Системи уравнения - log, sin

[Гост]

Трябва да реша задачите от приложената снимка. Ще съм ви благодарен ако можете да ми помогнете

[Davids]

Никой не би се наел да ти напише цялата домашна, тъй като крайният резултат би бил близо нулев, що се отнася до подобрението на знанията ти. Опитай се да формулираш какво точно те затруднява и кое не разбираш като принцип на решаване, практики за подход към даден тип задачи и т.н. Помогни ни да ти помогнем, както се казва, като ни споделиш малко самоанализ на затрудненията си

[Гост]

Никой не би се наел да ти напише цялата домашна, тъй като крайният резултат би бил близо нулев, що се отнася до подобрението на знанията ти. Опитай се да формулираш какво точно те затруднява и кое не разбираш като принцип на решаване, практики за подход към даден тип задачи и т.н. Помогни ни да ти помогнем, както се казва, като ни споделиш малко самоанализ на затрудненията си

Решил съм първите 3 задачи. Трябват ми още 4-5 задачи (с подточките към тях), а не всички. Позабравил съм системните задачи, а и тези с параметър, логаритъм и функции не са ми ясни... Винаги преглеждам решението и се опитвам да разбера задачата. Всеки решен пример ще ми е от полза...

[Davids]

Ще ти разделя типовете задачи според самия номер на задачата от снимката.

4) задачи с условие като това се свеждат до една идея: колко решения е възможно да има уравнението/неравенството/системата ми и как те зависят от параметъра. Давам веднага прост пример, за да го осмислиш - едно квадратно уравнение може да има два, един (макар и на теория двоен) или нула корена респективно когато $D > 0$, $D = 0$ или $D < 0$. Сега си представи че в израза ти за $D$ присъства параметър ($a, k, m$ или какъвто и да е). Така получаваш три неравенства, за които параметърът ти окончателно ще е в някакви различни интервали. И в това ти се състои и отговора: за $a$ в първия интервал имаме 2 корена, за другия интервал - един, а за третия - нула. Единствено имаш да съобразиш какво точно във връзка с броя решения зависи от параметъра. В случая с квадратното уравнение това е в универсалния случай дискриминантата, но ако имаш параметър и в коефициента пред квадрата, то тогава ще трябва да разгледаш и случая, в който този коефициент е нула. И такива работи ще трябва да съобразяваш относно всяка отделна задача, няма универсална формула.
Та със системите в тази задача е сходно, но нека помислим какво ще зависи от параметъра... Взимаме а):
[tex]\begin{array}{|l} ax + y = 2 \\ x + y = 2a \end{array}[/tex]. И тук ни прави впечатлението ролята на параметъра като коефициент пред едната променлива в първото уравнение, откъдето изразяваме $x = \frac{2-y}{a}$ (което има смисъл само за $a \ne 0$, а този случай ще разгледаме по-долу), a oт второто уравнение: $x = 2a - y$. Вече сме фиксирали една стойност за $x$ в зависимост от $a$ и $y$. А от двете уравнения получаваме:
$\frac{2-y}{a} = 2a - y$
$2 - y = 2a^2 - ya$
$ya - y = 2a^2 - 2$
$y(a-1) = 2(a-1)(a+1) |:(a-1) \ne 0$ (*)
$y = 2a + 2$
От тук $x = 2a - y = 2a - 2a - 2 = -2$
Извеждаме, че за $a \ne 0, 1$ имаме една двойка решения $(-2, 2a + 2)$.
Сега остава да разгледаме изключените случаи:
I) за $a = 0$ имаме още от първото уравнение $y = 2$, от второто получаваме веднага $x = -2$. Следователно имаме една двойка решения: $(-2, 2)$;
II) за $a = 1$ имаме от една страна от $(*)$ безкрай възможности за $y$, което води и до безкрай възможности за $x = 2a - y = 2-y$, от друга страна лесно се вижда също, че за $а = 1$ системата придобива вида $\begin{array}{|l} x + y = 2 \\ x + y = 2 \end{array}$. Следователно имаме безкрай решения.

