Тригонометрично неравенство

[Vurbaninator]

Докажете, че ако d е естествено число, което не е точен квадрат на цяло число, а n[tex]\ge[/tex]2 е естествено, то тогава е изпълнено неравенството:
(n[tex]\sqrt{d}[/tex]+1)*|sin(n[tex]\sqrt{d}\pi[/tex])|[tex]\ge[/tex]1.

[pal702004]

Според мен е излишно това $+1$ в първия множител, а също и нестрогото равенство. При дадените условия произведението винаги е по-голямо от 1.

$n\sqrt d=\sqrt{n^2d}=\sqrt{m^2+k}$, за някои естествени $m,k$, при това $k\in[1;2m]$ (подкоренният израз не може да е точен квадрат по условие)

И цялата част на $n\sqrt d$ е $m$, а дробната: $\sqrt{m^2+k}-m=\dfrac{k}{\sqrt{m^2+k}+m}$

Разбира се, минимума на произведението за всяко $m$ се достига при $k=1$ (т.е $\dfrac{m}{n}$ е верижна дроб на $\sqrt d$, или, с други думи, когато $m,n$ са решение на уравнението на Пел $m^2-dn^2=\pm 1$)

При $k=1,\; |\sin(n\sqrt d \pi)|=\sin\left(\dfrac{\pi}{\sqrt{m^2+1}+m}\right)$

Така че ако приемем $x=\sqrt{m^2+1}$, получаваме $n\sqrt d |\sin(n\sqrt d \pi)|>x\sin\left(\dfrac{\pi}{2x}\right)$

А при $x>2$ функцията $y=x\sin\left(\dfrac{\pi}{2x}\right)$ е растяща с граница (естествено) $\dfrac{\pi}{2}$

[Jullian]

Тригонометрично неравенство.docx

(560.34 KiB) 75 пъти

[Jullian]

В решението на pal702004 има 2 грешки. Вижте какви са, а също и правилното решение на задачата в прикачения файл.