лице на равнобедрен трапец

[Гост]

Около окръжност е описан равнобедрен трапец с голема основа а и ъгъл 2[tex]\alpha[/tex] при нея. Да се намери лицето му

[S.B.]

Без заглавие (48).png (173.6 KiB) Прегледано 8045 пъти

Около окръжност е описан равнобедрен трапец с голема основа а и ъгъл 2[tex]\alpha[/tex] при нея. Да се намери лицето му

От [tex]\triangle CHB \rightarrow \frac{BH}{BC} = cos2\alpha \Leftrightarrow \frac{a - x}{2} = \frac{a +x}{2}cos2\alpha \Leftrightarrow x(1 + cos2\alpha) = a(1 - cos2\alpha) \Rightarrow x = \frac{2asin^{2}\alpha}{2cos^{2}\alpha} \Rightarrow[/tex]
$$x = a.tg^{2}\alpha$$
$CB = \frac{a + x}{2} = \frac{a(1 + tg^{2}\alpha)}{2}$ , $\frac{2r}{CB} = sin2\alpha \Leftrightarrow 2r = \frac{a(1 + tg^{2}\alpha)}{2}.sin2\alpha$
$P_{ABCD } = 2a + 2x \Rightarrow p = a + x = a(1 + tg^{2}\alpha) , r = \frac{a(1 + tg^{2}\alpha).sin2\alpha}{4}$
$S_{ABCD } = p.r = \frac{a^{2}(1 + tg^{2}\alpha)^{2}.sin2\alpha}{4}$

[Knowledge Greedy]

Описан трапец.png (6.37 KiB) Прегледано 8045 пъти

Свързваме центъра на вписаната окръжност с двата върха на едно бедро. Заедно с тези отсечки бедрото (като хипотенуза) образува правоъгълен триъгълник. Ъгълът [tex]\angle BAD = 2\alpha[/tex] се разполовява от [tex]AO[/tex] и [tex]\angle BAO = \alpha[/tex]
Така [tex]\frac{r}{a/2}=tg\alpha[/tex]
Оттук височината [tex]PN=2r=atg\alpha[/tex]
Съвсем аналогично използване на правоъгълния [tex]\triangle DOP[/tex] дава [tex]DP=rtg\alpha[/tex] и тъй като [tex]DC=2DP[/tex], то малката основа [tex]DC=atg^2 \alpha[/tex]
Остава да напишем лицето по формулата [tex]S=\frac{a+b}{2}.h[/tex]
Отговор:
[tex]S=\frac{a^2tg\alpha}{2cos^2\alpha}[/tex]
______________
С леки преобразу̀вания се вижда, че двата отговора (моят и на S.B.) са различни само по форма.
Навярно ще трябва да уточним само, какви стойности може да приема даденият ъгъл [tex]\alpha[/tex].
Явно [tex]0<\alpha<\frac{\pi}{2}[/tex]

[Гост]

Без заглавие (48).png

Около окръжност е описан равнобедрен трапец с голема основа а и ъгъл 2[tex]\alpha[/tex] при нея. Да се намери лицето му

От [tex]\triangle CHB \rightarrow \frac{BH}{BC} = cos2\alpha \Leftrightarrow \frac{a - x}{2} = \frac{a +x}{2}cos2\alpha \Leftrightarrow x(1 + cos2\alpha) = a(1 - cos2\alpha) \Rightarrow x = \frac{2asin^{2}\alpha}{2cos^{2}\alpha} \Rightarrow[/tex]
$$x = a.tg^{2}\alpha$$
$CB = \frac{a + x}{2} = \frac{a(1 + tg^{2}\alpha)}{2}$ , $\frac{2r}{CB} = sin2\alpha \Leftrightarrow 2r = \frac{a(1 + tg^{2}\alpha)}{2}.sin2\alpha$
$P_{ABCD } = 2a + 2x \Rightarrow p = a + x = a(1 + tg^{2}\alpha) , r = \frac{a(1 + tg^{2}\alpha).sin2\alpha}{4}$
$S_{ABCD } = p.r = \frac{a^{2}(1 + tg^{2}\alpha)^{2}.sin2\alpha}{4}$

Много благодаря!
Може ли помощ и с тези две задачи?
Основите на трапец са 22 см и 6 см, а диагоналите му - 22 см и 14 см. Да се намери лицето му.

Диагоналите на трапец са 20 см и 15 см, а височината му е 12 см. Да се намери лицето му.

[Knowledge Greedy]

Упътванията вече са тук viewtopic.php?f=38&t=23579#p96341
Също така, посъветвай се с формулите https://www.matematika.bg/geometry/area.html
и принципните положения - как се постъпва при дадени елементи на трапец.
Ако нещо не е ясно - ще пишем и чертаем още

[Гост]

Упътванията вече са тук viewtopic.php?f=38&t=23579#p96341
Също така, посъветвай се с формулите https://www.matematika.bg/geometry/area.html
и принципните положения - как се постъпва при дадени елементи на трапец.
Ако нещо не е ясно - ще пишем и чертаем още

Не разбрах втората задача. Какви две Питагорови теореми?

[S.B.]

Без заглавие (52).png (322.36 KiB) Прегледано 8013 пъти

Може ли помощ и с тези две задачи?
Основите на трапец са 22 см и 6 см, а диагоналите му - 22 см и 14 см. Да се намери лицето му.

Диагоналите на трапец са 20 см и 15 см, а височината му е 12 см. Да се намери лицето му.

И двете задачи се решават,с един и същи метод - изнасяне на единия от диагоналите През върха $C$ построяваш $CC_{1 } || DB$
[tex]\triangle ACC_{1 }[/tex] е равнолицев на трапеца .
В 1 задача получавш триъгълник на който знаеш трите страни и по формулата на Херон : $S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} $
Във вторта задача действаш по същия метод,после по Питагор от $\triangle AHC$ и $\triangle C_{1 }HC$ определяш основите $AH $ и $HC_{1 }$
Намираш лицето по традиционната формула $S = \frac{AC_{1 }.CH}{2}$

[Гост]

Без заглавие (52).png

Може ли помощ и с тези две задачи?
Основите на трапец са 22 см и 6 см, а диагоналите му - 22 см и 14 см. Да се намери лицето му.

Диагоналите на трапец са 20 см и 15 см, а височината му е 12 см. Да се намери лицето му.

И двете задачи се решават,с един и същи метод - изнасяне на единия от диагоналите През върха $C$ построяваш $CC_{1 } || DB$
[tex]\triangle ACC_{1 }[/tex] е равнолицев на трапеца .
В 1 задача получавш триъгълник на който знаеш трите страни и по формулата на Херон : $S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} $
Във вторта задача действаш по същия метод,после по Питагор от $\triangle AHC$ и $\triangle C_{1 }HC$ определяш основите $AH $ и $HC_{1 }$
Намираш лицето по традиционната формула $S = \frac{AC_{1 }.CH}{2}$

Много благодаря!