Окончателен отговор би звучал така: за $а \ne 1$ имаме по една двойка решения, а за $a = 1$ имаме безкрай двойки решения.
___________________
Аналогичен подход предполагат и другите задачи от 4., но имай предвид, че няма как всичко да е сходно. Надявам се все пак съм обрисувал достъпно самия мисловен подход към този тип задачи

[Davids]

5.) Този тип задачи мен лично ме радваха много още в 9. клас. Теорията тук е следната: имаш система от две уравнения, съдържащи две неизвестни. Какво е нужно за решаването на една такава система по принцип? Точно така - някак да съумееш да изразиш едната променлива чрез другата, т.е. да достигнеш до $x = f(y)$, където (не се стряскай при вида на функция) $f(y)$ е просто някакъв произволен израз за $y$. Това може да стане по наистина много начини и точно тук се крие креативността на този тип задачи (и защо толкова често се срещат по олимпиади). Всичко е в трика, в маниера, в хитрината - как да накараш дадените числа и коефициенти така да се напаснат, че ти да получиш един удовлетворяващ и достъпен за работа вид на $f(y)$
Но спокойно, с твоите задачи работата е по-лесна и достъпна, имайки предвид факта, че във всичките подточки едното уравнение е линейно (което е най-лесния вариант), следователно не представлява ама никаква трудност просто да метнеш $у$-тата от другата страна на равното и да изразиш $х$., след което заместваш в другото уравнение и решаваш (най-често получилото се квадратно) уравнение за едната променлива. И все пак ще решим една заедно (за да подплътим приказките с малко действие):
[tex]\begin{array}{|l} 3x - y = 2 \\ 4x^2 + 5y^2 - 7xy = 2 \end{array}[/tex]
Както вече казахме, от първото уравнение директно изразяваме $x = \frac{2 + y}{3}$ и заместваме във второтo:
$4\frac{(2+y)^2}{9} + 5y^2 - 7y.\frac{2+y}{3} = 2$
Общ знаменател и извършваме действията:
$4(y^2 + 4y + 4) + 45y^2 - 21y(y+2) = 18$
$...$
$14y^2 - 13y - 1 = 0$
Корени на което са $y_1 = 1 => x_1 = 1$ и $y_2 = \frac{-1}{14} => x_2 = \frac{29}{42}$. Двойките решения са ясни

По-интересно става обаче при 6), където важи същото въведение като при 5), но вече нямаме линейни уравнения. Тук ще трябва сам да можеш, че от т.нар. хомогенни уравнения лесно можем да изведем една зависимост между двете променливи, от която да иразим лесно едната чрез другата - а именно тяхното отношение. Това е стар заучен похват, през знанието за който ще трябва да си минал (не че не можеш и да се сетиш де, но придава огромна сигурност да знаеш какво се прави като видиш въпростното хомогенно уравнение ). Та и тук философията не е голяма: имаш хомогенно уравнение от типа $ax^2 + bxy + cy^2 = 0$ и какво правиш с него? Ами делиш го на $y^2 \ne 0$ и получаваш $a(\frac{x}{y})^2 + b\frac{x}{y} + c = 0$. Лесно се вижда, че ако положим $t = \frac{x}{y}$, то получваме квадратно за $t$, от чиито решения после вече лесно изразяваме $x_1 = t_1.y$ и $x_2 = t_2.y$. Нататък философията е същата като с всяка една система - заместваме в другото уравнение и получаваме $y$, а после и $x$.
А когато нямаме хомогенното уравнение в общия му вид наготово, то се стремим да достигнем до него (както е и при подточка б).

П.С.: Ако си се питал как въобще да се сетиш че ще трябва да работиш с такива уравнения или да се опитваш да свеждаш системата до такова, то прецедентът също е логичен - имаш ли наличие на двете променливи с втората им степен и тяхно произведение, то значи от хомогенното бягане няма (или ако има, то е единствено чрез някакво очевидно или нетолкова очевидно съкращение - та ще трябва да потърсиш него в такъв случай). С малко решаване на задачки се развива интуиция на много (или поне достатъчно) високо ниво

П.С.2: Същата забележка за съкращенията важи и ако имаш и вторите степени, и първите степени, и произведение на двете производни във всички уравнения на системата. В такъв случай винаги ще може да се достигне до изгодна композиция от коефициенти, която при почленно събиране/изваждане/(та дори умножение и деление) довежда или до хомогенно, или до квадратно уравнение... така че смелост няма да губиш!

