Задача от делимост 3

[math10.com]

Да се докаже, че не съществува просто число от вида [tex]A=2^{2^{10n+1}}+2^6+1 ; n\in \mathbb{N}[/tex]

[Knowledge Greedy]

Да означим числото [tex]A=2^{2^{10n+1}}+2^6+1[/tex]

math10.com си е казал и решението - виж заглавието math10.com » Вто Юни 27, 2017 12:21 am Задача от делимост 3

Описание на решението:
[tex]3[/tex] е просто число.
Но
1.) [tex]2^{2^{10n+1}}>3 \,\ \forall n \,\ \in \,\ \mathbb{N}[/tex]
и
2.) Степените на двойката [tex]2, 4, 8, 16,32, ...[/tex] при деление на три дават остатъци [tex]2, 1, 2, 1 , 2, ...[/tex] - като четните степени дават остатък [tex]1[/tex]
На свой ред [tex]\forall n \,\ \in \,\ \mathbb{N}[/tex]
степенните показатели на числото [tex]2[/tex] в основата, са [tex]2^{10n+1}[/tex] - четни.
Следователно [tex]2^{2^{10n+1}}[/tex] винаги дава остатък [tex]1[/tex] при деление на [tex]3[/tex].
Останалите две събираеми, от които се състои [tex]A[/tex] са [tex]2^6[/tex] и [tex]1[/tex] - също с остатък [tex]1[/tex] при деление на [tex]3[/tex].
Значи всяко такова число [tex]A[/tex] се дели на [tex]3[/tex], при това [tex]A\ne 3[/tex], следователно [tex]A[/tex] е съставно.

[Genie_Almo]

Безспорно горното е най-бързото за съобразяване решение.

Ето още едно лесно решение:

Нека [tex]2^{10n}=k[/tex], където [tex]k≥1024 ,k \epsilon N[/tex]. Тогава [tex]A=2^{2k}+2^{6}+1= 2^{2k-1}+1^{2k-1}+2^{2k-1}+2^{6}=(2+1)*(2^{2k-2}-2^{2k-3}+2^{2k-4}-2^{2k-5}+⋯+1)+
2^{6}*(2^{2k-7}+1^{2k-7} )=(2+1)*(2^{2k-2}-2^{2k-3}+2^{2k-4}-2^{2k-5}+⋯+1)+
2^{6}* (2+1)*(2^{2k-8}-2^{2k-9}+2^{2k-10}-2^{2k-11}+⋯+1)[/tex]
, което очевидно се дели на 3 за всяко естествено k≥1024. Използвана е формула за съкратено умножение, която е налична на този сайт. https://www.matematika.bg/algebra/formu ... ation.html