Неравенства

[Гост]

Ако x1 и x2 са корени на квадратното уравнение x^{2} + kx +1 =0, намерете стойностите на параметъра k за които x1^{2} + x2^{2}[tex]\le[/tex] 2.

[KOPMOPAH]

За да са $x_1$ и $x_2$ корени на квадратното уравнение $$x^{2} + kx +1 =0 $$ трябва дискриминантата му да е неотрицателна, т.е. $$k^2-4 \ge 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$ За да е изпълнено неравенството $$x_1^{2} + x_2^{2}\le 2,$$ като преобразуваме чрез формулите на Виет, получаваме $$x_1^{2} + x_2^{2}=(x_1 + x_2)^2-2.x_1x_2=\\=k^2-2 \le 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$$
От неравенствата $(1)$ и $(2)$ правим системата $$ \begin{array}{|l} k^2-4 \ge 0 \\ k^2-2 \le 2 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} k^2-4 \ge 0 \\ k^2-4 \le 0 \end{array} \Leftrightarrow k=\pm 2$$

[pal702004]

На училищна олимпиада съм решавал задачата: Ако $x_1,x_2$ са корените на уравнението $x^2-x+1=0$, да се намери $x_1^{2000}+x_2^{2000}$

И отговор от типа: "няма такива числа" не се приемаше за верен.

[Гост]

Ами нормално.Формулите на Виет са валидни не само за реални корени и след като по условие не е упоменато ,че съответните корени са реални, то не е нужно да проверяваме дискриминантата.100% заставам зад мнението на pal702004.А това ,че в 10 клас не знаят за случайте с отрицателна дискриминанта не означава, че решението без проверка на дискриминантата ще е грешно.Така да се каже един примерен ученик ще провери дискриминантата и ще сбърка , а разсеяният ще забрави и ще уцели верния отговор.А ако госпожата в училище иска на тази задача да се проверява съществуването на реални корени трябва да си помисли как ще оцени "разсеяните" ученици

[KOPMOPAH]

И след всички тези приказки - колко е $k$ от задачата?

Безспорно, формулите на Виет са валидни не само за реалните корени на уравненията. Дали това, обаче, се учи в училище - сигурен съм, че не!Ако учителят си е дал труда да направи тази уговорка, би било много добре. Това, обаче, по никакъв начин не помага на десетокласника, за когото комплексните корени просто не съществуват, както за първокласника няма отрицателни числа. Категорично не съм съгласен, че разсеяният ще реши задачата - той просто ще "уцели" отговора, както се е изразил Гост. Предполагам, че на всички пишещи тук е ясна разликата между решаване и уцелване.

Колегата pal702004 на училищна олимпиада е решавал (и, вероятно, решил ) задачата, която цитира. И е прав, че отговор от типа: "няма такива числа" не се приемаше за верен. На олимпиадата участват ученици, за които комплексните числа не са чак такава terra incognita. В случая става дума за домашно в 10 клас, където не всички са наясно какво е това дискриминанта и за какво служи, да не говорим за комплексни корени.

[Гост]

Отговора е [tex]k\in[-2;2][/tex] и въобще не става въпрос дали е за олимпиада или за домашно задачата.Ако не е казано, че [tex]x_1[/tex] и [tex]x_2[/tex] са реални корени значи не е задължително да са реални.Никой в задачата не пита кои са корените, а се иска решение на неравенство и то достъпно за 8-ми клас решавайки го със система.А и ако е читав учителя в 8-ми клас, когато се учат квадратни уравнения ще обясни, че когато дискриминантата е отрицателна уравнението има корени, които не са реални и за това е правилно да кажем , че уравнението НЯМА РЕАЛНИ КОРЕНИ , а не както казват в някои училища , че уравнението НЯМА РЕШЕНИЕ.И ако това е разяснено на всички в 10-ти клас ще им е ясно какво се иска в дадената задача.

[inveidar]

Абе вие явно не сте в час с обучението по математика. Защо тогава до 12-ти клас се казва, че няма корен квадратен от отрицателно число? Отговарям. Защото, до дванадесети клас се изучават само реалните числа и други такива за учениците не съществуват официално. Аман от толкова пишман разбирачи, ей!

[inveidar]

Ако не е казано, че [tex]x_1[/tex] и [tex]x_2[/tex] са реални корени значи не е задължително да са реални.

Ами какви да са, като други числа учениците НЕ познават?

[pal702004]

Абе вие явно не сте в час с обучението по математика. Защо тогава до 12-ти клас се казва, че няма корен квадратен от отрицателно число? Отговарям. Защото, до дванадесети клас се изучават само реалните числа и други такива за учениците не съществуват официално. Аман от толкова пишман разбирачи, ей!