[Davids]

7) Тук лично на мен ми е изключително интересно и за мен тези задачи имат доста потенциал да се получават супер интересни. Каква е идеята тук - ще си играем със степени и формули за съкратено умножение и тук вече ще трябва да търсим вид, в който да можем да положим я сбор, я разлика, я произведение или частно на двете променливи (та дори и някакъв по-сложен линеен израз от двете също е възможен, но на това ниво на задачите се съмнявам). Тук вече има по-малко заученост и повече креативност със сигурност, така че няма много много какво повече да обяснявам. Отново нещата опират по-скоро до частния случай на задачата, но аз бих те посъветвал да взимаш предвид следното:
Ако имаш $p = x+y$ и $q = xy$, то
$x^2 + y^2 = p^2 - 2q$
$x^3 + y^3 = p(x^2 - q + y^2) = p(p^2 - 2q - q) = p^3 - 3pq$
и други темпроизводни равенства. Пак ще обобщя - играем си на степени и дали ще отгатнеш на автора на идеята готината идея. Та, полезно е да имаш и набор от такива заучени преубразования (чисто като идея, не да ги помниш наизуст - те лесно се извеждат, както видя... въпросът е да имаш логическото мостче, по което да минеш към решението на задачата).
Та нека разгледаме този път последната подточка:
$\begin{array}{|l} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 5 \\ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} = 13 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} \frac{x+y}{xy} = 5 \\ \frac{x^2 + y^2}{x^2y^2} = 13 \end{array}$
И тук например направо можеш да си положиш както по-горе $p$ и $q$, с което получаваш директно много по-лесен и достъпен вид:
$\begin{array}{|l} \frac{p}{q} = 5 \Rightarrow p = 5q \\ \frac{p^2 - 2q}{q^2} = 13 \Rightarrow p^2 - 2q = 13q^2 \end{array}$

Веднага се вижда, че замествайки първото във второто, достигаме до:
$25q^2 - 2q - 13q^2 = 0$
$2q(6q - 1) = 0$
$q_1 = 0 \Rightarrow p = 5q = 0$
$q_2 = \frac{1}{6} \Rightarrow p = 5q = \frac{5}{6}$
От първата двойка решения получаваме автоматично $(x, y) = (0, 0)$, което не е валидна двойка решения, понеже още от ДС в началото имаме $x \ne 0; y \ne 0$, а втория случай може би ще трябва да доразвием с малко решаване. Та от нея двойка решения достигаме в общи линии до:
[tex]\begin{array}{|l} xy = \frac{1}{6} \\ x+y = \frac{5}{6} \end{array}[/tex]
което, понеже е система от симетрични линейни уравнения, ни дава две двойки решения:
$(\frac{1}{2}, \frac{1}{3})$ и обратната - $(\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$

Окончателно имаме две решения: $(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}); (\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$.

П.С.: Тези задачи често се дават в комбинация с квадратни уравнения (най-често параметрични) и Виет, та се търсят някакви интервали, дефиниционни области и темподобни на получени функции. Това по олимпиади нали

П.С.2: Благодаря за поправката по-долу, промених си поста след коментара!

[ева]

В 7 зад. г),която решиха -решението (0;0) отпада,защото [tex]\notin[/tex]Д.М. (виж условието)

[Davids]

При осма задача ще пропусна а подточка, защото не виждам добре индексите на изображението.
Тук ще ти се наложи да познаваш доста добре цялата философия зад степенуването и коренуването, оттам и логаритмуването. Препоръчквам справка с правилата за действия с логаритми и като цяло акъл ще трябва - съобразителност коя степен точно кога каква е и какво може да се прави с нея, не знам как да го обобщя по-добре Ще вземем за пример б) подточка:
[tex]\begin{array}{|l} x^{x-y} = y^{x+y} \\ \sqrt{x}y = 1 \end{array}[/tex]
От второто уравнение веднага можем да изразим $y = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}$
Заместваме в първото:
$x^{x - x^{-\frac{1}{2}}} = (x^{-\frac{1}{2}})^{x + x^{-\frac{1}{2}}}$
$x^{x - x^{-\frac{1}{2}}} = x^{-\frac{1}{2}(x + x^{-\frac{1}{2}})}$
Равни основи, следователно търсим и равни степенни показатели:
$\Rightarrow x - x^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2}(x + x^{-\frac{1}{2}})$
$2x - 2x^{-\frac{1}{2}} = -x - x^{-\frac{1}{2}}$
$3x = x^{-\frac{1}{2}}$
$3 = x^{-1}.x(-\frac{1}{2}) = x^{-\frac{3}{2}} |\uparrow^{-\frac{2}{3}}$
$x = 3^{-\frac{2}{3}}$
Откъдето $y = x^{-\frac{1}{2}} = (3^{-\frac{2}{3}})^{-\frac{1}{2}} = 3^{\frac{1}{3}}$

На в) подточка също някои индекси в долния ред никак не мога да ги дефинирам - тройка ли е, девятка ли, осмица ли

