задачи 12 клас

[SEVITO79]

Зад.1 Намерете обема на прав паралелепипед ABCDA1B1C1D1 с основа ромб, ако е дадено, че AB=5см, ъгъл ABC= 60° и BD1=2√30см.
Зад.2 Дадена е правилна триъгълна пирамида с височина 4 см и косинус на ъгъл между височина и околен ръб равен на ⅘. Намерете S1, V и синуса на двустенен ъгъл между околна стена и основа.
Зад.3 Разстоянието от успоредно сечение на триъгълна пирамида до основата на върха й се отнасят както 2:3. Лицето на основата е 900 кв.см. Намерете лицето на сечението.

[S.B.]

Зад.1.OОсновата на правия паралелепипед ABCD[tex]A_{1 }[/tex][tex]B_{1 }[/tex][tex]C_{1 }[/tex][tex]D_{1 }[/tex] e ромбът ABCD,където AB=5 и [tex]\angle[/tex]ABC=60[tex]^\circ[/tex]
Диагоналът B[tex]D_{1 }[/tex]= 2[tex]\sqrt{30}[/tex] се намира в сечението BD[tex]D_{1 }[/tex][tex]B_{1 }[/tex]
За да намерим V ни е необходима височината B[tex]B_{1 }[/tex] = D[tex]D_{1 }[/tex]
Разглеждам ромба ABCD: за BD прилагам косинусова теорема:[tex]BD^{2}[/tex]=[tex]AB^{2}[/tex] + [tex]AD^{2}[/tex] - 2.AB.AD.cos120[tex]^\circ[/tex]
[tex]BD^{2}[/tex] = 75 , BD=5[tex]\sqrt{3}[/tex] Разглеждам сечението BD[tex]D_{1 }[/tex][tex]B_{1 }[/tex],което е правоъгълник;
[tex]DD_{1 }^{2}[/tex] = [tex]BD_{1 }^{2}[/tex] - [tex]BD^{2}[/tex] , [tex]DD_{1 }^{2}[/tex] = [tex](2\sqrt{30)}^{2}[/tex] - [tex](5\sqrt{3)}^{2}[/tex] = 120 - 75= 45 , D[tex]D_{1 }[/tex] = 3[tex]\sqrt{5}[/tex]
[tex]S_{ABCD }[/tex] = [tex]AB^{2}[/tex]sin60[tex]^\circ[/tex] = 25[tex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
V= [tex]S_{ABCD }[/tex]. D[tex]D_{1 }[/tex] или V= 25[tex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex].3[tex]\sqrt{5}[/tex] = [tex]\frac{75\sqrt{15}}{2}[/tex]

[S.B.]

Зад.2 Означавам пирамидата ABCD,където ABC e основата,а D e върхът.Построявам в основата CM[tex]\bot[/tex]AB и по CM и CD построявам равнина,която пресича пирамидата и сечението е [tex]\triangle[/tex]MCD.DO[tex]\bot[/tex]CM е височината на пирамидата ,DO=4,[tex]\angle[/tex]ODC = [tex]\delta[/tex],като по усл. cos [tex]\delta[/tex]=[tex]\frac{4}{5}[/tex] От [tex]\triangle[/tex]OCD (правоъгълен) [tex]\frac{OD}{CD}[/tex] = cos [tex]\delta[/tex] или [tex]\frac{4}{CD}[/tex]= [tex]\frac{4}{5}[/tex] [tex]\rightarrow[/tex] CD=5 и по Питагор от [tex]\triangle[/tex] OCD [tex]\rightarrow[/tex] [tex]OC^{2}[/tex] = [tex]DC^{2}[/tex] - [tex]OD^{2}[/tex] = 25 - 16 = 9 [tex]\rightarrow[/tex] OC = 3 Но OC = [tex]\frac{2}{3}[/tex]MC ( MC e и медиана и т.О е медицентър) следователно OM= 1,5,a CМ = 4,5 CM= AC[tex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex] или 4,5= AC[tex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex] , AC=3[tex]\sqrt{3}[/tex] , [tex]S_{ABC }[/tex] = [tex]\frac{27\sqrt{3}}{4}[/tex],а V =[tex]\frac{1}{3}[/tex][tex]\frac{27\sqrt{3}}{4}[/tex].4 или V=9[tex]\sqrt{3}[/tex]
Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]DOM,където [tex]\angle[/tex]DMO = [tex]\varphi[/tex] е ъгълът между околната стена и основата,а MD е апотемата
[tex]\triangle[/tex]OMD е правоъгълен и по Питагор :[tex]MD^{2}[/tex] = [tex]OM^{2}[/tex] + [tex]OD^{2}[/tex] = [tex]1,5^{2}[/tex] + [tex]4^{2}[/tex] = 18,25 или MD = 4,272 , sin[tex]\varphi[/tex] = [tex]\frac{OD}{DM}[/tex] = 0,9363
[tex]S_{околна }[/tex] = [tex]\frac{P_{ABC }.MD}{2}[/tex]=[tex]\frac{9\sqrt{3}.4,272}{2}[/tex] =19,224[tex]\sqrt{3}[/tex] а [tex]S_{1 }[/tex] = 19,224[tex]\sqrt{3}[/tex] + [tex]\frac{27\sqrt{3}}{4}[/tex][tex]\approx[/tex]25,974[tex]\sqrt{3}[/tex]

[S.B.]

Зад.3 Предполагам,че авторът е искал да каже,че разстоянията от усп. сечение до основата и до върха се отнасят 2:3
Нека основата е ABC,сечението е MNP,върхът е D,височината на пирамидата е DO и тя "пробожда" сечението MNP в т.Q
QO : QD = 2:3 [tex]\rightarrow[/tex] QO = 2x,a QD = 3x;
[tex]\frac{S_{ABC }}{S_{MNP }}[/tex] = [tex]\frac{OD^{2}}{QD^{2}}[/tex] [tex]\rightarrow[/tex] [tex]\frac{900}{S_{MNP }}[/tex] = [tex]\frac{(5x)^{2}}{(3x)^{2}}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex][tex]S_{MNP }[/tex] = 324 [tex]см^{2}[/tex]

[SEVITO79]

много благодаря душата!

[Гост]

"душата"????