Хайде по-спокойничко, тук не си мерим...кой е по-голям разбирач, а обсъждаме задачи във всичките им нюанси. Вашата позиция щеше да ви донесе точно 0 точки на горната задачата на съответната олимпиада за 9-ти клас. И тогава нямаше нито интернет, нито форуми, където да защитите позицията си. Най-много да намерите накой арменски поп, на който да се оплачете. Това е факт.
Както е факт, че едно от решенията на неравенството $k^2-4\le 0$ е и $k=i$ (и не само), в края на краищата никой не е казал в условието, че параметъра (както и корените) е реален. Не съм изявил несъгласие с решението на KOPMOPAH - то е вярно. Просто се сетих за тази задача. И че тогава не пестяха мастило и винаги пишеха "реалния параметър", "реални корени"... имало е защо.

[ptj]

От 1982 до 1987 съм участвал в 90% от състезанията за ученици и не малко пъти е имало гафове с лошо написани условия на задачи. Затова напълно подкрепям мнението на invedar- макар и да са били допустими всички възможни методи за решения извън училищния материал ( вкл. комплексни числа), в алгебричните задачи винаги са се търсели решения в реални числа или тяхно подмножество.

[inveidar]

Така е. Просто задачата е взета от руска олимпиада и не е съобразен класът, ако информацията е вярна.

[pal702004]

Не е "взета", а е дадена на руска олимпиада. Там съм учил. Решение:

$x_1+x_2=1,x_1x_2=1$

$x_1^n+x_2^n=(x_1+x_2)(x_1^{n-1}+x_2^{n-1})-x_1x_2(x_1^{n-2}+x_2^{n-2})$

Или $S_n=x_1^n+x_2^n=S_{n-1}-S_{n-2}$. С първи членове $S_0=2,S_1=1$

Получава се редицата $2,1,-1,-2,-1,1$ в цикъл и просто трябва да се определи остатъка от делене на 2000 на 6, за да се разбере кое от тези 6 числа е резултата. Там не беше 2000, беше текущата година, но това няма значение. Както се вижда, не особено трудна, типична училищна олипмпиадна задача.

[inveidar]

Да. За 12-ти клас.

[grav]

Когато аз бях ученик, учителите настоявах да се казва "уравнението няма реални корени", а не "няма корени", въпреки че комплексни числа не се учеха. Някой има ли под ръка учебник, който се използва днес да погледне какво пише там.

Ето тук във форума пише "няма реални корени. https://www.matematika.bg/algebra/quadratic-equation.html

Естествено друг е въпроса ако уравнението няма реални корени, дори и учениците да са свикнали с това, че може да има други корени, дали е уместно (чисто педагогически) да манипулират изрази включващи корените.

[drago]

Абе вие явно не сте в час с обучението по математика. Защо тогава до 12-ти клас се казва, че няма корен квадратен от отрицателно число? Отговарям. Защото, до дванадесети клас се изучават само реалните числа и други такива за учениците не съществуват официално. Аман от толкова пишман разбирачи, ей!

Ха-ха това е точно архумент от типа: "това не е така, защаото не е така". Нулев аргумент.
Моето мнение е, че така зададена, задачата означава, че корените не непременно са реални и съответно не се проверява дискриминанта. Ако идеята е била да се проверява, то трябва да се вмъкне едно "реални" (корени).
Аргументирам се: Не може един и същи текст/въпрос да има два различни отговора, в зависимост кого питаш. Това не трябва да се допуска в живота изобщо, а пък още по-малко, когато говорим за математика. Иначе ми прилича на оня виц за милиционера, дето като го питали колко е часа, отговорил: "рано е да се каже", просто защото имал само елементарни познания за циферблата.
Ок, и навремето комплексни числа се учеха в последния клас, но в 8-ми, когато се учеше квадратно у-ние, навсякъде се говореше за реални корени. Просто каваш - сега учим само реални числа и това е рамката, всяко нещо с времето си.
Ако това вече не се споменава в учебниците, все едно всички числа са реални, значи нещата са много лоши. Значи, "властта са взели" едни методисти дето не са в час.

[inveidar]

Явно нещо не ме разбирате. Просто исках да кажа, че тази задача, ако е дадена за някой клас преди 12-ти(което не ми се вярва) е некоректна. Учениците не познават други числа официално и е излишно да се указва това допълнително. Не мислите ли така? Иначе аз също ВИНАГИ когато давам задача, свързана с корени на уравнение, уточнявам реални ли са или не.
Я кажете как да бъде условието на тази задача коректно за от 11-ти клас надолу? Може би така: Уравнението няма реални корени, но ние ще ви кажем, че формулите на Виет са в сила дори и тогава, когато то има корени числа, които вие не познавате, така че пресметнете еди какво си.
Не ми звучи реално!

[inveidar]

Ок, и навремето комплексни числа се учеха в последния клас, но в 8-ми, когато се учеше квадратно у-ние, навсякъде се говореше за реални корени. Просто каваш - сега учим само реални числа и това е рамката, всяко нещо с времето си.
Ако това вече не се споменава в учебниците, все едно всички числа са реални, значи нещата са много лоши. Значи, "властта са взели" едни методисти дето не са в час.