[Knowledge Greedy]

8.б) Тук Davids се е поизморил малко от превъзходната лекция, която е изнесъл по-горе и е пропуснал очевидното решение [tex]\begin{array}{|l} x = 1 \\ y = 1 \end{array}[/tex]

[Гост]

Това е 8 задача

[Davids]

9) Тук навлизаме в една съвсем отделна широка сфера в математиката - тригонометрията. Ще са ти нужни обаче доста предварително набрани знания и само с мисъл и креативност няма да се разминеш Ще трябва да се запознаеш със стойностите на тригонометричните функции за основните ъгли, основните тригонометрични тъждества, както и някои (доста) заучени способи за изход от дадени ситуации. Но докато развиеш нюха и реално сигурността и ориентацията кое, кога и как се ползва, ще трябва да поизрешаваш известно количество задачки. Добро начало на теоретическата си подготовка можеш да намериш тук. Така че работата е предимно от твоя страна, аз мога да подам ръка с решение и обобщение на дадените тук задачи (малка капка от големия океан)

а)
[tex]\begin{array}{|l} cosx + cosy = 1 \\ 4sinxsiny = 3 \end{array}[/tex]

Формула за сбор от косинуси и формула за произведение от синуси:
$\begin{array}{|l} 2cos\frac{x+y}{2}cos\frac{x-y}{2} = 1 \\ 2[cos(x-y) - cos(x+y)] = 3 \end{array}$

Сега ще изразим $cos(x+y)$ и $cos(x-y)$ чрез половинките им и ще положим $a = cos\frac{x+y}{2}$ и $b = cos\frac{x-y}{2}$, за да достигнем до използването на две променливи в една система от вече нетригонометрични уравнения. Ползваме формулата $cos2x = 2cos^2x - 1$:

$\begin{array}{|l} 2ab = 1 \\ 2(2b^2 - 1 - 2a^2 + 1) = 3 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a = \frac{1}{2b}, b \ne 0 \\ 4(b^2 - a^2) = 3 \end{array}$

Заместваме от първото във второто:
$4(b^2 - \frac{1}{4b^2}) = 3$
$4b^2 - \frac{1}{b^2} = 3$
$4b^4 - 3b^2 - 1 = 0$

Единствено валидно решение е $b^2 = 1 \Rightarrow b = \pm 1$, оттам и $a = \pm \frac{1}{2}$
Разглеждаме два случая:
I) $\begin{array}{|l} a = cos\frac{x+y}{2} = \frac{1}{2} = cos\frac{\pi}{3} \\ b = cos\frac{x-y}{2} = 1 = cos0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} \frac{x+y}{2} = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k \\ \frac{x-y}{2} = 2\pi n \end{array}$
За да достигнеш от първата до втората система ще трябва да прегледаш малко теория и да осмислиш периодичността на тригонометричните функции, няма да го обяснявам на дълго и широко засега. Та от новополучената система, събирайки почленно, достигаш до $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi(k + n)$, а изваждайки първото от второто уравнение достигаш респективно до $y = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi(k - n)$

II) $\begin{array}{|l} a = cos\frac{x+y}{2} = -\frac{1}{2} = cos\frac{2\pi}{3} \\ b = cos\frac{x-y}{2} = -1 = cos\pi \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} \frac{x+y}{2} = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \\ \frac{x-y}{2} = \pi + 2\pi n \end{array}$
Аналогично като горе достигаме до $x = \pi \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi (k + n)$ и $y = -\pi \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi (k - n)$

Окончателните две двойки решения са: $\Big(\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi(k + n), \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi(k - n)\Big), \Big(\pi \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi (k + n), -\pi \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi (k - n)\Big)$

Абе задачката не е лека и здравето ми се взе с тоя латекс, така че правя малко пауза и се надявам поне написаното дотук да е достатъчно ясно Ще очаквам обратна връзка и давай, силата е в теб!

[S.B.]

