ и т.$M$ среда на $AD$ следва,че [tex]MD = DC \Rightarrow \triangle MDC[/tex] е равнобедрен и [tex]\angle DMC = \angle DCM = \varphi \Rightarrow \angle MDC = 180 ^\circ - 2\varphi[/tex]
[tex]\angle A + \angle D = 180 ^\circ \Leftrightarrow \alpha + 180 ^\circ - 2\varphi = 180 ^\circ \Rightarrow \varphi = \frac{ \alpha }{2}[/tex]
Построявам през т.$M$ права успоредна на $CH$, която пресича продължението на $DC$ в т.$Q$ , a $AB$ в т.$P$
[tex]\triangle QDM \cong APM[/tex] ( по втори признак) [tex]\Rightarrow QM = PM[/tex]
Построявам [tex]MN \bot CH , N \in CH[/tex]
Лесно се доказва,че $MNCQ$ и $MNHP$ са правоъгълници защото имат по 3 прави ъгъла
[tex]\Rightarrow QM = CN , PM = HN[/tex]
Но [tex]QM = PM \Rightarrow CN = HN[/tex]
От [tex]\begin{cases} MN \bot CH\\ CN = NH \end{cases} \rightarrow MN[/tex] е симетрала на [tex]CH \Rightarrow MC = MH \Rightarrow \angle CMN = \angle HMN[/tex]
[tex]\angle DCM = \angle NMC = \varphi[/tex] (като кръстни ъгли)
[tex]\angle PHM = \angle NMH[/tex] (като кръстни ъгли)
Доказахме,че [tex]\angle HNM = \angle CMN \Rightarrow \angle PHM = \varphi = \frac{ \alpha }{2}[/tex]
[tex]\angle DMH = \angle A + \angle PHM[/tex] като външен ъгъл за [tex]\triangle AHM[/tex]
[tex]\angle DMH = \alpha + \frac{ \alpha }{2} \Leftrightarrow \angle DMH = 3 \frac{ \alpha }{2}[/tex]
$$\Rightarrow \angle DMH = 3 \angle AHM$$

[Гост]

Здравейте!
Сърдечно Ви Благодаря за решението! Нямаше да се сетя за тези допълнителни построения. Задачата е от учебната тетрадка № 2 на издателство "Архимед" за 7-ми клас. Към нея има чертеж, на който AD не е 2 пъти по - голяма от AB, а точката N е от страната BC. В този случай решението на задачата ще бъде в друга посока, разбира се, спазвайки изискването за AD = 2AB.
Още веднъж, много Ви благодаря!