Ами не, споменава се, че има и комплексни числа, и че формулите на Виет са в сила за тях, но какво от това?

[Гост]

Ами не, споменава се, че има и комплексни числа, и че формулите на Виет са в сила за тях, но какво от това?

И в крайна сметка как трябва да разбираме условието:
Дадена е функцията [tex]f(x)=x^2+kx+1[/tex].Да се намерят стойностите на реалния параметър [tex]k[/tex] , за който е изпълнено неравенството [tex]x_1^2+x_2^2 \le 2[/tex] , където [tex]x_1,x_2[/tex] са корените на [tex]f(x)=0[/tex]

[drago]

...Я кажете как да бъде условието на тази задача коректно за от 11-ти клас надолу? Може би така: Уравнението няма реални корени, но ние ще ви кажем, че формулите на Виет са в сила дори и тогава, когато то има корени числа, които вие не познавате, така че пресметнете еди какво си...

Мога да ти дам акъл, ако искаш, пиши ми на Л.С. Ама, да не се отдалечаваме от въпроса. Ако не съм бил ясен, прочети го още един път, не е сложно.
Няма как на един абсолютно един и същи въпрос да се отговаря с два абсолютно различни отговаора в зависимост кой питаш! Съгласен? Ето това е. Няма какво да се инатиш!

[Гост]

Отговора е [tex]k\in[-2;2][/tex] и въобще не става въпрос дали е за олимпиада или за домашно задачата.Ако не е казано, че [tex]x_1[/tex] и [tex]x_2[/tex] са реални корени значи не е задължително да са реални.

Горните твърдения са НЕВЕРНИ, не само заради правописните грешки . Без да е казано, че корените са реални, за десетокласниците те просто не могат да са други, както казват и колегите по-горе. Може някои по-будни ученици да са попадали на комплексни числа, но огромната част си нямат понятие. Вероятно и не биха разбрали предмета на спора тук.

Условието е формулирано така:

Ако x1 и x2 са корени на квадратното уравнение x^{2} + kx +1 =0...

За всеки нормален човек в десети клас това означава, че ИМА корени, следователно то би трябвало да е решимо със средствата, знанията и понятията на десетокласника.

Всички тук знаят, че уравнението Х+1=0 има решение, но за първокласника не е така. Точно така няма да е коректно да се даде задача на четвъртокласник с ирационални числа, въпреки че те съществуват. С разширяването на кръга на познания се появяват новите числа, когато им дойде необходимостта и способността на учениците да ги възприемат.

[inveidar]

Няма как на един абсолютно един и същи въпрос да се отговаря с два абсолютно различни отговаора в зависимост кой питаш! Съгласен? Ето това е. Няма какво да се инатиш!

Е с това няма как да се съглася. Зависи от това кой отговаря. Я кажи има ли живот след смъртта? Иначе с другото съм съгласен.

[grav]

Ами не, споменава се, че има и комплексни числа, и че формулите на Виет са в сила за тях, но какво от това?

При това полежение какъв е проблема такава задача да се даде в 10 клас?

[Гост]

Условието е формулирано така:

Ако x1 и x2 са корени на квадратното уравнение x^{2} + kx +1 =0...

За всеки нормален човек в десети клас това означава, че ИМА корени, следователно то би трябвало да е решимо със средствата, знанията и понятията на десетокласника.

Всички тук знаят, че уравнението Х+1=0 има решение, но за първокласника не е така. Точно така няма да е коректно да се даде задача на четвъртокласник с ирационални числа, въпреки че те съществуват. С разширяването на кръга на познания се появяват новите числа, когато им дойде необходимостта и способността на учениците да ги възприемат.

Аман от специалисти.Едно квадратно уравнение винаги ИМА КОРЕНИ.То може да няма РЕАЛНИ КОРЕНИ , но винаги ИМА КОРЕНИ.Всеки нормален човек в десети клас е редно да го знае.Бих се съгласил, че знанията на десетокласника са недостатъчни, за намирането на такива корени, но в дадената задача не е необходимо да ги търсим.Както вече беше споменато формулите на Виет са валидни.

[inveidar]

Ами не, споменава се, че има и комплексни числа, и че формулите на Виет са в сила за тях, но какво от това?

При това полежение какъв е проблема такава задача да се даде в 10 клас?

Ами защото е тъпо да се дава такова уравнение, при положение, че може да се даде същата задача с уравнение, което има реални корени.

[grav]

Ами защото е тъпо да се дава такова уравнение, при положение, че може да се даде същата задача с уравнение, което има реални корени.

Дали е тъпо е относително и субективно. Лично на мен би ми било интересно да видя как ще реагират учениците и кои ще се справият. А тези които не се справят какво ги затруднява или как ще реагират на решението. Въобще може да има много причи да се даде подобна задача. Според мен, това което е тъпо е вместо да се попита да се пише "Аман от толкова пишман разбирачи, ей! "