Зад 8,а)ДМ: x>0,y>0,y[tex]\ne[/tex]1
[tex]\begin{array}{|l} log_{y }x - log_{2 }y^{2} = 1 \\ log_{4 }x - log_{4 }y = 1 \end{array}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]\begin{array}{|l} \frac{log_{2 }x}{log_{2 }y} - 2log_{2 }y= 1 \\ log_{4 }\frac{x}{y} = 1 \end{array}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]\begin{array}{|l} \frac{log_{2 }x}{log_{2 }y} - 2log_{2 }y = 1 \\ \frac{x}{y} = 4 \end{array}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]\begin{array}{|l}\frac{log_{2 }x}{log_{2 }y} - 2log_{2 }y = 1\\ x = 4y \end{array}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\frac{log_{2 }4y}{log_{2 }y}[/tex] - 2[tex]log_{2 }[/tex]y = 1[tex]\Rightarrow[/tex][tex]\frac{log_{2 }4 + log_{2 }y}{log_{2 }y}[/tex] - 2[tex]log_{2 }[/tex]y =1
Нека [tex]log_{2 }[/tex]y = t (t[tex]\ne[/tex]0 и тогава се получава:[tex]\frac{2 + t}{t}[/tex] - 2t =1 ,от където:2 + t - 2[tex]t^{2}[/tex] = t
или 2[tex]t^{2}[/tex] - 2 = 0 което има корени [tex]t_{1 }[/tex] = -1 и [tex]t_{2 }[/tex] = 1 Връщам субституцията и получавам:
[tex]log_{2 }[/tex]y = -1 и [tex]log_{2 }[/tex]y = 1 от където :[tex]y_{1 }[/tex]= [tex]\frac{1}{2}[/tex] и [tex]y_{2 }[/tex] = 2 и понеже х = 4y то [tex]x_{1 }[/tex]= 2 и [tex]x_{2 }[/tex] = 8
Окончателно двете двойки решения са : (2,[tex]\frac{1}{2}[/tex]) и (8,2)

[S.B.]

Зад.8,в)ДМ: x>0,y>0,x<4
[tex]\begin{array}{|l} log_{2 }x = log_{4 }y + log_{4 } (4 - x) \\ log_{3 }(x + y)= log_{3 }x - log_{3 }y \end{array}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex][tex]\begin{array}{|l} log_{2 }x= \frac{log_{2 }y}{log_{2 }4} + \frac{log_{2 }(4 - x)}{log_{2 }4} \\ log_{3 }(x + y) = log_{3 }\frac{x}{y} \end{array}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]\begin{array}{|l} log_{2 }x= \frac{log_{2 }y}{2} + \frac{log_{2 }(4 - x)}{2} \\ x + y= \frac{x}{y} \end{array}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}2log_{2 }x= log_{2 }y(4 - x) \\ xy + y^{2} = x \end{array}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]\begin{array}{|l}x^{2} = 4y - xy\\ xy + y^{2} = x \end{array}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]\begin{array}{|l} x^{2} + xy = 4y \\ y^{2} + xy = x \end{array}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]\begin{array}{|l}x( x + y )= 4y \\ y(x + y) = x \end{array}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]\begin{array}{|l} (x + y) = \frac{4y}{x} \\ (x + y) = \frac{x}{y} \end{array}[/tex]
От където [tex]\frac{4y}{x}[/tex] = [tex]\frac{x}{y}[/tex] или 4[tex]y^{2}[/tex] - [tex]x^{2}[/tex] = 0 от където (2y + x)(2y - x) = 0 получихме ,че x = 2y и x = -2y Сега комбинирам с едно от уравненията:
[tex]\begin{array}{|l} x = 2y \\ y^{2} + xy = x \end{array}[/tex] и се получава : y(3y - 2) = 0 ,y[tex]\ne[/tex]0 и остава [tex]y_{1 }[/tex]=[tex]\frac{2}{3}[/tex], a [tex]x_{1 }[/tex] = [tex]\frac{4}{3}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} x = -2y \\ y^{2} + xy = x \end{array}[/tex] и се получава :y(y - 2) = 0 ,y[tex]\ne[/tex]0 и остава [tex]y_{2 }[/tex]= 2 ,a [tex]x_{2 }[/tex] = -4[tex]\notin[/tex]ДМ
Окончателно решението е : ([tex]\frac{4}{3}[/tex],[tex]\frac{2}{3}[/tex])

[Davids]

Това е 8 задача

В такъв случай а) подточка излиза доста приятна и лека:

Скрит текст: покажи

обаче докато се върна на компютъра, я решиха

Преминавам на в):
$\begin{array}{|l} log_2x = log_4y + log_4(4-x) = log_4[y(4-x)] \\ log_3(x+y) = log_3x - log_3y = log_3\frac{x}{y} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} log_2x = \frac{1}{2}log_2[y(4-x)] \Rightarrow 2log_2x = log_2x^2 = log_2[y(4-x)] \\ log_3(x+y) = log_3\frac{x}{y} \end{array}$
ДС: $\begin{array}{|l} x, y > 0 \\ x,y \ne 1 \end{array}$

Антилогаритмуваме двете уравнения и достигаме до:
[tex]\begin{array}{|l} x^2 = 4y - xy \\ x + y = \frac{x}{y} \end{array}[/tex]
$\begin{array}{|l} x^2 + xy - 4y = 0 \\ y^2 + xy - x = 0 \end{array}$
Изразяваме от първото уравнение $y = \frac{x^2}{4-x}$ при $x \ne 4$
Заместваме във второто:
$\frac{x^4}{(4-x)^2} + x\frac{x^2}{4-x} - x = 0$
$x^4 + x^3(4-x) - x(4-x)^2 = 0$
Делим на $x \ne 0$ по ДС и получаваме:
$x^3 + x^2(4-x) - (x^2 - 8x + 16) = 0$
$\cancel{x^3} + 4x^2 \cancel{-x^3} - x^2 + 8x - 16 = 0$
$3x^2 + 8x - 16 = 0$
$x_1 = -4, y_1 = \frac{x^2}{4-x} = 2$ не влиза в ДС
$x_2 = \frac{4}{3}, y_2 = \frac{x^2}{4-x} = \frac{2}{3}$ остава единствена двойка решения.

[Davids]

9. б)
[tex]\begin{array}{|l} sinx + cosy = 0 \\ sin^2x + cos^2y = \frac{1}{2} \end{array}[/tex]
Тук ключът е във второто уравнение и реално използваме пак гореупоменатото тъждество $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$, от което долу получаваме:
$sin^2x + cos^2y = (sinx + cosy)^2 - 2sinxcosy = 0 - 2sinxcosy = \frac{1}{2}$. Вече системата ни изглежда така:
$\begin{array}{|l} sinx + cosy = 0 \Rightarrow sinx = -cosy \\ sinxcosy = -1 \Rightarrow -cos^2y = -1 \end{array}$
$\Rightarrow cos^2y = 1$
И имаме два случая:
I) $\begin{array}{|l} cosy = -1 \\ sinx = 1 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} y = \pi + 2\pi n \\ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \end{array}$
II) $\begin{array}{|l} cosy = 1 \\ sinx = -1 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} y = 2\pi n \\ x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \end{array}$

Всъщност подхода, който съм предприел в началото, е по-ефективен при по-сложен израз в първото уравнение (или ако беше вдясно някаква друга стойност, а не 0). Иначе изразяването $sinx = -cosy$ може да се направи още в началото и да заместваме директно горе. Но е добре да го имаш и този трик в репертоара.

[Davids]

9. в) Сега, тук се видях принуден да направя нещо, което принципно образователната система и много преподаватели заклеймяват като забранено действие при работа с тригонометрични уравнения в универсален вид (т.е. без интервал на аргумента). Но ето защо е важно да осъзнаем защо точно това е забранено и къде са рисковете и некоректността. Ами чисто и просто проблемът е в това, че повдигайки на квадрат, получаваме двойно решение (т.е. от втора степен), на което в последствие няма как да определим знака на първата степен. И методът ни е станал невалиден. Обаче повдигането на квадрат не е толкова забранено, когато внимателно прецениш ситуацията така, че накрая да достигнеш до нещо в линеен вид, и то безпрекословно! Каквото ще направим и тук:
[tex]\begin{array}{|l} \sqrt{2}cosx = cosy + 1 \\ \sqrt{2}sinx = siny \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 2cos^2x = (cosy + 1)^2 \\ 2sin^2x = sin^2y \end{array}[/tex]
И сега остана да съберем почленно и ще ти се изясни картинката на идеята
$2(sin^2x + cos^2x) = (cosy + 1)^2 + sin^2y = cos^2y + 2cosy + 1 + sin^2y = (sin^2y + cos^y) + 2cosy + 1 = 1 + 2cosy + 1 = 2 + 2cosy$
$\Rightarrow 2 = 2 + 2cosy$
$2cosy = 0$
$cosy = 0$
$\Rightarrow y = \pm \frac{\pi}{2} + k\pi$
Връщаме се в първото уравнение, откъдето $\sqrt{2}cosx = cosy + 1 = 1$
$cosx = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \cup \frac{3\pi}{4} + 2k\pi$

Окончателно имаме две двойки решения:
$\Big(\frac{\pi}{4} + 2k\pi, \pm \frac{\pi}{2} + k\pi\Big), \Big(\frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \pm \frac{\pi}{2} + k\pi\Big)$

[Davids]

10. Тук важи почти напълно същото, което приказвахме за 7. и 8. задачи, особено при първата подточка:
[tex]\begin{array}{|l} x^2 + y^2 = a^2 \\ x + y = a \end{array}[/tex]
Има го креативния подход:
$x^2 + y^2 = a^2 = (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \Rightarrow xy = 0$
I) $x = 0 \Rightarrow y = a$
II) $y = 0 \Rightarrow x = a$
Има го и плътния универсален подход:
Изразяваме от второто уравнение $x = a - y$ и заместваме в първото:
$(a-y)^2 + y^2 = a^2$
$a^2 - 2ay + y^2 + y^2 = a^2$
$2y(y-a) = 0$
I) $y = 0 \Rightarrow x = a$
II) $y = a \Rightarrow x = 0$
Двете двойки решения така или иначе са $(a, 0), (0, a)$

б) подточка до голяма степен е идентична със системата, която съм получил при решението на 8. в).
$\begin{array}{|l} x^2 - xy + ay = 0 \\ y^2 - xy - 4ax = 0 \end{array}$
Та подхождаме сходно и от първото уравнение изразяваме:
$y = \frac{x^2}{x-a}$ при $a \ne x$. Ако имаме $a = x$, то $x = 0$, откъдето и $y = 0$. Това всъщност ни е първата двойка решения и вече сме взели под внимание случая $a = 0, x = 0, y = 0$. Продължаваме нататък и заместваме $y$ във второто уравнение:
$\frac{x^4}{(x-a)^2} - \frac{x^3}{x-a} - 4ax = 0$
Делим двете страни на $x \ne 0$ (вече казахме какво става при $x = 0$, така че не сме изпуснали решения) и привеждаме под общ знаменател:
$\cancel{x^3} + ax^2 \cancel{- x^3} - 4a(a^2 - 2ax + x^2) = 0$
$...$
$a(3x^2 - 8ax + 4a^2) = 0$
Така, първи случай е $a = 0$ и уравнението е решено за $\forall x$. Тогава имаме $y = \frac{x^2}{x-a} = x$. И в този случай имаме безкрай много решения с общ вид $(x, y = x)$, което ни покрива и първоначалния случай, в който $a = 0, x = 0, y = 0$
Продължаваме за $a \ne 0$ с:
$3x^2 - 8ax + 4a^2 = 0$
$D = 64a^2 - 36a^2 = 28a^2$
Дискриминантата е строго неотрицателна, така че решения винаги има и те са:
$x_1 = \frac{4 - \sqrt{7}a}{3} \Rightarrow y_1 = \frac{(4 - \sqrt{7}a)^2}{12 - 3(3 + \sqrt{7})a}$
$x_2 = \frac{4 + \sqrt{7}a}{3} \Rightarrow y_1 = \frac{(4 + \sqrt{7}a)^2}{12 - 3(3 - \sqrt{7})a}$
И окончателно това са решенията за $a \ne 0$, а за $a = 0$ вече казахме, че решения са всички двойки $(x, y = x)$.

[Davids]

10. в)
[tex]\begin{array}{|l} ax + \frac{b}{y} = 2 \\ \frac{b}{x} + ay = 2ab \end{array}[/tex]
На тази задача аз лично се накефих
Имаме $ДС: x, y \ne 0$. Първо освобождаваме от знаменател двете уравнения:
$\begin{array}{|l} axy + b = 2y \\ axy + b = 2abx \end{array}$
Веднага се вижда, че $y = abx$ при почленно изваждане. Заместваме в първото уравнение:
$ax + \frac{b}{abx} = 2$
Освобождаваме от знаменател:
$a^2bx^2 + b = 2abx$
$a^2bx^2 - 2abx + b = 0$
И тук е ключовият момент, наблюдавай
$(a\sqrt{b}x - \sqrt{b})^2 = 0$
$\Rightarrow x = \frac{1}{a}$
Следва, че $y = b$.
Както се вижда, при $a = 0$ (което от второто уравнение води и до $b = 0$) решения няма. При $a \ne 0$ имаме двойката $(\frac{1}{a}, b)$

[Davids]

11., 12. и 13. задачи са ти с прогресии и се ограничават до доста по-малко знания и факултативен запас (повече фантазия и осмисляне на зависимости и тенденции се иска ) Основно ти трябват шест неща - три по две за двата типа прогресии, и те са именно формулата за общия член, формулата за сумата на първите $n$ члена и основното свойство на средното аритметично/геометрично. Можеш да си ги провериш в интернет или в учебника си, няма да ти ги обяснявам наново, но е важно да знаеш, че около тези неща ти се върти общо взето цялото решаване на някакви задачи с прогресии Но трябва и да умееш да се сещаш защо и как ползваш всяко едно от тях (т.е. чисто и просто да вникнеш в материята на прогресията, а тя не е сложна).
Та нека се заемем с малко решаване:
11. Имаме три числа в геометрична прогресия, за мен лично се откриват тук пред решаващия две невероятни възможности за виртуозно решение

I) Отбелязваме числата с $\frac{x}{q}, x, xq$.
От даденото имаме системата:
[tex]\begin{array}{|l} \frac{x}{q} + x + xq = \frac{x}{q}(q^2 + q + 1) = 21 \\ \frac{x^2}{q^2} + x^2 + x^2q^2 = \frac{x^2}{q^2}(q^4 + q^2 + 1) = 189 \end{array}[/tex]
Сега тук ключово значение играе разлагането на $q^4 + q^2 + 1 = (q^2 + q + 1)(q^2 - q + 1)$ и вече системата има по-приветливия вид:
[tex]\begin{array}{|l} \frac{x}{q}(q^2 + q + 1) = 21 \\ \frac{x^2}{q^2}(q^2 + q + 1)(q^2 - q + 1) = 189 \end{array}[/tex]
Делим почленно второто на първото:
$\frac{x}{q}(q^2 - q + 1) = 9$
Откъдето $x = \frac{9q}{q^2 - q + 1} = \frac{9q(q+1)}{(q+1)(q^2 - q + 1)} = \frac{9q(q+1)}{q^3 + 1}$
Това стилистично доукрашение го правим с цел по-лесно смятане, като очевидно ще си добавим едно изкуствено решение $q = -1$ накрая, така че тук трябва да кажем, че $q \ne -1$ (тъй като е и в знаменател).

Връщаме се при формулата за сбора, от която имаме:
$\frac{x}{q}(q^2 + q + 1) = 21$
$\frac{9(q+1)}{q^3 + 1}(q^2 + q + 1) = 21$
$...$
$2q^3 - 3q^2 - 3q + 2 = 0$
А как се решават такива полиноми, се учи замалко в девети клас. Твърдението беше следното - полином с четен брой едночлени с огледални коефициенти и с поредни степени винаги има -1 за решение (лесно се вижда и обяснява защо). Та ще съобразим това тук и ще си помогнем малко със схема на Хорнер за откриването на останалите коефициенти. Записваме $q_1 = -1$ и по таблицата получаваме:
$(q+1)(2q^2 - 5q + 2) = 0$
Решения на втория тричлен са $q_2 = 2, q_3 = \frac{1}{2}$
За $q = -1$ говорихме по-горе, защо не е валидно решение. От другите две получаваме:
$x = \frac{9q}{q^2 - q + 1} = 6$
И трите числа са $3, 6, 12$.
_________________________________
II) Означаваме трите числа $a, b, c$. Тогава имаме:
$\begin{array}{|l} a + b + c = 21 \\ a^2 + b^2 + c^2 = 189 \end{array}$
При второто уравнение прилагаме един готин номер:
$b^2 + (a^2 + c^2) = b^2 + (a+b)^2 - 2ab = 189$
Само че от първото уравнение имаме $a + b = 21 - b$, а от свойството на геометричната прогресия имаме $ac = b^2$
Заместваме двете във второто уравнение и получаваме:
$b^2 + (21 - b)^2 - 2b^2 = 189$
$b^2 + 441 - 42b + b^2 - 2b^2 = 189$
$42b = 441 - 189 = 252$
$b = 6$
За другите две числа остава системата:
$\begin{array}{|l} a + c = 15 \\ ac = 36 \end{array}$
и съвсем лесно се намира, че $a = 3, c = 12$
__________________________
И тъй като гледам, май вторият начин излезе доста по-готин-мотин. Но ето в това е красотата на разнообразието от гледни точки и подходи - да можеш в крайна сметка и да оцениш къде колко си хвърлил (и колко по-малко или повече е можело да хвърлиш xD).

Надявам се, съботният ни маратон е бил продуктивен за всички и в крайна сметка ще успееш с необходимите усилия и от твоя страна да си усвоиш материала. Вярвам в теб, make my saturday worth it!
Сега отиваме да спим...

[Гост]

Благодаря на всички!:)